MC Flashcards
1
Q
dev. of tanx
cotx
A
sec^2x=1/cos^2x
-csc^2x=-1/sin^2x
2
Q
Integrate sec^2x
A
tanx
3
Q
Sec(x)
Csc(x)
A
1/cosx
1/senx
4
Q
cos(a+-b)
A
=cosacosb-+sinasinb
5
Q
If you have r, what’s a fast way to get θ(t)?
A
Use L, replace r and integrate
6
Q
Masa reducida
A
μ = μ1μ2/ μ1+μ2
7
Q
Coordenadas de r1 y r2 en el CM
A
r1 = R + r m2/M
r2 = R - r m1/M
8
Q
Energía potencial péndulo
A
V=1/2 k(r-l)^2
9
Q
Momento canónico
A
Pqi = dL/d(qidot)
10
Q
¿Qué incluye las ecuaciones de Hamilton?
A
Las qidot y las Pdot = -dH/dqi
11
Q
¿Qué conclusión se suele sacar de las ecuaciones de Hamilton?
A
Si una de las Pdot es cero, entonces el momento canónico correspondiente se conserva. Se puede observar lo mismo si H no depende de dichas coordenadas q.
12
Q
Momento angular
A
L=Lz=mr^2θdot
13
Q
Dos maneras de llegar a Pqdot
A
Una: derivar directamente Pq
Otra: de las ecuaciones de Hamilton (-dH/dq)
Es importante relacionarlas: podemos inferir ecuaciones del movimiento.
14
Q
H se conserva si…
A
No depende de t
15
Q
T de un péndulo con dos masas
A
Usamos el sistema CM.
T = 1/2 [MRdot^2 + m1(r1dot-Rdot)^2 + m2(“)^2]
=1/2 [MRdot^2 + μrdot^2]
16
Q
Lagrangiano EM
A
L = 1/2mr^2dot - qV + q(rdot.A)
17
Q
Reescribe
A.(BxC)
A
A.(BxC) = (AxB).C = B.(CxA)
18
Q
Dale la vuelta al producto vectorial
AxB
A
AxB=-BxA
19
Q
Error: qué se hace primero, ¿escribir H o las ecuaciones de Hamilton?
A
Escribir H en términos de (q,Pq).
Sin eso no podrás hacer la derivada parcial de H correctamente.
20
Q
Traduce:
“Hallar tres integrales primeras de las ecuaciones de Hamilton funcionalmente independientes.”
A
Hallar qué se conserva en las ecuaciones de Hamilton
21
Q
Resume el razonamiento para dar con una ecuación del movimiento de x con integrales (HAMILTON)
A
H=T+V=e
T+U=0
Integrate
t-to=+-int(dx/sqrt(-2U))
22
Q
Componente z de L en cilíndricas y esféricas
A
Cil: m r^2 θdot
Esf: m r^2 sin^2(θ) φdot
23
Q
dV en esféricas
A
r^2 sinθ dr3
24
Q
Momento de inercia disco (eje de simetría)
A
MR^2
25
Momento de inercia disco (desde arriba)
1/2 MR^2
26
Momento de inercia esfera
2/5 MR^2
27
Momento de inercia cilindro sólido
1/2 MR^2
| same as disk from above
28
Condición rodar sin deslizar
V(cm)=Rω
29
Torque Euler
(dL/dt)f = (dL/dt)m + ωxL = Ldot + ωxL = T
30
Energía cinética rotacional
T=1/2 I(z)ω^2=1/2 ω.L
31
Ixx
Ixy
Ixx = SUM(m (y^2+z^2))
Ixy = -SUM(mxy)
32
Vector L
L = ω(Ixz,Iyz,Izz)
or, in the body frame,
L = (λ1ω1, λ2ω2, λ3ω3)
33
Ecuaciones de Euler para pares (SR)
N = Lºdot + ωxL
I1ωdot1 - (I2-I3)ω2ω3 = N1
(sigue cíclicamente, y son como las ecs. de Newton para rotaciones)
Lastly, if Iω=λω, replace I(i) with λ(i) above
34
Si In=λn, ¿qué es λ?
Un momento principal de inercia, y n su eje principal de inercia.
35
When using Binet, you wanna set up your θs so that...
They can be rewritten as r
36
Ley de las áreas
Adot=r^2 θdot/ 2=L/2m
| if you know the area swept (say a circle), you can replace that in the LHS and solve for t to see how long that took.
37
Dado v, ¿cuál es el período de un movimiento circular (R)?
Circular, así que toda la v es tangencial, y
| T=2π/v=2R/v
38
sec(arctan(k))
Set up a triangle with a=1.
tanθ=k=b/1=b
secθ=c/1=c=sqrt(1+b^2)=sqrt(1+k^2)
39
if you have r but not V, what's a way to get v?
v^2=rdot^2+(rθdot)^2
| Then get θdot from L and, if r=kθ, then rdot=kθdot
40
coshx
sinhx
sinh(0)
1/2(e^x+e^-x)
1/2(e^x-e^-x)
0
41
Write sinh^2x ito coshx
1+cosh^2x
| sinh^2x-cosh^2x=1
42
Error: límites de integración para fórmula del tiempo (T2)
entre 0 y θ
43
Si una part. tiene justo la E necesaria para llegar a un punto de equilibrio, cuanto tiempo tarda en llegar?
t infinito
44
Período pequeñas oscilaciones
T=2π sqrt(m/V''(x))
con ω=sqrt(V''(x)/ m)
45
Posibilidad olvidada al considerar casos energéticos (T1)
Que la energía E sea = a V en el punto inicial, o sea, que vo=0
46
Tiempo trayectoria (T1)
t-t0 = sqrt(m/2) int[dx/sqrt(E-V)]
- Recuerda que t0 es el tiempo que tarda en volver al punto de partida si el sgn(v) es opuesto a la dirección de divergencia de V
- Si la int es convergente, toma un tiempo finito en alcanzar el infinito
47
Say you have a pol x^4+Bx^2+C
You'll say z=x^2 and solve.
Now imagine you get two sols., one positive one negative. What do you conclude?
The negative solution is discarded, because x^2 is always positive. From the positive solution stem two solutions, with +-x
48
In T1, always double check
Your arithmetic, lemao
49
Ecuación oscilador armónico
```
x''+ω^2x=0
El razonamiento es:
Si osc. pequeñas, V(x)=V(0)+1/2 V''(0)x^2+...(V'(0)=0)
3ra ley Newton:
F=mx''=-dV/dx=-V''(0)x
x''+V''(0)x/m=x''+ω^2x=0
ω=sqrt(V''(0)/m)
```
50
T2: Qué pasa si L=0?
Si E>V=U, se mueve en una línea recta que pasa por el origen.
Si E=V=U, se queda en ese punto (si es de equilibrio)
51
T1: ¿Cómo hallar ley horaria?
Despejar de expresión genérica para E
52
Tasa de cambio de un vector en sistema de referencia inercial
(dQ/dt)So = (dQ/dt)S + ΩxQ
donde So es el sistema inercial y S el no inercial
OM es la velocidad angular
Si Q=Ω, los cambios son iguales
53
Tasa de cambio de un vector genérico, fijo sobre un cuerpo que rota
de/dt=ωxe
54
2da ley de Newton en S no inercial
ma = F - mA - 2m(ωxv) - mωx(ωxr) - (ωdotxr) = F + F(ficticia)
This'd be the force on a particle (measured in S', inertial frame) as seen in S (moving frame).
If ω=cte, the last term goes away!!
If F were measured directly in S, we'd have no (-mA).
55
Fuerza de Coriolis
2m(ωxv)
56
Fuerza centrífuga
mωx(ωxr)
57
Velocidad en sistema de referencia fijo
vf = vm + V + ωxr
| where V is the velocity of the origin of S as measured in S' (inertial frame)
58
Tenemos una bola en un coche que se mueve, ¿cuál es la velocidad de la bola respecto al suelo?
V(b/s)=V(c/s)+V(b/c)
| kinda like vf=vm+V, innit?
59
Ecuaciones del movimiento respecto a la superficie terrestre (aproximación)
r = r(0) + vº(0)t + g0(t^2/2) - t^2(ωxv(0)) - (t^3/3)(ωxg0)
| donde g0=ge3=9,80665e3
60
ω en sistema de ejes terrestre
pasa de
ω=ωe'3
a ser
ω=ω(-cosλe1+sinλe3)
61
Sistema de ejes terrestre
Si R conecta el centro de la tierra con el punto O en su superficie,
e3 (z) va en la dirección de R
e1 (x) es tangente al meridiano que pasa por O (sur)
e2 (y) es tangente al paralelo que pasa por O (este)
62
En movimiento terrestre, cómo hallar tiempo de vuelo?
Usar la aproximación del movimiento y aislar las componentes e3 (z en sistema de ejes terr.). Igualar z=0 y despejar t.
63
En mov. terr., calcular desviaciones al (o)este
Δy=vot+at^2/2
Necesitamos la aceleración en y:
Puede venir de una fuerza, p.e. de Coriolis (F/m=a)
or
Hallar r, aislar componentes e2 (y).
Hallar tiempo que nos interesa (prob. con e3) y sustituir en y. Ver el signo del resultado.
Como y va hacia el este, una expresión distinta de 0 y negativa implica desviación al oeste.
64
Vector g0 (T4)
g0 = -ge3
65
Ecuación MUA
y=y(0)+vt+at^2/2
66
Si el movimiento (T4) es hacia abajo (pozo), ¿qué hacer?
Poner la ec. aprox. de r con todos los sgn cambiados
67
ERROR: tener cuidado al hacer productos vectoriales con v. unitarios, porque...
Hay que comprobar el signo del vector ortonormal resultante usando la right hand rule
68
Get x from F=ma
```
First,
v(t)=v(0)+int(F(x)) 0->t
Then,
dx/dt=v(0)+...
x(t)=x(0)+...
```
69
(SR) Momento angular simple formula
Lz=Iω
pls note this is only Lz!! Lx and Ly aren't necessarily =0
If I is a matrix, L and ω are 3x1 column vectors
70
Ta Steiner
I(P)ij = Iij + M(δa^2-aiaj)
| where a is a vector going from O (CM) to the new point P
71
Vector R para el CM
R=(1/M)SUM(mi ri)
or
(1/M)int(rº dm)
the º means thats a perfect vector boi
72
Momento ito CM
Pº=MRºdot
| deriva para obtener Fext
73
Fuerza externa ito CM
Fext=MRº(..)=Pº(.)
74
(SR) Lº
Lº = RxP + SUM(r' x mr'dot) = L1 + L(CM)
| e.g. on Earth L=Lorb+Lspin
75
Γ(ext) (SR)
Γ(ext)=Lºdot
76
Lx, Ly (SR)
```
Lx = -SUM(mxzω) = Ixzω
Ly = -SUM(myzω) = Iyzω
```
77
What kinda matrix is the inertia tensor
Ofc it's a perfect symmetry boi
78
Symmetry conclusions (SR)
if x->(-x) then Ixy=Ixz=0
| if x->y then Ixx=Iyy
79
Si un sólido gira "libremente"...
Fext=0 & el par N no depende del O respecto del cual se calcula, so tomar CM
80
Tensor de inercia cubo
Icm=Ma^2/6 (por matriz identidad)
81
Delta de Kronecker
Vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes.
82
Masa cilindro ito ρ
ρπhr^2
83
Say you have symmetry such that I11=I22. What's a trick to find that I11?
First, calculate I33. Then, set up this integral
| 2I1=I1+I2=ρ int(x^2+y^2+2z^2)=I3+ρ int(2z^2 d^3r)
84
Imagine ω goes in the dir of e1`+e2. Write ω it in vector form
ωº=ω(e1º+e2º)/sqrt(2)
| In other words, normalize the direction vector
85
3ra ley Kepler
T^2=4π^2a^3/GM
| donde a es el semieje mayor de la elipse
86
Momento angular respecto de un punto fijo en el cuerpo
Si L es fijo en el sistema de ejes fijos y en el sólido, (asume ω=ωe1)
L=Iωe1=ω(I11,I21,I31)
87
Al calcular el tensor de inercia, qué va fuera de las integrales I(ij)?
La densidad=M/V
88
Se quiere calcular L. ¿Respecto a dónde se calcula I?
Se debe calcular I respecto a un punto sobre el eje de rotación
89
Coordenadas de un par aplicado (SR)
N1=Iω1dot
| and so on
90
Fuerza de ligadura para partícula obligada a moverse dentro de una varilla
Si la varilla está en el eje OX, en el SR de la varilla
| Fº=(0,F2,F3)
91
Velocidad en esféricas
rdot + rθdot + rsinθφdot
92
Elemento de longitud de arco en esféricas
Es como quitarle el dot a la expresión de la velocidad y ponerlo en diferenciales.
ds^2 = dr^2 + (rθ)^2 + (rsinθdφ)^2
93
Velocidad en cilíndricas
ρdot + ρθdot + zdot
94
Vector rº en polares
rº = r er
95
Vector rºdot en polares
rºdot = rdot er + r θdot eθ
96
Derivada total cosx
cos(x) xdot
97
Encontrar ecuación del movimiento para q
| T5
Usar ecuaciones de E-L
or
Hay que encontrar una fórmula que tenga qdot, p.e. un momento canónico, y derivarla para tener la derivada segunda. Luego dejarla sin coeficientes en una ecuación.
98
Solución ecuación oscilador armónico
| Su ecuación general
r=acos(ωt)+bsin(ωt)
ecuación xdotdot+ω^2x=0
that's a PLUS
99
El punto de anclaje de un péndulo de masa oscila armónicamente en una línea horizontal con amplitud A y frecuencia v. Escribe la ecuación de x para el punto de anclaje.
x=Acos(vt)
100
Deriva xdot respecto a t
xdotdot
101
Momento angular ito cross product
L=rxp
102
Energía potencial placa de lados 2R
Asumiendo que es homogénea,
| V=mgR, a la altura de su CM
103
A partir del lagrangiano, ¿cómo ver si se conserva pq? ¿Y E?
Se conservan si L no depende de dicha coordenada q ni de t.
104
(Lagrange) Hallar velocidad dadas cond. iniciales
Supongamos que tenemos dos coordenadas. Podemos usar los momentos, ecuaciones del movimiento o la energía (en función de las cond. in.) para despejar una qdot en función de la otra, y reemplazar esto en la expresión antes elegida.
105
Let Mº=Me3
| Do Mºxrº
rº=rer
| So Mºxrº=Mre2
106
(Lagrange) si te piden calcular la ecuación del movimiento...
Calcular ecs. de Euler Lagrange dios
107
Quieren la ec. de mov. Tu despejas xdot, say. What now?
si tienes xdot=k, entonces
x=x(0)+ωt
con k=ω
108
Si px=Lz+kx, y pxdot=0, se conserva Lz?
No, porque Ldot=-k=/=0
109
Si una part. en cilíndricas tiene vº(0)=-ωr0eθ, determinar su movimiento
```
vº(0) = r(0)dot + r(0)θ(0)dot = -ωr0eθ
then
r(0)dot=0 & θ(0)dot=-ω
```
110
If v(0) is (0,k), does that imply px=0?
Apparently not
111
(T2) cómo obtener la ley horaria?
Intenta despejar θdot de L e integrar para obtener θ(t). Luego reemplazar en r(θ) para obtener r(t)
112
Solución general xdotdot-ω^2x=0
acosh(wt)+bsinh(wt)
113
Vector cuadrimomento
pº=(E/c,pº) si es másica
| pº=(|pº|,pº)
114
Módulo cuadrimomento
p=mu=mγ(v)(c,v)
115
Energía relativista
E=mc^2γ(v)
116
Factor de Lorentz
1/sqrt(1-v^2/c^2)
117
Momento inicial fotón
pi=(E/c,E/c,0,0)
118
Cuadrimomento al cuadrado
p^2=(mc)^2
119
Ecuación de Planck
E=hf=hc/λ
120
Una part. colisiona con otra en reposo. Incluir en el momento inicial...
Tanto el momento de la part. en mov. como en reposo
121
Relaciona velocidad con energía y momento
vº=c^2pº/E
| con pº=(p1,p2,p3)=mγ(v)vº
122
Que poner en XiXj en Steiner
Las coordenadas de R según los elementos de matriz
123
Define H
H=sum(pi qidot) - L
124
Int(cos^2(x)) entre 0 y 2π
0
125
Truco integrales tensor de inercia
A veces se puede poner I33=I11+I22=2I11, por ejemplo
