MC Flashcards
dev. of tanx
cotx
sec^2x=1/cos^2x
-csc^2x=-1/sin^2x
Integrate sec^2x
tanx
Sec(x)
Csc(x)
1/cosx
1/senx
cos(a+-b)
=cosacosb-+sinasinb
If you have r, what’s a fast way to get θ(t)?
Use L, replace r and integrate
Masa reducida
μ = μ1μ2/ μ1+μ2
Coordenadas de r1 y r2 en el CM
r1 = R + r m2/M
r2 = R - r m1/M
Energía potencial péndulo
V=1/2 k(r-l)^2
Momento canónico
Pqi = dL/d(qidot)
¿Qué incluye las ecuaciones de Hamilton?
Las qidot y las Pdot = -dH/dqi
¿Qué conclusión se suele sacar de las ecuaciones de Hamilton?
Si una de las Pdot es cero, entonces el momento canónico correspondiente se conserva. Se puede observar lo mismo si H no depende de dichas coordenadas q.
Momento angular
L=Lz=mr^2θdot
Dos maneras de llegar a Pqdot
Una: derivar directamente Pq
Otra: de las ecuaciones de Hamilton (-dH/dq)
Es importante relacionarlas: podemos inferir ecuaciones del movimiento.
H se conserva si…
No depende de t
T de un péndulo con dos masas
Usamos el sistema CM.
T = 1/2 [MRdot^2 + m1(r1dot-Rdot)^2 + m2(“)^2]
=1/2 [MRdot^2 + μrdot^2]
Lagrangiano EM
L = 1/2mr^2dot - qV + q(rdot.A)
Reescribe
A.(BxC)
A.(BxC) = (AxB).C = B.(CxA)
Dale la vuelta al producto vectorial
AxB
AxB=-BxA
Error: qué se hace primero, ¿escribir H o las ecuaciones de Hamilton?
Escribir H en términos de (q,Pq).
Sin eso no podrás hacer la derivada parcial de H correctamente.
Traduce:
“Hallar tres integrales primeras de las ecuaciones de Hamilton funcionalmente independientes.”
Hallar qué se conserva en las ecuaciones de Hamilton
Resume el razonamiento para dar con una ecuación del movimiento de x con integrales (HAMILTON)
H=T+V=e
T+U=0
Integrate
t-to=+-int(dx/sqrt(-2U))
Componente z de L en cilíndricas y esféricas
Cil: m r^2 θdot
Esf: m r^2 sin^2(θ) φdot
dV en esféricas
r^2 sinθ dr3
Momento de inercia disco (eje de simetría)
MR^2
Momento de inercia disco (desde arriba)
1/2 MR^2
Momento de inercia esfera
2/5 MR^2
Momento de inercia cilindro sólido
1/2 MR^2
same as disk from above
Condición rodar sin deslizar
V(cm)=Rω
Torque Euler
(dL/dt)f = (dL/dt)m + ωxL = Ldot + ωxL = T
Energía cinética rotacional
T=1/2 I(z)ω^2=1/2 ω.L
Ixx
Ixy
Ixx = SUM(m (y^2+z^2))
Ixy = -SUM(mxy)
Vector L
L = ω(Ixz,Iyz,Izz)
or, in the body frame,
L = (λ1ω1, λ2ω2, λ3ω3)
Ecuaciones de Euler para pares (SR)
N = Lºdot + ωxL
I1ωdot1 - (I2-I3)ω2ω3 = N1
(sigue cíclicamente, y son como las ecs. de Newton para rotaciones)
Lastly, if Iω=λω, replace I(i) with λ(i) above
Si In=λn, ¿qué es λ?
Un momento principal de inercia, y n su eje principal de inercia.
When using Binet, you wanna set up your θs so that…
They can be rewritten as r
Ley de las áreas
Adot=r^2 θdot/ 2=L/2m
if you know the area swept (say a circle), you can replace that in the LHS and solve for t to see how long that took.
Dado v, ¿cuál es el período de un movimiento circular (R)?
Circular, así que toda la v es tangencial, y
T=2π/v=2R/v
sec(arctan(k))
Set up a triangle with a=1.
tanθ=k=b/1=b
secθ=c/1=c=sqrt(1+b^2)=sqrt(1+k^2)
if you have r but not V, what’s a way to get v?
v^2=rdot^2+(rθdot)^2
Then get θdot from L and, if r=kθ, then rdot=kθdot
coshx
sinhx
sinh(0)
1/2(e^x+e^-x)
1/2(e^x-e^-x)
0
Write sinh^2x ito coshx
1+cosh^2x
sinh^2x-cosh^2x=1
Error: límites de integración para fórmula del tiempo (T2)
entre 0 y θ
Si una part. tiene justo la E necesaria para llegar a un punto de equilibrio, cuanto tiempo tarda en llegar?
t infinito
Período pequeñas oscilaciones
T=2π sqrt(m/V’‘(x))
con ω=sqrt(V’‘(x)/ m)
Posibilidad olvidada al considerar casos energéticos (T1)
Que la energía E sea = a V en el punto inicial, o sea, que vo=0
Tiempo trayectoria (T1)
t-t0 = sqrt(m/2) int[dx/sqrt(E-V)]
- Recuerda que t0 es el tiempo que tarda en volver al punto de partida si el sgn(v) es opuesto a la dirección de divergencia de V
- Si la int es convergente, toma un tiempo finito en alcanzar el infinito
Say you have a pol x^4+Bx^2+C
You’ll say z=x^2 and solve.
Now imagine you get two sols., one positive one negative. What do you conclude?
The negative solution is discarded, because x^2 is always positive. From the positive solution stem two solutions, with +-x
In T1, always double check
Your arithmetic, lemao
Ecuación oscilador armónico
x''+ω^2x=0 El razonamiento es: Si osc. pequeñas, V(x)=V(0)+1/2 V''(0)x^2+...(V'(0)=0) 3ra ley Newton: F=mx''=-dV/dx=-V''(0)x x''+V''(0)x/m=x''+ω^2x=0 ω=sqrt(V''(0)/m)
T2: Qué pasa si L=0?
Si E>V=U, se mueve en una línea recta que pasa por el origen.
Si E=V=U, se queda en ese punto (si es de equilibrio)
T1: ¿Cómo hallar ley horaria?
Despejar de expresión genérica para E
Tasa de cambio de un vector en sistema de referencia inercial
(dQ/dt)So = (dQ/dt)S + ΩxQ
donde So es el sistema inercial y S el no inercial
OM es la velocidad angular
Si Q=Ω, los cambios son iguales
Tasa de cambio de un vector genérico, fijo sobre un cuerpo que rota
de/dt=ωxe
2da ley de Newton en S no inercial
ma = F - mA - 2m(ωxv) - mωx(ωxr) - (ωdotxr) = F + F(ficticia)
This’d be the force on a particle (measured in S’, inertial frame) as seen in S (moving frame).
If ω=cte, the last term goes away!!
If F were measured directly in S, we’d have no (-mA).
Fuerza de Coriolis
2m(ωxv)
Fuerza centrífuga
mωx(ωxr)
Velocidad en sistema de referencia fijo
vf = vm + V + ωxr
where V is the velocity of the origin of S as measured in S’ (inertial frame)
Tenemos una bola en un coche que se mueve, ¿cuál es la velocidad de la bola respecto al suelo?
V(b/s)=V(c/s)+V(b/c)
kinda like vf=vm+V, innit?
Ecuaciones del movimiento respecto a la superficie terrestre (aproximación)
r = r(0) + vº(0)t + g0(t^2/2) - t^2(ωxv(0)) - (t^3/3)(ωxg0)
donde g0=ge3=9,80665e3
ω en sistema de ejes terrestre
pasa de
ω=ωe’3
a ser
ω=ω(-cosλe1+sinλe3)
Sistema de ejes terrestre
Si R conecta el centro de la tierra con el punto O en su superficie,
e3 (z) va en la dirección de R
e1 (x) es tangente al meridiano que pasa por O (sur)
e2 (y) es tangente al paralelo que pasa por O (este)
En movimiento terrestre, cómo hallar tiempo de vuelo?
Usar la aproximación del movimiento y aislar las componentes e3 (z en sistema de ejes terr.). Igualar z=0 y despejar t.
En mov. terr., calcular desviaciones al (o)este
Δy=vot+at^2/2
Necesitamos la aceleración en y:
Puede venir de una fuerza, p.e. de Coriolis (F/m=a)
or
Hallar r, aislar componentes e2 (y).
Hallar tiempo que nos interesa (prob. con e3) y sustituir en y. Ver el signo del resultado.
Como y va hacia el este, una expresión distinta de 0 y negativa implica desviación al oeste.
Vector g0 (T4)
g0 = -ge3
Ecuación MUA
y=y(0)+vt+at^2/2
Si el movimiento (T4) es hacia abajo (pozo), ¿qué hacer?
Poner la ec. aprox. de r con todos los sgn cambiados
ERROR: tener cuidado al hacer productos vectoriales con v. unitarios, porque…
Hay que comprobar el signo del vector ortonormal resultante usando la right hand rule
Get x from F=ma
First, v(t)=v(0)+int(F(x)) 0->t Then, dx/dt=v(0)+... x(t)=x(0)+...
(SR) Momento angular simple formula
Lz=Iω
pls note this is only Lz!! Lx and Ly aren’t necessarily =0
If I is a matrix, L and ω are 3x1 column vectors
Ta Steiner
I(P)ij = Iij + M(δa^2-aiaj)
where a is a vector going from O (CM) to the new point P
Vector R para el CM
R=(1/M)SUM(mi ri)
or
(1/M)int(rº dm)
the º means thats a perfect vector boi
Momento ito CM
Pº=MRºdot
deriva para obtener Fext
Fuerza externa ito CM
Fext=MRº(..)=Pº(.)
(SR) Lº
Lº = RxP + SUM(r’ x mr’dot) = L1 + L(CM)
e.g. on Earth L=Lorb+Lspin
Γ(ext) (SR)
Γ(ext)=Lºdot
Lx, Ly (SR)
Lx = -SUM(mxzω) = Ixzω Ly = -SUM(myzω) = Iyzω
What kinda matrix is the inertia tensor
Ofc it’s a perfect symmetry boi
Symmetry conclusions (SR)
if x->(-x) then Ixy=Ixz=0
if x->y then Ixx=Iyy
Si un sólido gira “libremente”…
Fext=0 & el par N no depende del O respecto del cual se calcula, so tomar CM
Tensor de inercia cubo
Icm=Ma^2/6 (por matriz identidad)
Delta de Kronecker
Vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes.
Masa cilindro ito ρ
ρπhr^2
Say you have symmetry such that I11=I22. What’s a trick to find that I11?
First, calculate I33. Then, set up this integral
2I1=I1+I2=ρ int(x^2+y^2+2z^2)=I3+ρ int(2z^2 d^3r)
Imagine ω goes in the dir of e1`+e2. Write ω it in vector form
ωº=ω(e1º+e2º)/sqrt(2)
In other words, normalize the direction vector
3ra ley Kepler
T^2=4π^2a^3/GM
donde a es el semieje mayor de la elipse
Momento angular respecto de un punto fijo en el cuerpo
Si L es fijo en el sistema de ejes fijos y en el sólido, (asume ω=ωe1)
L=Iωe1=ω(I11,I21,I31)
Al calcular el tensor de inercia, qué va fuera de las integrales I(ij)?
La densidad=M/V
Se quiere calcular L. ¿Respecto a dónde se calcula I?
Se debe calcular I respecto a un punto sobre el eje de rotación
Coordenadas de un par aplicado (SR)
N1=Iω1dot
and so on
Fuerza de ligadura para partícula obligada a moverse dentro de una varilla
Si la varilla está en el eje OX, en el SR de la varilla
Fº=(0,F2,F3)
Velocidad en esféricas
rdot + rθdot + rsinθφdot
Elemento de longitud de arco en esféricas
Es como quitarle el dot a la expresión de la velocidad y ponerlo en diferenciales.
ds^2 = dr^2 + (rθ)^2 + (rsinθdφ)^2
Velocidad en cilíndricas
ρdot + ρθdot + zdot
Vector rº en polares
rº = r er
Vector rºdot en polares
rºdot = rdot er + r θdot eθ
Derivada total cosx
cos(x) xdot
Encontrar ecuación del movimiento para q
T5
Usar ecuaciones de E-L
or
Hay que encontrar una fórmula que tenga qdot, p.e. un momento canónico, y derivarla para tener la derivada segunda. Luego dejarla sin coeficientes en una ecuación.
Solución ecuación oscilador armónico
Su ecuación general
r=acos(ωt)+bsin(ωt)
ecuación xdotdot+ω^2x=0
that’s a PLUS
El punto de anclaje de un péndulo de masa oscila armónicamente en una línea horizontal con amplitud A y frecuencia v. Escribe la ecuación de x para el punto de anclaje.
x=Acos(vt)
Deriva xdot respecto a t
xdotdot
Momento angular ito cross product
L=rxp
Energía potencial placa de lados 2R
Asumiendo que es homogénea,
V=mgR, a la altura de su CM
A partir del lagrangiano, ¿cómo ver si se conserva pq? ¿Y E?
Se conservan si L no depende de dicha coordenada q ni de t.
(Lagrange) Hallar velocidad dadas cond. iniciales
Supongamos que tenemos dos coordenadas. Podemos usar los momentos, ecuaciones del movimiento o la energía (en función de las cond. in.) para despejar una qdot en función de la otra, y reemplazar esto en la expresión antes elegida.
Let Mº=Me3
Do Mºxrº
rº=rer
So Mºxrº=Mre2
(Lagrange) si te piden calcular la ecuación del movimiento…
Calcular ecs. de Euler Lagrange dios
Quieren la ec. de mov. Tu despejas xdot, say. What now?
si tienes xdot=k, entonces
x=x(0)+ωt
con k=ω
Si px=Lz+kx, y pxdot=0, se conserva Lz?
No, porque Ldot=-k=/=0
Si una part. en cilíndricas tiene vº(0)=-ωr0eθ, determinar su movimiento
vº(0) = r(0)dot + r(0)θ(0)dot = -ωr0eθ then r(0)dot=0 & θ(0)dot=-ω
If v(0) is (0,k), does that imply px=0?
Apparently not
(T2) cómo obtener la ley horaria?
Intenta despejar θdot de L e integrar para obtener θ(t). Luego reemplazar en r(θ) para obtener r(t)
Solución general xdotdot-ω^2x=0
acosh(wt)+bsinh(wt)
Vector cuadrimomento
pº=(E/c,pº) si es másica
pº=(|pº|,pº)
Módulo cuadrimomento
p=mu=mγ(v)(c,v)
Energía relativista
E=mc^2γ(v)
Factor de Lorentz
1/sqrt(1-v^2/c^2)
Momento inicial fotón
pi=(E/c,E/c,0,0)
Cuadrimomento al cuadrado
p^2=(mc)^2
Ecuación de Planck
E=hf=hc/λ
Una part. colisiona con otra en reposo. Incluir en el momento inicial…
Tanto el momento de la part. en mov. como en reposo
Relaciona velocidad con energía y momento
vº=c^2pº/E
con pº=(p1,p2,p3)=mγ(v)vº
Que poner en XiXj en Steiner
Las coordenadas de R según los elementos de matriz
Define H
H=sum(pi qidot) - L
Int(cos^2(x)) entre 0 y 2π
0
Truco integrales tensor de inercia
A veces se puede poner I33=I11+I22=2I11, por ejemplo
