Ecuaciones diferenciales

Question 1

Define ec. homogénea de primer orden

Cómo resolverla

Answer 1

y’=f(y/x)
Se resuelve con u=u/x
->u’x+u=f(u)

NO confundir con “homogénea” en el caso lineal, que significa que no hay R(x) solo

Question 2

Define ec. lineal homogénea

Answer 2

La que no tiene funciones R(x) sin ‘y’

Question 3

Condición para ec. exacta

Answer 3

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

exacta sii dP/dy=dQ/dx (dvp)

Question 4

Ec. lineal

Solución

Answer 4

y’=a(x)y+b(x)

y=exp[int(a(x)dx)] es el F.I.

Question 5

Bernoulli. Su objetivo.

Answer 5

Bernoulli cambia la ec. dada a una lineal.
y’=a(x)y+b(x)y^γ
u=y^1-γ
u’=(1-γ)(a(x)u+b(x)) [lineal]

Question 6

Ricatti

Answer 6

y’=a(x)y^2+by+c
sea y1 una sol conocida
u=y-y1 es Bernoulli con γ=2
u’=(2ay1+b)u+au^2

Question 7

Diferencia entre Ricatti y Bernoulli

Answer 7

Ricatti tiene una función c(x) sin y

Question 8

Solución ec. exacta

Answer 8

Tenemos dvpF/dx=dvpF/dy

Encontrar función “potencial” F

Question 9

What if an equation isn’t quite exact?

Answer 9

You find an IF that’s only a function of x (resp. y) that makes it exact.

Question 10

Give formula for 2nd order linear inhomogeneous DE

When’s it homo?

Answer 10

y’‘+Py’+Qy=R
where capital letters are all functions of x
Homo if R=0

Question 11

Razonamiento para resolver ec. inhomogénea lineal de 2do orden

Answer 11

Hacer que R(x)=0. Ahora es homo. Esta ec. tiene una solución general yg=ay1+by2. La hallamos.
Entonces la sol. general de la inhomo es, si tenemos una de sus soluciones particulares (yp),
y=yg+yp

Question 12

Cómo ver que dos soluciones son L.I.?

Answer 12

Que su cociente no sea cte

o usar el wronskiano, pedante

Question 13

Idea para resolver lineales de 2do orden homogéneas

Answer 13

Considerar la solución y=exp(mx), derivar dos veces. Queda un pol. entre paréntesis.

Question 14

Casos para resolver lineales de 2do orden homogéneas

Answer 14

Tres casos de raíces
1) Reales y distintas
y=c1exp(m1x)+c2exp(m2x)

2) Complejas distintas
y=exp(ax)(c1cosbx + c2sinbx)

3) Reales iguales
y=c1exp(mx)+c2exp(mx)

Question 15

Coefs. indeterminados para un seno (resp. cos)

Answer 15

yp=Asenbx+Bcosbx

Si falla, agregar una x multiplicando todo el RHS

Question 16

Coefs. indeterminados para un polinomio

Answer 16

yp=A+Bx+…Kx^k

siendo k el grado del pol.

Question 17

For higher order DEs, start by…

Answer 17

Pol. característico for the HOMO EQ.. Then, write solutions as exponentials, adding x as a coeff. when its m>1. That’s the general solution.

Question 18

xp if λ = -1+-2

Answer 18

e^-t (c1cos2t+c2sin2t)

MIND the ts in cis!

Question 19

xp if λ = -1 with μ=3

Answer 19

(c1+c2t+c3t^2) e^-t

Question 20

xg if λ = -1 and RHS is e^-t

Answer 20

Ate^-t

Question 21

Little formula for xp ito exp

Answer 21

c x^k exp(μx)
k only comes into play if some λ is the coeff of the RHS exp. Else, it’s as if you had an extra e^0x on the RHS, and so xg has x^0=1

Question 22

If RHS is t, is xg always (A+Bt)?

Answer 22

Not if λ=0, that’s like having RHS=t e^0t which merits a t

Question 23

Steps exponencial matricial

Answer 23

• Sol homo.
• Matriz wronskiana en x=0
• Invertirla
• A^-1 (I A)
• e^Ax = (sol homo)(paso anterior)

Question 24

Si λ=3 (doble), que entra en la matriz wronskiana?

Answer 24

e^3x+xe^3x

en la primera fila claro

Question 25

When writing cosz (resp. sinz), don’t forget…

Answer 25

the i on the exps

Question 26

Si la raíz de la homo coincide con la a de exp(ax), y la parte inhomo es xe^ax, hallar xp

Answer 26

xp = (Ax+B) x exp(ax)

Question 27

When integrals with pols in the den., don’t forget to…

Answer 27

Factorizar

Question 28

Before you turn some exp(z)=ic into a log, try doing what to c?

Answer 28

Put it in exp form (see if they're known values of cis)
So now, ic=rexp^(arg)
Then log(r) + (θi+2kπi)