Matte - Potenser, røtter og standardform Flashcards
Hvilket symbol brukes for tallmengden med naturlige tall?
Bokstaven N
Hvilket symbol brukes for tallmengden med negative og positive tall?
Bokstaven Z = hele tall
Hva er motsatt tall?
Det er tall som ligger like langt unna på begge sider av tallet 0, f.eks 2 og -2
Hva er Rasjonale tall?
Det er tall som kan skrives som en brøk med et helt tall i teller og et helt tall i nevner (brøk) og rasjonale tall skrives med Q
Hva er Irrasjonale tall?
Det er tall som f.eks Pi=3,14 og
Huskeregel for addisjon med negative tall + positive tall
Pluss og minus = minus
Huskeregel for subtraksjon med negative tall - negative tall
Minus og minus = pluss
Huskeregel for multiplikasjon og divisjon med negative tall
- Multiplikasjon og divisjon av to tall med like fortegn = positivt tall
- Multiplikasjon og divisjon av to tall med ulike fortegn = negativt tall
Multiplikasjon og divisjon utføres som om begge tallene var positive
Huskeregel for regnerekkefølge med flere regnetegn
Multiplikasjon og divisjon skal skje før man adderer og subtraherer
Huskeregel for regnerekkefølge med potens, parentes og resten av fortegnene
- Regn ut det som står i parentes
- Regn ut potensene (når et tall er opphøyd. Har et lite tall over seg)
- Utfør multiplikasjon og divisjon
- Utfør addisjon og subtraksjon
Er det en potens inni parentesen, skal denne regnes ut først før man regner ut tallene i parentesen. Eks 2 x (3-(-2)^3) = 2 x (3 - (-8)) = 2 x (3 + 8) = 2 x 11 = 22
Hva heter tallet over brøkstreken?
Det kalles en teller
Hva heter tallet under brøkstreken?
Det kalles nevner
Huskeregel for addisjon og subtraksjon med brøk
Når vi legger sammen eller trekker fra brøker med samme nevner, så legger vi sammen eller trekker fra tellerne og beholder nevnerne
Hva betyr å “Utvide en brøk”?
Det betyr når vi multipliserer både teller og nevner med samme tall uten at brøken endrer verdi
Hva betyr å “Forkorte en brøk”?
Det betyr når vi dividerer både teller og nevner med samme tall uten at brøken endrer verdi
Huskeregel for multiplikasjon med brøk
Vi multipliserer to brøker ved å multipliserer teller med teller og nevner med nevner. Hele tall deler vi med 1, slik at de kan oppfattes som brøk. Viktig å huske å forkorte svaret!
Huskeregel for divisjon med brøk
Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den omvendte brøken. Eks. 7/2 : 3/5 = 7/2 x 5/3 = 35/6
Hva er en likning?
En likning består av et likhetstegn og et utrykk på hver side av likhetstegnet og har en ukjent faktor
Hva er en lineær likning?
Det er den enkleste likningen og inneholder aldri en potens (opphøyning) av ukjent faktor eller har en ukjent faktor i nevneren på en brøk
Fremgangsmåte for å løse lineær likning
Når vi skal løse lineære likninger som de på siden her, kan vi bruke følgende algoritme:
- Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først multiplisere (gange) ut disse parentesene.
- Hvis likningen inneholder brøker, må vi multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet.
- Vi legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet slik at vi får samlet alle leddene som inneholder den ukjente faktoren på venstre side og alle leddene som bare består av tall på høyre side av likhetstegnet.
- Vi trekker sammen leddene.
- Til slutt deler vi med tallet foran den ukjente faktoren på begge sider av likhetstegnet
Hva betyr ordet prosent?
Prosent betyr hundredel
Hvordan kan vi finne riktig lengde av 20% av 120m?
- Da må vi finne prosentfaktoren av 20% som er 20/100 = 0,2
- Deretter må vi gange grunnlaget (120m) med prosentfaktoren (0,2), 120m x 0,2 = 24m
Hvor mange % er 24m av 120m?
- Da må vi finne prosentfaktoren av 24m (delen) og dele på 120m (grunnlaget), 24m/120m = 0,2 = 20%
- 24m er 20% av 120m
Hva betyr ordet promille?
Promille betyr tusendel
Hva er forskjellen på regning med prosent og promille?
Regningen er lik, men i promille benyttes 1 000 fremfor 100 som det brukes i prosent. Det kalles promillefaktor ved utregning av promille og prosentfaktor ved utregning av prosent
Huskeregler ved utregning av prosent og promille
- Prosent betyr hundredel.
- Prosentfaktoren er prosenten delt på 100.
- For å finne hvor mye en viss prosent av et tall (grunnlaget) er, finner vi prosentfaktoren og ganger grunnlaget med den.
- Grunnlaget er alltid 100 %.
- For å finne hvor mange prosent et tall er av et annet tall (grunnlaget), regner vi ut prosentfaktoren ved å dele tallet på grunnlaget.
- Alle punktene over gjelder også for promille, bortsett fra at promille betyr tusendel. I utregningene brukes 1 000 i stedet for 100.
Hva får vi når vi adderer to tall?
En sum
Hva får vi når vi subtraherer et tall fra et annet tall?
En differanse
Hva får vi når vi multipliserer to tall?
Et produkt
Hva får vi når vi dividerer to tall?
En kvotient
Huskeregel for potenser
- Står eksponent bak tallet uten parentes, så skal kun tallet opphøyes. Eks -3^2 = -9 fordi -3 x 3 = -9. Her har vi et positivt og negativt tall, som gir et negativt svar
- Står eksponenten utenfor parentesen, så skal både fortegnet og tallet opphøyes. Eks, (-3)^2 = 9 fordi (-3) x (-3) = 9. Her har vi like fortegn, som gir et positivt tegn
- Står eksponenten utenfor parentesen med en brøk inni, så skal både teller og nevner opphøyes. Eks, (2/3)^2 = 4/9 fordi 2/3 x 2/3 = 2^2/3^2 = 4/9
Regel for kvadratrot
Kvadrattall er de tallene vi får når de naturlige tallene blir opphøyd i andre potens, altså multiplisert med seg selv.. F.eks er kvadratroten av 25 = 5^2. Altså 5 x 5 = 25. Dette betyr at når vi tar kvadratroten av et tall så får vi et helt tall til svar
Multiplikasjon med kvadratrot
Vi kan enten regne ut rotens verdi eller ved å gange sammen verdien under rottegnet og regne kvadratroten til slutt. Eks:
Alt. 1: √9 x √4 = 3 x 2 = 6
Alt. 2: √9 x √4 = √36 = 6
Regneregel:
√a x √b = √ab
√ab = √a x √b
Hovedregel ved potens med parentes og multiplikasjon
Om regnestykke inneholder parentes med multiplikasjon inni og eksponent utenfor parentes, så skal alt inni parentesen opphøyes i eksponenten. Her kan det være ulike grunntall. Eks. (2 x a)^3
Langt svar: (2 x a) (2 x a) (2 x a) = 2 x 2 x 2 x a x a x a = 2^3 x a^3
Kort svar: (2 x a)^3 = 2^3 x a^3
Regel: (a x b)^n = a^n x b^n
Hovedregel ved potens med parentes og divisjon
Om regnestykket inneholder parentes med brøk inni og eksponent utenfor parentesen, så skal både teller og nevner opphøyes i eksponenten. Her kan det være ulike grunntall. Eks. (3/4)^3
Langt svar: (3/4) x (3/4) x (3/4) = 3^3/4^3
Kort svar: (3/4)^3 = 3^3/4^3
Regel: (a/b)^n = a^n/b^n
Her er et eksempel om eksponenten er negativ, f.eks (2/5)^-2
1. Fjern parentesen og sett eksponenten på begge -> 2^-2 / 5^-2
2. For å gjøre eksponenten positiv, så må tallene bytte plass ->
5^2 /2^2 = 55 / 22 = 25 / 4
Hovedregel med eksponent både utenfor og inni parentes
Om regnestykket har eksponent både inni og utenfor parentes, så er det enklest å multiplisere eksponentene sammen. Eks. (3^2)^3
Langt svar: (3^2) (3^2) (3^2) = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^6
Kort svar: (3^2)^3 = 3^2 x 3 = 3^6
Regel: (a^n)^m = a^n x m
Hovedregel med potens opphøyd i 0 (null)
Uavhengig av grunntallets verdi, om eksponenten blir 0, så blir svaret 1. Eks. 2^3 / 2^3
Langt svar: 2 x 2 x 2 / 2 x 2 x 2 = 1
Kort svar: 2^3 / 2^3 = 2^3 - 3 = 2^0 = 1
Regel: a^0 = 1
Hovedregel med negativ eksponent
Om eksponenten blir negativ, flyttes potensen under brøkstreken for å bli positiv og vi setter 1 i teller. Eks. 4^3 / 4^5
Langt svar: 4 x 4 x 4 / 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1 / 4 x 4 = 1 / 4^2
Kort svar med divisjonsregel: 4^3 / 4^5 = 4^3 - 5 = 4^ -2 = 1 / 4^2
Regel: a^ -n = 1 / a^n
Divisjon med kvadratrot
Vi kan enten regne ut divisjonen under rottegnet før vi finner kvadratroten eller vi kan finne kvadratroten i teller og nevner før vi starter med divisjon. Eks:
Alt. 1: √36/4 = √9 = 3
Alt. 2 √36/4 = √36/√4 = 6/2 = 3
Regneregel:
√a/b = √a/√b
√a/√b = √a/b
Regel for tredjerot
Tredjerot er tall opphøyd i 3. Eks, tredjeroten av 64 = 4, fordi 4^3 = 64. Tredjerot kan også finnes i negative tall
Regel for fjerderot
Fjerderot er tall som er opphøyd i 4. Eks fjerderoten av 625 = 5, fordi 5^4 = 625
Regel for rasjonal eksponent (brøk som eksponent), hvor grunntallet under rottegnet IKKE har eksponent (opphøyd)
Med rasjonale eksponenter så gjelder de samme reglene som med vanlig regning med potens. Er grunntallet i kvadratrot, så gjøres roten om til en brøk med 1 i teller og 2 i nevner. Dette fortsettes videre med tredje-, fjerde- og femterot. Eks, √4 = 4 1/2
Regel n√a = a 1/n
Regel for rasjonal eksponent (brøk som eksponent), hvor grunntallet under rottegnet HAR eksponent (opphøyd)
Med rasjonale eksponenter så gjelder de samme reglene som med vanlig regning med potens. Er grunntallet i kvadratrot, men grunntallet har eksponent (opphøyd), så gjøres roten om til en brøk hvor roten blir nevner og eksponenten til grunntallet blir teller. Eks, √4^3 = 4 3/2
Regel n√a^t = a t/n
Regning med potenser og rotuttrykk
- Vi gjør først om til potenser
- Trekker sammen i teller først - pass på felles nevner når du trekker sammen brøker. Må ganges opp for å få lik nevner.
- Vi trekker fra eksponent i nevner
- Forkorter brøken i eksponenten
- Gjør til slutt om til rot
Hva er tall på standardform?
Enten veldig lange eller veldig korte tall som skrives med tierpotens og i tillegg har et desimaltall
Regel
a *10^n
Tallet a må være et tall mellom 1-10 og n må være et helt tall
Tierpotens med positive tall
Eksponenten forteller hvor mange 0’er som er bak 1. Komma flyttes til høyre fra 1
Eks.
10^0 = 1
10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1 000
10^4 = 10 000
10^5 = 100 000
Tierpotens med negative tall
Negativ eksponent forteller hvilken plass 1’ern skal ha bak komme. Komma flyttes til venstre fra 1
Eks.
Tungvint måte
10^-1 = 1/10^1 = 1/10 = 0,1
10^-2 = 1/10^2 = 1/100 = 0,01
Forenklet måte
10^-3 = 0,001
10^-4 = 0,0001
10^-5 = 0,00001
Regning fra vanlige tall til standardform
Regnestykke fra vanlige tall til standardform
- 147 000 -> Først flytter vi komma, tallet må være mellom 1-10
- 1,47 -> Tallet er nå mellom 1-10
- Vi må legge på tierpotens
- 1,47 x 10 -> Eksponenten teller antall plasser komma er flyttet
- 1,47 x 10^5
Svaret er 147 000 = 1,47 x 10^5
Regning fra standardform til vanlige tall
Regnestykke fra standardform til vanlige tall
Eks: 1,54 x 10^-3
- 1,54 -> Vi skriver tallet på nytt
- 10^-3 -> Nå ser vi på eksponenten til tierpotensen. Når eksponenten er negativ flyttes komma til venstre
- 0,00154 -> Vi har flyttet komma tre plasser til venstre
Svaret er 1,54 x 10^-3 = 0,00154
Regler for multiplikasjon med tall i standardform
Viktig å huske på potensreglene når man regner tierpotensene
Eks. 47 000 x 0,0002
1. 47 000 x 0,0002 -> Tallene må gjøres om til standardform
2. 4,7 x 10^4 x 2,0 x 10^-4 -> Tallene er gjort om til standardform og vi setter tall og tierpotenser hver for seg
3. 4,7 x 2,0 x 10^4 x 10^-4 -> Vi regner tallene for seg og tierpotensene for seg
4. 9,4 x 10^4 + (-4)
5. Svarene kan bli:
9,4 x 10^0 = 9,4 x 1 = 9,4
Regler for multiplikasjon og divisjon med tall i standardform
Viktig å huske potensreglene når man regner tierpotensene
- Tallene må bli gjort om til standardform
- Tall og tierpotenser settes hver for seg
- Vurder om det er enklest å dele eller gange tallene først
- Tallene regnes sammen og tierpotensene regnes sammen. Pass på fortegn når tierpotensen skal flyttes fra under brøkstreken til over
Formel for å finne en del av et helt tall
Prosentfaktoren x hele tallet
Regel fra tall til standardform
- Har vi et stort tall, så flyttes komma til venstre og vi får en positiv eksponent
Eks. 245,0 = 2,45 * 10^2 - Har vi et lite tall, så flyttes komma til høyre og vi får en negativ eksponent
Eks. 0,0034 = 3,4 * 10^-3
Regel fra standardform til tall
- Har vi et tall med positiv eksponent, så skal komma flyttes til høyre
Eks. 8,44 * 10^6 = 8 440 000 - Har vi et tall med negativ eksponent, så skal komma flyttes til venstre
Eks. 2,92 * 10^-5 = 0,0000292
Addisjon og subtraksjon med tall på standardform UTEN brøkstrek
Ved addisjon og subtraksjon kan vi ikke følge vanlige potensregler. Slik må det gjøres på denne oppgaven: 6,35 * 10^6 - 2,5 * 10^5
- Vi må gjøre om tallene så begge har lik eksponent. 6,35 * 10^6 blir da 6,35 * 10 * 10^5 = 63,5 * 10^5
- Det nye regnestykket er nå -> 63,5 * 10^5 - 2,5 * 10^5. Viktig å passe på at verdien av tallet vi gjorde om forblir det samme. Siden tallet ble større, så må eksponenten bli mindre
- Vi kan forenkle regnestykket og vi kan sette like faktorer utenfor parentes. Regnestykket blir nå -> (63,5 - 2,5) * 10^5
- Vi kan addere/subtrahere tallene inni parentesen og finne svaret. (63,5 - 2,5) * 10^5 = 61 * 10^5 = 6,1 * 10^6
- Viktig å lese hva oppgaven tilsier at svaret skal bli. I dette tilfellet skulle svaret stå i standardform
Addisjon og subtraksjon med tall på standardform OG brøkstrek
Ved addisjon og subtraksjon kan vi ikke følge vanlige potensregler.
Slik må det gjøres på denne oppgaven: 5 * 10^6 + 1,5 * 10^7 / 2,5 * 10^-6
- Når det er brøkstrek, så må vi regne sammen i teller først, før vi går til nevner
- Vi må gjøre om tallene i teller så begge har lik eksponent før vi kan legge sammen eller trekke fra tallene. Nevneren står stille enn så lenge. 5 * 10^6 + 1,5 * 10 * 10^6 = 5 * 10^6 + 15 * 10^6
- Vi kan forenkle regnestykket og sette like faktorer utenfor parentes. Regnestykket blir nå -> (5 + 15) * 10^6 / 2,5 * 10^-6 = 20 * 10^6 / 2,5 * 10-6
- Vi har nå to tall på standardform som kan deles på hverandre og regnestykket er nå -> 20 / 2,5 * 10^6-(-6) = 8 * 10^12
Formel for å finne prosentfaktoren
Delen av tallet / hele tallet
Formel for å finne hele tallet
Delen av tallet / prosentfaktoren
