MatS 9/N Flashcards
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem ist eine mathematische Struktur aus zwei Gleichungen, in der jeweils zwei Variablen vorkommen.
Was ist die Lösung eines linearen Gleichungssystems?
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist dasjenige Zahlen- oder Wertepaar, das bei Einsetzen in die Gleichungen beide Gleichungen erfüllt.
Wie wird die Lösung eines linearen Gleichungssystems dargestellt?
Bei der Angabe der Lösung wird zwischen die beiden Werte für die jeweiligen Variablen das Zeichen ∧ gesetzt. Die beiden Gleichungen eines linearen Gleichungssystems werden so untereinander geschrieben, dass die beiden Gleichheitszeichen übereinander stehen.
Was lässt sich ein lineares Gleichungssystems in einem Koordinatensystem abbilden?
Was zeichnet sich ab, wenn es eine eindeutige Lösung eines Gleichungssystems gibt?
Trägt man einige Wertepaare, die eine der Gleichungen erfüllen, in ein Koordinatensystem ein, so liegen diese Punkte auf einer Geraden. Sind diese Geraden nicht parallel und besitzen somit einen Schnittpunkt, so geben die Koordinaten dieses Schnittpunktes die Lösung des linearen Gleichungssystems an. Dies ist die einzige Lösung des Gleichungssystems.
Wann lässt sich das Umstellen nach y bzw. x bei einem Gleichungssystem vermeiden?
Wenn in beiden Gleichungen das gleiche Vielfache einer Unbekannten steht.
7x – 7 = 3y
5,5 = 3y – 2x
lässt sich schnell umstellen nach 3y:
3y = 7x – 7 3y = 2x + 5,5
und anschließend zur Berechnung von x gleichsetzen.
Sobald x bekannt ist, lässt sich y berechnen:
3y = 7 ∙ 2,5 – 7 ⇔ y = 3,5
Wie lässt sich ggf. ein gleiches Vielfache einer Unbekannten in einem Gleichungssystem schaffen, um sich komplizierte Berechnungen zu ersparen?
Durch Dividieren der einen als auch durch Multiplizieren der anderen Gleichung.
Wenn sich durch das Multiplizieren das Entstehen neuer Brüche vermeiden lässt, ist diese Möglichkeit sinnvoller.
3y + 7x = 11
31 + 9y = 11x
- Gleichung mit 3 multiplizieren ergibt 9y, welches auch unten auftaucht:
9y + 21x = 33
Nun kann nach umstellen nach 9y direkt gleichgesetzt werden.
Wie funktioniert das Einsetzungsverfahren?
Taucht in einer der beiden Gleichungen eine Unbekannte mit dem Koeffizienten 1 auf, so lässt sich diese Gleichung schnell nach der Unbekannten auflösen.
Durch Einsetzen dieser Gleichung in die andere Gleichung spart man sich einen Rechenschritt und kann die andere Unbekannte ermitteln.
Wie kann beim Einsetzungsverfahren das Ergebnis geprüft werden?
Durch Einsetzen der ermittelten Werte in die Gleichung in die anfangs eingesetzt wurde, und zwar in ihrer ursprünglichen Form.
Als Ergebnis muss sich eine Identität ergeben.
Welche Möglichkeit zum Lösen eines Gleichungssystems ergibt sich ggf., wenn man eine der beiden Gleichungen so verändert, das man in beiden Gleichungen gleiche Vielfache einer Variablen erhält?
Lässt sich eine der beiden Gleichungen so verändern, dass man gleiche Vielfache einer Variablen erhält, so kann man dieses Vielfache auch direkt einsetzen. In solchen Fällen sollte man unbedingt darauf achten, das Entstehen neuer Brüche zu vermeiden und das Ziel bevorzugt durch Multiplizieren einer Gleichung erreichen.
Wie funktioniert das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren?
Beim Additions- bzw. Subtraktionsverfahren werden die sich entsprechenden Seiten zweier Gleichungen zueinander addiert bzw. voneinander subtrahiert. Das Ziel dieser Operation ist die Veränderung der Struktur „Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten“ zu „Einer Gleichung mit einer Unbekannten“.
Dieses Ziel lässt sich nur erreichen, wenn in beiden Gleichungen eine der Variablen mit einem betragsgleichen Koeffizienten auftaucht. Schreiben Sie Gleichungsteile (und das Gleichheitszeichen), die sich entsprechen, direkt untereinander.
Sind die mit den betragsgleichen Koeffizienten verbundenen Rechen- bzw. Vorzeichen gleich, so sind die Gleichungen zu subtrahieren, im anderen Fall zu addieren. Im Zweifel hilft immer die Frage, durch welche Rechenart die entsprechende Variable eliminiert wird.
Welche drei Methoden kann man anwenden, wenn anfangs in einem Gleichungssystem keine betragsgleichen Koeffizientenpaare auftachen?
Einer der Koeffizienten ist ein Vielfaches des anderen.
In diesem Fall lassen sich betragsgleiche Koeffizienten durch entsprechende Multiplikation nur einer Gleichung schaffen.
Mindestens eines der Koeffizientenpaare ist nicht teilerfremd.
Durch entsprechendes Multiplizieren beider Gleichungen lassen sich diese so verändern, dass der neue Koeffizient dieser Variablen dann kleiner als das Produkt der entsprechenden Koeffizienten ist.
Beide Koeffizientenpaare sind teilerfremd.
In diesem Fall multipliziert man die eine Gleichung mit dem zugehörigen Koeffizienten der anderen Gleichung und umgekehrt. Dies ist die Methode, bei der die größten Zahlenwerte entstehen. Sie sollte nur als letztes Mittel verwendet werden.
Wie geht man sinnvollerweise bei der Lösung eines Gleichungssystems bestehend aus drei Gleichungen vor?
Schreiben Sie zunächst das Gleichungssystem so, dass alle Brüche beseitigt sind und alle sich entsprechenden Summanden genau untereinander stehen. Nummerieren Sie die Gleichungen.
Wählen Sie die Variable aus, die Sie im ersten Reduzierungsschritt beseitigen wollen. Dabei müssen Sie in beiden Gleichungskombinationen die gleiche Variable beseitigen. Machen Sie die Auswahl von den Koeffizienten der Variablen abhängig.
Notieren Sie sich, wie Sie die beiden ausgesuchten Gleichungskombinationen verändern müssen, damit die ausgewählte Variable verschwindet. Beginnen Sie erst dann mit der Rechnung!
Lösen Sie das dann verbliebene Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten nach den bekannten Regeln.
Setzen Sie die erste erhaltene Teillösung in beide Gleichungen (Kontrolle!) des Gleichungssystems mit zwei Variablen ein und berechnen Sie so die zweite Teillösung.
Setzen Sie die beiden Teillösungen in zwei (Kontrolle!) der ursprünglichen Gleichungen ein und berechnen Sie die noch fehlende dritte Lösungskomponente.
Wann ist das Einsetzverfahren den anderen Methoden zur Auflösung eines Gleichungssystems vorzuziehen?
Wenn in einer der Gleichungen eine unbekannte mit dem Koeffizienten 1 auftaucht.
