Math Basics (written study) Flashcards
Forme die Summe in ein Produkt um:
16a2 – 49b2
(4a + 7b)(4a – 7b)
20 Minuten, nachdem ein Güterzug den Bahnhof um 18.00 Uhr mit einer Geschwindigkeit von 42 km/h verlassen hat, folgt ihm ein Expresszug mit 70 km/h auf einem Parallelgleis.
Wann überholt der Expresszug den Güterzug?
Das Überholen erfolgt dann, wenn beide Züge zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort sind.
Da der Ort, an dem sich die beiden Züge befinden, von der jeweils verstrichenen Fahrzeit abhängt, wird man wieder eine dieser Fahrzeiten als Variable verwenden. Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten: Die kleinere Fahrzeit ist die des Expresszuges und die größere die des Güterzugs:
Bezeichnen Sie die kleinere Fahrzeit mit x, so tauchen in der Rechnung keine Minuszeichen auf. Das Ergebnis der Rechnung bezieht sich dann auf den Zeitpunkt 18.20 Uhr.
Bezeichnen Sie die größere Fahrzeit mit x, so tauchen in der Rechnung Minuszeichen auf. Das Ergebnis der Rechnung bezieht sich dann auf den Zeitpunkt 18.00 Uhr.
Bestimme zunächst die Definitionsmenge und löse dann auf:
D = ℚ \ {3/2}
x = 5,5
Vor vier Jahren waren Anna und ihre um 5 Jahre jüngere Schwester Birgit zusammen 17 Jahre alt. Wie alt sind sie heute?
Auch die Festlegung der Variablen ist mit der gegebenen Empfehlung recht einfach: Da nach dem heutigen Alter der beiden gefragt ist, sollte man auch das heutige Alter von Birgit (der Jüngeren!) mit x bezeichnen. Dann ist Anna, die Ältere, heute x + 5 Jahre alt.
Aber wie fließt die Angabe, dass die beiden vor vier Jahren zusammen 17 Jahre alt waren, in den Ansatz ein? Hier hilft eine einfache Überlegung:
Wenn Birgit heute x Jahre alt ist, dann war sie vor vier Jahren x – 4 Jahre alt
Wenn Anna heute x 5 Jahre alt ist, dann war sie vor vier Jahren (x + 5) – 4 Jahre alt.
Aus diesen Überlegungen lässt sich jetzt die entsprechende Gleichung entwickeln:
x – 4 + x + 5 – 4 = 17
⇔ 2x – 3 = 17 | +3
⇔ 2x = 20 | :2
⇔ x = 10
Also ist Birgit heute 10 Jahre alt; ihre Schwester Anna ist heute 15 Jahre alt.
Löse auf:
3 – 3 · (3 – 3 · 3)3 =
3 – 3 · (3 – 3 · 3)3 = 3 – 3 · (3 – 9)3 = 3 – 3 · (– 6)3 = 3 – 3 · (– 216) = 651
Löse auf zwei verschiedene Wege auf:
(2 - 3 + 5) · (- 2)
Bestimme zunächst die Definitionsmenge und löse dann auf:
D = ℚ \ {–4; 4}
x = – 2,5
Löse auf zwei verschiedene Wege auf:
(2 - 3 + 4) · (- 3)
(2 - 3 + 4) · (- 3)
= 2 · (- 3) - 3 · (- 3) + 4 · (- 3)
= (- 6) - (- 9) + (- 12)
= - 6 + 9 - 12
= - 9
Bestimme zunächst die Definitionsmenge und löse dann auf:
D = ℚ \ {–1; 1}
x = 3
Multipliziere aus und fasse zusammen:
(x + y) (2x + y) (3x – y)
6x3 + 7x2y – y3
Löse auf:
Die beiden Orte A-Stadt und B-Dorf sind 122 km voneinander entfernt. Fahrzeug I beginnt seine Fahrt um 12.00 Uhr in A-Stadt und fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h in Richtung B-Dorf. Um 12.15 Uhr startet Fahrzeug II in B-Dorf und fährt mit 60 km/h in Richtung A-Stadt.
Wann und wo treffen sich die beiden Fahrzeuge?
Hier ist die Festlegung der Variablen der erste Schritt zur Mathematisierung des Problems. In diesem Fall spielen die jeweiligen Fahrzeiten eine wichtige Rolle, denn neben den unterschiedlichen Geschwindigkeiten liegt hier der entscheidende Unterschied zwischen den beiden Fahrzeugen. Der grundlegende Lösungsansatz lautet hier:
Fahrzeug I ist bis zum Treffen eine Viertelstunde länger unterwegs als Fahrzeug II.
Aus dieser Grundidee folgt die Festlegung der Variablen zu
„x bezeichnet die Fahrzeit von Fahrzeug I in Stunden“
Vielleicht fällt Ihnen auf, dass mit dieser Definition von der Regel abgewichen wird, den kleinsten der gesuchten Werte mit x zu bezeichnen. Diese Regel ist aber ja auch nicht bindend, sondern soll nur dafür sorgen, negative Rechenzeichen zu vermeiden.
In diesem Fall ist es jedoch übersichtlicher, sich mit der Definition der Variablen auf den Beginn des ganzen Vorgangs (um 12.00 Uhr) zu beziehen und die Fahrzeit des zuerst gestarteten Fahrzeugs zu bestimmen. Daraus folgt dann die Fahrzeit des zweiten Fahrzeugs durch Subtraktion des Vorsprungs von einer Viertelstunde.
Aus der Fahrzeit x des zuerst losgefahrenen Fahrzeugs folgt die Fahrzeit des anderen Fahrzeugs zu x = 0,25, denn 15 Minuten sind 0,25 Stunden!
Da sich die in einer bestimmten Zeit zurückgelegte Strecke durch Multiplizieren der Fahrzeit mit der Geschwindigkeit berechnen lässt, folgt:
Das erste Fahrzeug legt bis zum Treffen eine Strecke von 50x zurück.
Das später gestartete Fahrzeug legt bis zum Treffen die Strecke 60(x 0,25) zurück.
Wenn diese beiden Strecken zusammen den Betrag von 122 km aufweisen, begegnen sich die beiden Fahrzeuge.
Daraus ergibt sich die Gleichung:
50x + 60(x – 0,25) = 122
Löse auf:
– (x + 1) (x – 1) = – (x2 – 1) = –x2 + 1
Vereinfache:
Löse auf:
Löse auf:
2a2 + 6b2 – (a – 3b)(2a – 2b)
Löse auf:
3 + 4 - 3 · (- 2) + (- 4) + 1 : 5
Löse auf:
Ein Hinweis auf diesen Ansatz lässt sich bereits daraus ableiten, dass in der Definitionsmenge nur x = – 2 ausgeschlossen wurde, obwohl die Gleichung drei verschiedene Nenner aufweist!
Löse auf:
Löse auf:
kgV finden und erweitern.
x = 5
Wie lautet die Primfaktorzerlegung der Zahl 450?
Wir nehmen die 450 und versuchen erst einmal durch 2 zu teilen. Dies geht auch, dann die 450 endet auf die Zahl 0 und ist daher durch 2 ohne Rest teilbar. Mit 450 : 2 = 225 machen wir den ersten Schritt.
Können wir die 225 zerlegen? Mit einer 2 sicher nicht, dann 225 endet auf eine 5 und ist daher nicht ohne Rest durch 2 teilbar. Daher versuchen wir es mit der nächsten Primzahl, der 3. Dies geht, denn die Quersumme von 225 ist 2 + 2 + 5 = 9. Und 9 ist ohne Rest durch 3 teilbar. Wir können daher die 225 in 3 · 75 zerlegen.
Die 75 können wir nicht durch 2 teilen ohne Rest. Durch 3 hingegen schon, da 75 = 3 · 25.
Die 25 können wir weder durch 2 noch durch 3 ohne Rest teilen. Allerdings durch die nächste Primzahl - die 5 - geht es. Wir erhalten damit 25 = 5 · 5. Damit ist die Zerlegung in Primfaktoren komplett.
Die fertige Berechnung sieht so aus:
Vereinfache:
Durch Ausklammern kann der Term so umgeformt werden, dass entsprechend sinnvoll gekürzt werden kann:
Wie lautet die Primfaktorzerlegung der Zahl 700?
Ermittle anhand eines Primfaktorbaums.
700 = 7 · 2 · 5 · 2 · 5
700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7
Löse auf:
kgV finden und binomische Formeln beachten.
x = 3
Löse auf:
Wenn im Zähler die Zahl 2 ausgeklammert wird, dann bleibt 2 (x + 1), welches mit (x + 1)im Nenner gekürzt werden kann.
Dann ergibt sich 3 = 2, was einen Widersprich darstellt.
3 ≠ 2
Löse auf:
Bestimme zunächst die Definitionsmenge und löse dann auf:
D = ℚ \ {–4; –2; –1; 0}
x = – 4/7
Bestimme zunächst die Definitionsmenge und löse dann auf:
D = ℚ \ {–3; 3}
Anwenden der 3. binomischen Formel.
x = 7
Berechne mithilfe der Primfaktorzerlegung:
Vereinfache:
Ein Großvater hat zwei Enkel. Er ist fünfmal so alt wie seine ältere Enkelin Dagmar. Sein Sohn ist 36 Jahre älter als sein jüngerer Enkel Lothar, der drei Jahre nach Dagmar geboren wurde. Zusammen sind sie 174 Jahre alt.
Wie alt ist jeder?
Folgt man der Empfehlung, den kleinsten vorkommenden Wert mit x zu bezeichnen, so lautet die Festlegung der Variablen:
„x bezeichnet das Alter von Lothar“
Bitte notieren Sie sich diese Festlegung, damit Sie sich nach Abschluss der Berechnung darauf beziehen können. Daraus ergeben sich dann die weiteren Terme für das Alter der übrigen Personen:
Alter von Dagmar: x = 3
Alter des Vaters: x = 36
Alter des Großvaters: (x + 3) · 5
Alle zusammen sind 174 Jahre alt, wir müssen also das Alter aller Personen addieren und mit 174 gleichsetzen.
Damit lautet die gesuchte Gleichung, in der nur die dritte Klammer mathematisch notwendig ist:
x + (x + 3) + (x + 36) + 5(x + 3) = 174
Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem, nachdem Sie eine entsprechende Wertetabelle aufgestellt haben. Denken Sie an die passenden Beschriftungen der Koordinatenachsen.
f: x → –x2 + 4 mit D = {x | –3 ≤ x ≤ 3} ℤ
Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem, nachdem Sie eine entsprechende Wertetabelle aufgestellt haben. Denken Sie an die passenden Beschriftungen der Koordinatenachsen.
Eine neuer Taxitarif lautet: „Der Grundpreis von 2,60 € enthält den ersten Kilometer. Jeder weitere Kilometer kostet dann jeweils 1,50 €. Die maximale Fahrtstrecke liegt unter 4 km“.
- 4 Wie lautet die Funktionsgleichung der linearen Funktion f1, die durch die Punkte P1(1|5) und P2(–3|–5) verläuft? Tragen Sie den Graph dieser Funktion in ein Koordinatensystem mit den Zeichenbereichen –5 ≤ x ≤ 5 und –5 ≤ y ≤ 5 ein.
- 5 Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Nullstelle des Graphen dieser Funktion f1 bei x = –1 liegt!
- 6 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion f2, die die y-Achse bei y = 2 schneidet und durch den Punkt (4|–1) verläuft. Tragen Sie auch diese Funktion in das Koordinatensystem ein!
- 7 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktionen f3: y=2x–4 und f4: y=1/4x+3. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Einzeichnen auch dieser Geraden in das Koordinatensystem.
- 8 Welchen Abstand d haben die Nullstellen der Funktionen f2 und f3?
- 9 Für welchen x-Wert hat f2 einen um genau 2 größeren Funktionswert als f4?
- 10 Für welchen x-Wert ist der Funktionswert von f2 genau halb so groß wie der von f4?
- 4: f(x) = 2,5x + 2,5
- 5: 2,5x + 2,5 = 0
A-Stadt und B-Stadt sind 200 km voneinander entfernt. Herr Huber fährt um 8.00 Uhr mit 60 in A-Stadt los, Frau Meyer um 8.20 Uhr mit 120 in B-Stadt. Beide fahren in die jeweils andere Stadt.
a) Wann und wo treffen sie sich?
b) Wie weit sind Herr Huber und Frau Meyer um 8.40 Uhr voneinander entfernt?
c) Ein Motorradfahrer startet um 8.10 Uhr in A-Stadt mit 100 . Wann überholt er Herrn Huber und wo trifft er Frau Meyer?
d) Wann erreicht der Motorradfahrer B-Stadt?
e) Mit welcher Geschwindigkeit müsste ein zweites Motorrad um 8.30 Uhr in A-Stadt starten, damit es 20 Minuten vor dem ersten Motorrad in B-Stadt ankommt? Wie lautet die Funktionsgleichung, die seine Bewegung beschreibt?
f) 150 km von A-Stadt entfernt befindet sich ein Schnellimbiss. Zu welchen Zeitpunkten fahren die vier Fahrzeuge vorbei? Wie groß ist der Zeitabstand zwischen der Vorbeifahrt von Herrn Huber und Frau Meyer?
g) Zu welchem Zeitpunkt befindet sich Herr Huber halb so weit von A-Stadt entfernt wie Frau Meyer?
Bestätigen Sie die Ergebnisse durch das Eintragen der vier Geraden in ein Koordinatensystem. Beachten Sie die Hinweise zur Einteilung der Koordinatenachsen und verwenden Sie zum Zeichnen etwa eine halbe DIN-A4-Seite!
Taxiunternehmen A verlangt einen Grundpreis von 3,00 € und einen Kilometerpreis von 1,60 €. Beim Taxiunternehmen B beträgt der Grundpreis zwar nur 2,00 €, dafür ist der Kilometerpreis mit 1,70 € etwas teurer.
a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen der beiden Tarife auf! Denken Sie daran, die verwendeten Variablen genau zu definieren, am besten durch Aufschreiben! Verwenden Sie die f(x)-Schreibweise und wählen Sie als Variable für die FahrtKosten K!
b) Bei welcher Fahrtstrecke muss man bei den beiden Unternehmen den gleichen Preis bezahlen?
c) Um wie viel Prozent ist B teurer als A, wenn man 20 km zurücklegt?
d) Welchen Kilometerpreis muss ein drittes Unternehmen C verlangen, wenn es einen Tarif ohne Grundpreis anbieten will und dabei bei Fahrtstrecken unter 10 km billiger als A und B sein will?
e) Zeichnen Sie die Geraden für eine Fahrtstrecke von maximal 11 km in ein geeignetes Koordinatensystem. Welche vereinfachende Annahme müssen Sie hierzu machen?
Herr Huber und Frau Meyer vergleichen ihre Wertpapierdepots. Herr Huber hat gut gewirtschaftet, sein Depot ist von einem Anfangsbetrag in Höhe von 12 000 € innerhalb von 5 Jahren gleichmäßig gewachsen und auf einen Betrag von 14 300 € gestiegen. Frau Meyer hatte aber nicht so viel Glück: Ihr Anfangskapital von 13 900 € hat sich jedes Jahr um 490 € verringert.
a) Stellen Sie die Funktionsgleichungen in der Form K(t) … auf, die den Depotwert von Herrn Huber und Frau Meyer beschreiben! Wählen Sie D {t | t 0} und gehen Sie davon aus, dass die Veränderungen der beiden Depots linear verlaufen.
b) Wann hatten Herr Huber und Frau Meyer den gleichen Depotwert?
c) Wenn sich diese Entwicklung fortsetzt: Wann besitzt Herr Huber 20 % mehr als Frau Meyer?
d) Zu welchem Zeitpunkt besaß Frau Meyer noch genau 475 € mehr als Herr Huber?
e) Zeichnen Sie die beiden Geraden in ein geeignetes Koordinatensystem! Wie könnten Sie die Darstellung bzw. die Ablesbarkeit der jeweiligen Depotwerte verbessern?
