MatS 6/N

Question 1

Benenne folgende Mengenoperatoren:

∈ ∉ ∋ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇

Answer 1

∈ Element von

∉ kein Element von

∋ enthält als Element

∩ Schnittmenge (geschnitten mit…)

∪ Vereinigungsmenge (vereinigt mit…)

⊂ Teilmenge von

⊃ Obermenge von

⊄ keine Teilmenge von

⊆ Teilmenge von oder gleich mit

⊇ Obermenge von oder gleich mit

Question 2

Benenne folgende Zahlenmengen:

ℕ ℕ₀ ℤ ℚ ℝ ℂ ℙ

Answer 2

ℕ natürliche Zahlen

ℕ₀ natürliche Zahlen mit 0

ℤ ganze Zahlen

ℚ rationale Zahlen

ℝ reelle Zahlen

ℂ komplexe Zahlen

ℙ Primzahlen

Question 3

Die beiden an einer Addition beteiligten Zahlen heißen […], das Ergebnis der Addition nennt man […]. Es gilt also:

[…] plus […] gleich […].

Answer 3

Die beiden an einer Addition beteiligten Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis der Addition nennt man Summe. Es gilt also:

Summand plus Summand gleich Summe.

Question 4

Was besagt das Kommutativgesetz?

Wie kann es formuliert werden?

Answer 4

Bei der Additionen und Multiplikation kann die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

Für alle a, b ∈ ℚ gilt: a + b = b + a und a · b = b · a

Question 5

Was besagt das Assoziativgesetz?

Wie kann es formuliert werden?

Answer 5

Bei der Addition und Multiplikation mehrerer Summanden/Faktoren kann man mit zwei beliebigen Summanden/Faktoren beginnen.

Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: (a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c)

Question 6

Bei einer Subtraktion bezeichnet man die Zahl vor dem Minuszeichen als […], die Zahl nach dem Minuszeichen als […]. Das Ergebnis einer Subtraktion ist die […]. Es gilt also:

[…] minus […] = […]

Answer 6

Bei einer Subtraktion bezeichnet man die Zahl vor dem Minuszeichen als Minuend, die Zahl nach dem Minuszeichen als Subtrahend. Das Ergebnis einer Subtraktion ist die Differenz. Es gilt also:

Minuend minus Subtrahend = Differenz

Question 7

Sind bei einer Addition oder Subtraktion …

… Vor- und Rechenzeichen gleich, so ergibt sich insgesamt ein […]

… Vor- und Rechenzeichen ungleich, so ergibt sich insgesamt ein […]

Answer 7

Sind bei einer Addition oder Subtraktion …

… Vor- und Rechenzeichen gleich, so ergibt sich insgesamt ein +

… Vor- und Rechenzeichen ungleich, so ergibt sich insgesamt ein -

Question 8

Wie kann man folgende Berechnung noch schreiben?

2 + 3 - 4 - 3 + 5 = 3

Answer 8

(+ 2 + 3 - 4 - 3 + 5 = 3)

z.B. - 3 - 4 + 2 + 3 + 5 = 3

Jede Differenz lässt sich als Summe schreiben. Hierzu werden die negativen Rechenzeichen als Vorzeichen interpretiert. Betrachtet man die Zahlen mit den vor ihnen stehenden Plus- oder Minuszeichen als Einheit, so lässt sich eine Rechnung beliebig umstellen.

Question 9

Die beiden an einer Multiplikation beteiligten Zahlen heißen […] , das Ergebnis der Multiplikation nennt man […] . Es gilt also:

[…] mal […] = […]

Answer 9

Die beiden an einer Multiplikation beteiligten Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis der Multiplikation nennt man Produkt. Es gilt also:

Faktor mal Faktor = Produkt

Question 10

Bei der Multiplikation und Division von Zahlen mit gleichem Vorzeichen gilt die Regel […]

Answer 10

„Plus mal Plus gibt Plus“ bzw. „Minus mal Minus gibt Plus“.

Question 11

Bei der Multiplikation und Division von Zahlen mit ungleichem Vorzeichen gilt die Regel […].

Answer 11

„Minus mal Plus gibt Minus“ bzw. „Plus mal Minus gibt Minus“.

Question 12

Enthält eine Multiplikation mehrerer Faktoren eine gerade Anzahl von negativen Faktoren, so ist das Produkt […]. Ist die Zahl der negativen Zahlen ungerade, so ergibt sich ein […] Produkt.

Answer 12

Enthält eine Multiplikation mehrerer Faktoren eine gerade Anzahl von negativen Faktoren, so ist das Produkt positiv. Ist die Zahl der negativen Zahlen ungerade, so ergibt sich ein negatives Produkt.

Question 13

Was ist die Primfaktorzerlegung?

Answer 13

Jede natürliche Zahl kann in ein eindeutiges Produkt aus Primfaktoren zerlegt werden.

Question 14

Die beiden an einer Division beteiligten Zahlen heißen […] und […]. Das Ergebnis einer Division ist der […]. Es gilt also:

[…] geteilt durch […] = […]

Answer 14

Die beiden an einer Division beteiligten Zahlen heißen Dividend und Divisor. Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Es gilt also:

Dividend geteilt durch Divisor = Quotient

Question 15

In der Bruchschreibweise ist sowohl der Zähler ([…] des Bruchstrichs) als auch der Nenner ([…] des Bruchstrichs) […].

Answer 15

In der Bruchschreibweise ist sowohl der Zähler (oberhalb des Bruchstrichs) als auch der Nenner (unterhalb des Bruchstrichs) eine ganze Zahl.

Question 16

Zwischen je zwei Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen, liegen wieder unendlich viele Zahlen dieser Art.

Wie kann man diese Behauptung beweisen?

Answer 16

Question 17

Mache folgenden Bruch gleichnamig:

Answer 17

Question 18

Welche Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten?

Answer 18

Natürliche und positive- und negative Ganzzahlen und Bruchzahlen.

Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge von ℚ: ℤ ⊂ ℚ

Question 19

Nenne ein Beispiel für einen abbrechenden Dezimalbruch.

Answer 19

0,32

Question 20

Nenne ein Beispiel für einen periodischen Dezimalbruch.

Answer 20

1,9444444…

geschrieben:

Question 21

Runde die folgenden Dezimalbrüche sinnvoll:

23,4455

0,00555663

1 006,6

Answer 21

Auf vier gültige Ziffern – unabhängig von der Stellung des Kommas – runden.

23,4455 = 23,45

0,00555663 = 0,005557

1 006,6 = 1 007

Question 22

Nenne zwei alternative Schreibweisen.

Answer 22

Question 23

Was muss beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen beachtet werden?

Erläutere die Vorgehensweise (4).

Answer 23

Man muss sie auf den gleichen Nenner bringen.

Der kleinstmögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der gegebenen Nenner.

Um dieses zu finden ist in vielen Fällen die Primfaktorzerlegung hilfreich.

Nach dem Erweitern werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert, der Hauptnenner bleibt hierbei unverändert.

Das auf diese Weise erhaltene Ergebnis sollte, wenn möglich, gekürzt werden.

Question 24

Was ist eine Primzahl?

In welcher Zahlenmenge sind sie enthalten?

Answer 24

Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Daher ist die Zahl 1 keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die Menge der Primzahlen ist eine Teilmenge der Menge ℕ der natürlichen Zahlen.

Question 25

Nenne die ersten 16 Primzahlen.

Answer 25

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53…

Question 26

Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?

Answer 26

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Question 27

Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar?

Answer 27

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen der Zahl durch 4 teilbar sind.

Question 28

Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?

Answer 28

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0 oder 5 ist.

Question 29

Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?

Answer 29

Eine Zahl ist durch 6 teilbar wenn diese durch 2 und durch 3 teilbar sind.

Question 30

Wann ist eine Zahl durch 7 teilbar?

Answer 30

Beispiel mit 161:

Wir teilen die Zahl immer in zwei Teile auf. Die letzte Ziffer und einfach alles was davor ist.

161

Wir multiplizieren die letzte Stelle mit 2:

1 · 2 = 2

Von dem vorderen Teil der Zahl (16) ziehen wir dieses Ergebnis (2) ab.

16 - 2 = 14

Ist dieses Ergebnis (14) durch 7 ohne Rest teilbar ist auch 161 ohne Rest durch 7 teilbar.

Question 31

Wann ist eine Zahl durch 8 teilbar?

Answer 31

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.

Question 32

Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar?

Answer 32

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.

Question 33

Was besagt das Distributivgesetz?

Wie kann es formuliert werden?

Answer 33

Wenn eine in Klammern stehende Summe oder Differenz mit einer Zahl multipliziert wird, so kann man die Zahlen in der Klammer auch einzeln mit dieser Zahl multiplizieren. Durch diesen Rechenschritt fällt die Klammer weg, zwischen den Produkten steht dann das aus der Klammer stammende Strichrechenzeichen.

Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: a · (b + c) = a · b + a · c

Question 34

Wann kann das Distributivgesetz auch bei einer Division angewendet werden?

Answer 34

Sofern die Summe oder Differenz durch eine Zahl geteilt wird:

(4 + 7) : 3 = 4 : 3 + 7 : 3

oder

(a + b) : c = a : c + b : c

Question 35

Die […] a^b steht für die b-malige […] von a.

Dabei nennt man a die […] und b den […].

Answer 35

Die Potenz a^b steht für die b-malige Multiplikation von a.

Dabei nennt man a die Basis der Potenz und b den Exponenten.

Question 36

Wie funktioniert die “Block-Methode” hinsichtlich der Auflösung von Potenzen?

Answer 36

Question 37

Berechne -3².

Answer 37

-3² = - (3²) = - (3*3) = - (9) = -9

Question 38

Berechne (–3)².

Answer 38

(–3)² = (–3)*(–3) = 9

Question 39

Soll eine negative Zahl potenziert werden, so muss sie mit dem Minuszeichen zusammen […]!

Answer 39

Soll eine negative Zahl potenziert werden, so muss sie mit dem Minuszeichen zusammen in eine Klammer geschrieben werden!

Question 40

Wie kann man folgende Berechnung noch darstellen?

Begründe.

3 – ( 4 + 5 + 6)

Answer 40

3 – 4 – 5 – 6

Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so kann man dies durch „ + ( – 1) · “ er- setzen. Die Klammer fällt durch das Anwenden des Distributivgesetzes weg, wenn man (– 1) mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert und die in der Klammer stehenden Rechenzeichen als Vorzeichen in einer Summe auffasst.

Question 41

Wie kann man folgende Rechnung noch schreiben?

(2 + 3 · 5)² = ?

Answer 41

Erst müssen alle Berechnungen in der Klammer ausgeführt werden, danach die Potenz, da sie sich auf die gesamte Klammer bezieht.

(2 + 3 · 5)² = (2 + 15)² = 17²

Question 42

Handelt es sich hier um eine Summe oder ein Produkt?

a) (2 + 3) · ( 3 + 4)
b) 5 – 3 · (3 + 3 · (5 – 4 – 8))
c) 3² – 4³

Answer 42

a) Produkt (letzte Rechnung die ausgeführt wird ist ein Produkt)
b) Summe (letzte auszuführende Berechnung ist die Addition von 5 mit dem Rest)
c) Summe (Potenz wird zuerst aufgelöst)

Question 43

Ein Term ist […].

Answer 43

Ein Term ist eine nicht vollständig ausgerechnete Aufgabe.

Question 44

Was ist ein Koeffizient?

Answer 44

Der Faktor eine Variable.

z.B. 18a

Question 45

Warum lässt sich 2a²b – 3 ab² nicht weiter zusammenfassen?

Answer 45

2a²b – 3 ab² = 2 · a · a · b – 3 · a · b · b

Punkt vor Strich gilt.

Question 46

Warum lässt sich 3x² + 3x⁵ – 11x³ nicht weiter zusammenfassen?

Answer 46

3x² + 3x⁵ – 11x³ =

3 · x · x + 3 · x · x · x · x · x – 11 · x · x · x

Es gilt Punkt vor Strich.

Question 47

Was ist an folgender Rechnung falsch?

2 · 3 : 4 · 5

Answer 47

Nicht eindeutig lösbar, da alle Rechenzeichen auf gleicher Hierarchieebene stehen. Es gibt also keine Berechnungsvorschrift. Dadurch entstehen unterschiedliche Ergebnisse.

Question 48

Wann lassen sich zwei durcheinander zu dividierende Teilterme durch Kürzen vereinfachen?

Answer 48

Wenn in beiden Termen keine Stichrechenzeichen auftauchen.

Question 49

Welche Besonderheit hat ein Term, bei der Summen durch einen Bruchstrich getrennt werden?

Answer 49

Der Bruchstrich ist eine Art “Divisionszeichen mit eingebauter Klammer”, welche besagt, dass zuerst die Terme in Zähler und Nenner berechnet werden müssen.

“Aus der Summe kürzt der Dumme.”

Question 50

Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann […].

Answer 50

Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann man weglassen. Die Strichrechenzeichen des Terms in der Klammer ändern sich beim Wegfallen der Klammer nicht.

Question 51

Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, löst man auf, indem man […].

Answer 51

Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, löst man auf, indem man alle in der Klammer stehenden Strichrechenzeichen in ihr Gegenteil verkehrt. Das Vorzeichen des ersten Summanden in der Klammer wird mit dem vorher vor der Klammer stehenden Minuszeichen zusammengefasst.

Question 52

Was ist bei diesem Term noch zu erledigen?

s – z + t – b – a + n + r

Answer 52

Alphabetisches Ordnen:

– a – b + n + r + s + t – z

Question 53

Vereinfache:

xy(x – y)

Answer 53

Anwenden des Distributivgesetzes a · (b – c) = a · b – a · c

xy · x + xy · (–y) = xy · x – xy · y

Question 54

Wie sähe folgender Term aus, wenn 7xy ausgeklammert werden würde?

4ab² – 3ab³ + 5ab

Answer 54

Question 55

Darf man kürzen, wenn zwei Produkte durch einen Bruchstrich getrennt werden?

Begründe.

Answer 55

Question 56

Darf man kürzen, wenn zwei Summen durch einen Bruchstrich getrennt werden?

Begründe.

Answer 56

Question 57

Was ist in folgendem Term noch zu erledigen?

40x² – 14x – 60 – 6x³

Answer 57

Ordnen der Potenzen:

-6x³ + 40x² – 14x – 60

Question 58

Was ist zu beachten, wenn vor einem Produkt aus Klammern ein Minuszeichen steht?

Answer 58

Wenn diese Klammern ausmultipliziert werden, sollte um die neu entstandene Summe zunächst eine Hilfsklammer gesetzt und erst in einem zweiten Schritt aufgelöst werden.

Das ursprüngliche Minuszeichen bezieht sich auf die gesamte Summe.

Question 59

Wie lautet die 1. binomische Formel?

Answer 59

(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b² = (a + b)²

Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis drei Summanden vor:

Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a²“).

Der zweite Summand des Ergebnisses ist das doppelte Produkt der beiden Summanden in der Klammer und trägt das in der Klammer stehende Rechenzeichen („+ 2ab“ oder „– 2ab“; das wird häufig in der abkürzenden Schreibweise „+/– 2ab“ zusammengefasst).

Der dritte Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b²“).

Question 60

Wie lautet die 2. binomische Formel?

Answer 60

(a – b)(a – b) = a² – 2ab + b² = (a – b)²

Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis drei Summanden vor:

Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a2“).

Der zweite Summand des Ergebnisses ist das doppelte Produkt der beiden Summanden in der Klammer und trägt das in der Klammer stehende Rechenzeichen („+ 2ab“ oder „– 2ab“; das wird häufig in der abkürzenden Schreibweise „+/– 2ab“ zusammengefasst).

Der dritte Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b2“).

Question 61

Wie lautet die 3. binomische Formel?

Answer 61

(a + b)(a – b) = a² – b²

Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) und unterschiedlichem Rechenzeichen miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis nur zwei Summanden vor:

Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a²“).

Der zweite Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b²“).

Zwischen den beiden Summanden steht ein Minuszeichen.

Question 62

Wie lässt sich die Potenz auf den gesamten Term anwenden?

Begründe.

3 · 4² = 3 · 16 = 48

Answer 62

(3 · 4)² = 12² = 144

Im ersten Fall bezieht sich der Exponent nur auf die 4, im zweiten Fall aber – so wie beim Anwenden der binomischen Formeln erforderlich – auf das gesamte Produkt.

Question 63

Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?

Erkläre ausführlich.

4x² + 4x + 1

Answer 63

Ausklammern ist nicht möglich, da in den drei Summanden kein gleicher Faktor steckt.

Zunächst sind hier zwei Fälle zu unterscheiden: Hat die Summe drei Summanden, so könnte sie aus einer der beiden ersten Formeln entstanden sein, bei nur zwei Summanden kommt die dritte binomische Formel in Betracht.

Können zwei der drei Summanden als Quadrate eines Terms dargestellt werden? Kann man also eine Art „Wurzel“ im Sinne eines „Ursprungs“ dieser Summanden finden?

Die Summanden 4x² und 1 sind die Quadrate der Ausdrücke 2x und 1, denn es gilt: (2x)² = 4x² und 1² = 1. 2x ist also die „Wurzel“ von 4x² , 1 ist „Wurzel“ zu sich selbst.

Ergibt das Produkt dieser „Wurzeln“, außerdem multipliziert mit 2, dann auch wirklich den dritten Summanden?

Auch die zweite Frage ist mit „Ja“ zu beantworten, denn es gilt: 2 · 2x · 1 = 4x. Und genauso lautet der mittlere Summand in 4x² + 4x + 1!

4x² + 4x + 1 = (2x + 1) (2x + 1) = (2x + 1)²

Question 64

Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?

Erkläre ausführlich.

16x² – 16x + 9

Answer 64

Ausklammern ist nicht möglich, also muss man es mit einer der binomischen Formeln versuchen. Hier ist es die zweite, mit deren Hilfe das (vielleicht) klappen kann.

Die Antworten lauten diesmal:

16x² hat die „Wurzel“ 4x, 9 hat die „Wurzel“ 3 ((4x)² = 16x²; 3² = 9)

Das doppelte Produkt dieser „Wurzeln“ ergibt aber 2 · 4x · 3 = 24x

Somit ist eine Umwandlung mithilfe binomischer Formel nicht möglich.

Question 65

Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?

Erkläre ausführlich.

25x⁴ – 64y²

Answer 65

Auch hier kann man nicht ausklammern. Man kann sich allerdings die 3. binomische Formel zu Nutze machen:

Aber es fällt auf, dass beide Summanden eine leicht erkennbare „Wurzel“ besitzen:

Zu 25x⁴ gehört der Term 5x² , denn (5x²)² = 5x² · 5x² = 25x⁴ und zu 64y² gehört der Term 8y, denn (8y)² = 8y · 8y = 64y².

Also kann man schreiben:

25x⁴ – 64y² = (5x² – 8y) (5x² + 8y)