MatS 6/N Flashcards
Benenne folgende Mengenoperatoren:
∈ ∉ ∋ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇
∈ Element von
∉ kein Element von
∋ enthält als Element
∩ Schnittmenge (geschnitten mit…)
∪ Vereinigungsmenge (vereinigt mit…)
⊂ Teilmenge von
⊃ Obermenge von
⊄ keine Teilmenge von
⊆ Teilmenge von oder gleich mit
⊇ Obermenge von oder gleich mit
Benenne folgende Zahlenmengen:
ℕ ℕ₀ ℤ ℚ ℝ ℂ ℙ
ℕ natürliche Zahlen
ℕ₀ natürliche Zahlen mit 0
ℤ ganze Zahlen
ℚ rationale Zahlen
ℝ reelle Zahlen
ℂ komplexe Zahlen
ℙ Primzahlen
Die beiden an einer Addition beteiligten Zahlen heißen […], das Ergebnis der Addition nennt man […]. Es gilt also:
[…] plus […] gleich […].
Die beiden an einer Addition beteiligten Zahlen heißen Summanden, das Ergebnis der Addition nennt man Summe. Es gilt also:
Summand plus Summand gleich Summe.
Was besagt das Kommutativgesetz?
Wie kann es formuliert werden?
Bei der Additionen und Multiplikation kann die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert.
Für alle a, b ∈ ℚ gilt: a + b = b + a und a · b = b · a
Was besagt das Assoziativgesetz?
Wie kann es formuliert werden?
Bei der Addition und Multiplikation mehrerer Summanden/Faktoren kann man mit zwei beliebigen Summanden/Faktoren beginnen.
Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: (a + b) + c = a + (b + c) und (a · b) · c = a · (b · c)
Bei einer Subtraktion bezeichnet man die Zahl vor dem Minuszeichen als […], die Zahl nach dem Minuszeichen als […]. Das Ergebnis einer Subtraktion ist die […]. Es gilt also:
[…] minus […] = […]
Bei einer Subtraktion bezeichnet man die Zahl vor dem Minuszeichen als Minuend, die Zahl nach dem Minuszeichen als Subtrahend. Das Ergebnis einer Subtraktion ist die Differenz. Es gilt also:
Minuend minus Subtrahend = Differenz
Sind bei einer Addition oder Subtraktion …
… Vor- und Rechenzeichen gleich, so ergibt sich insgesamt ein […]
… Vor- und Rechenzeichen ungleich, so ergibt sich insgesamt ein […]
Sind bei einer Addition oder Subtraktion …
… Vor- und Rechenzeichen gleich, so ergibt sich insgesamt ein +
… Vor- und Rechenzeichen ungleich, so ergibt sich insgesamt ein -
Wie kann man folgende Berechnung noch schreiben?
2 + 3 - 4 - 3 + 5 = 3
(+ 2 + 3 - 4 - 3 + 5 = 3)
z.B. - 3 - 4 + 2 + 3 + 5 = 3
Jede Differenz lässt sich als Summe schreiben. Hierzu werden die negativen Rechenzeichen als Vorzeichen interpretiert. Betrachtet man die Zahlen mit den vor ihnen stehenden Plus- oder Minuszeichen als Einheit, so lässt sich eine Rechnung beliebig umstellen.
Die beiden an einer Multiplikation beteiligten Zahlen heißen […] , das Ergebnis der Multiplikation nennt man […] . Es gilt also:
[…] mal […] = […]
Die beiden an einer Multiplikation beteiligten Zahlen heißen Faktoren, das Ergebnis der Multiplikation nennt man Produkt. Es gilt also:
Faktor mal Faktor = Produkt
Bei der Multiplikation und Division von Zahlen mit gleichem Vorzeichen gilt die Regel […]
„Plus mal Plus gibt Plus“ bzw. „Minus mal Minus gibt Plus“.
Bei der Multiplikation und Division von Zahlen mit ungleichem Vorzeichen gilt die Regel […].
„Minus mal Plus gibt Minus“ bzw. „Plus mal Minus gibt Minus“.
Enthält eine Multiplikation mehrerer Faktoren eine gerade Anzahl von negativen Faktoren, so ist das Produkt […]. Ist die Zahl der negativen Zahlen ungerade, so ergibt sich ein […] Produkt.
Enthält eine Multiplikation mehrerer Faktoren eine gerade Anzahl von negativen Faktoren, so ist das Produkt positiv. Ist die Zahl der negativen Zahlen ungerade, so ergibt sich ein negatives Produkt.
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Jede natürliche Zahl kann in ein eindeutiges Produkt aus Primfaktoren zerlegt werden.
Die beiden an einer Division beteiligten Zahlen heißen […] und […]. Das Ergebnis einer Division ist der […]. Es gilt also:
[…] geteilt durch […] = […]
Die beiden an einer Division beteiligten Zahlen heißen Dividend und Divisor. Das Ergebnis einer Division ist der Quotient. Es gilt also:
Dividend geteilt durch Divisor = Quotient
In der Bruchschreibweise ist sowohl der Zähler ([…] des Bruchstrichs) als auch der Nenner ([…] des Bruchstrichs) […].
In der Bruchschreibweise ist sowohl der Zähler (oberhalb des Bruchstrichs) als auch der Nenner (unterhalb des Bruchstrichs) eine ganze Zahl.
Zwischen je zwei Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen, liegen wieder unendlich viele Zahlen dieser Art.
Wie kann man diese Behauptung beweisen?
Mache folgenden Bruch gleichnamig:
Welche Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten?
Natürliche und positive- und negative Ganzzahlen und Bruchzahlen.
Die Menge ℤ der ganzen Zahlen ist eine Teilmenge von ℚ: ℤ ⊂ ℚ
Nenne ein Beispiel für einen abbrechenden Dezimalbruch.
0,32
Nenne ein Beispiel für einen periodischen Dezimalbruch.
1,9444444…
geschrieben:
Runde die folgenden Dezimalbrüche sinnvoll:
23,4455
0,00555663
1 006,6
Auf vier gültige Ziffern – unabhängig von der Stellung des Kommas – runden.
23,4455 = 23,45
0,00555663 = 0,005557
1 006,6 = 1 007
Nenne zwei alternative Schreibweisen.
Was muss beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen beachtet werden?
Erläutere die Vorgehensweise (4).
Man muss sie auf den gleichen Nenner bringen.
Der kleinstmögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der gegebenen Nenner.
Um dieses zu finden ist in vielen Fällen die Primfaktorzerlegung hilfreich.
Nach dem Erweitern werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert, der Hauptnenner bleibt hierbei unverändert.
Das auf diese Weise erhaltene Ergebnis sollte, wenn möglich, gekürzt werden.
Was ist eine Primzahl?
In welcher Zahlenmenge sind sie enthalten?
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Daher ist die Zahl 1 keine Primzahl, denn sie hat nur einen Teiler. Die Menge der Primzahlen ist eine Teilmenge der Menge ℕ der natürlichen Zahlen.
Nenne die ersten 16 Primzahlen.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53…
Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar?
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Wann ist eine Zahl durch 4 teilbar?
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Stellen der Zahl durch 4 teilbar sind.
Wann ist eine Zahl durch 5 teilbar?
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Stelle eine 0 oder 5 ist.
Wann ist eine Zahl durch 6 teilbar?
Eine Zahl ist durch 6 teilbar wenn diese durch 2 und durch 3 teilbar sind.
Wann ist eine Zahl durch 7 teilbar?
Beispiel mit 161:
Wir teilen die Zahl immer in zwei Teile auf. Die letzte Ziffer und einfach alles was davor ist.
161
Wir multiplizieren die letzte Stelle mit 2:
1 · 2 = 2
Von dem vorderen Teil der Zahl (16) ziehen wir dieses Ergebnis (2) ab.
16 - 2 = 14
Ist dieses Ergebnis (14) durch 7 ohne Rest teilbar ist auch 161 ohne Rest durch 7 teilbar.
Wann ist eine Zahl durch 8 teilbar?
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind.
Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar?
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Was besagt das Distributivgesetz?
Wie kann es formuliert werden?
Wenn eine in Klammern stehende Summe oder Differenz mit einer Zahl multipliziert wird, so kann man die Zahlen in der Klammer auch einzeln mit dieser Zahl multiplizieren. Durch diesen Rechenschritt fällt die Klammer weg, zwischen den Produkten steht dann das aus der Klammer stammende Strichrechenzeichen.
Für alle a, b, c ∈ ℚ gilt: a · (b + c) = a · b + a · c
Wann kann das Distributivgesetz auch bei einer Division angewendet werden?
Sofern die Summe oder Differenz durch eine Zahl geteilt wird:
(4 + 7) : 3 = 4 : 3 + 7 : 3
oder
(a + b) : c = a : c + b : c
Die […] ab steht für die b-malige […] von a.
Dabei nennt man a die […] und b den […].
Die Potenz ab steht für die b-malige Multiplikation von a.
Dabei nennt man a die Basis der Potenz und b den Exponenten.
Wie funktioniert die “Block-Methode” hinsichtlich der Auflösung von Potenzen?
Berechne -32.
-3² = - (3²) = - (3*3) = - (9) = -9
Berechne (–3)2.
(–3)² = (–3)*(–3) = 9
Soll eine negative Zahl potenziert werden, so muss sie mit dem Minuszeichen zusammen […]!
Soll eine negative Zahl potenziert werden, so muss sie mit dem Minuszeichen zusammen in eine Klammer geschrieben werden!
Wie kann man folgende Berechnung noch darstellen?
Begründe.
3 – ( 4 + 5 + 6)
3 – 4 – 5 – 6
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so kann man dies durch „ + ( – 1) · “ er- setzen. Die Klammer fällt durch das Anwenden des Distributivgesetzes weg, wenn man (– 1) mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert und die in der Klammer stehenden Rechenzeichen als Vorzeichen in einer Summe auffasst.
Wie kann man folgende Rechnung noch schreiben?
(2 + 3 · 5)2 = ?
Erst müssen alle Berechnungen in der Klammer ausgeführt werden, danach die Potenz, da sie sich auf die gesamte Klammer bezieht.
(2 + 3 · 5)2 = (2 + 15)2 = 172
Handelt es sich hier um eine Summe oder ein Produkt?
a) (2 + 3) · ( 3 + 4)
b) 5 – 3 · (3 + 3 · (5 – 4 – 8))
c) 32 – 43
a) Produkt (letzte Rechnung die ausgeführt wird ist ein Produkt)
b) Summe (letzte auszuführende Berechnung ist die Addition von 5 mit dem Rest)
c) Summe (Potenz wird zuerst aufgelöst)
Ein Term ist […].
Ein Term ist eine nicht vollständig ausgerechnete Aufgabe.
Was ist ein Koeffizient?
Der Faktor eine Variable.
z.B. 18a
Warum lässt sich 2a2b – 3 ab2 nicht weiter zusammenfassen?
2a2b – 3 ab2 = 2 · a · a · b – 3 · a · b · b
Punkt vor Strich gilt.
Warum lässt sich 3x2 + 3x5 – 11x3 nicht weiter zusammenfassen?
3x2 + 3x5 – 11x3 =
3 · x · x + 3 · x · x · x · x · x – 11 · x · x · x
Es gilt Punkt vor Strich.
Was ist an folgender Rechnung falsch?
2 · 3 : 4 · 5
Nicht eindeutig lösbar, da alle Rechenzeichen auf gleicher Hierarchieebene stehen. Es gibt also keine Berechnungsvorschrift. Dadurch entstehen unterschiedliche Ergebnisse.
Wann lassen sich zwei durcheinander zu dividierende Teilterme durch Kürzen vereinfachen?
Wenn in beiden Termen keine Stichrechenzeichen auftauchen.
Welche Besonderheit hat ein Term, bei der Summen durch einen Bruchstrich getrennt werden?
Der Bruchstrich ist eine Art “Divisionszeichen mit eingebauter Klammer”, welche besagt, dass zuerst die Terme in Zähler und Nenner berechnet werden müssen.
“Aus der Summe kürzt der Dumme.”
Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann […].
Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann man weglassen. Die Strichrechenzeichen des Terms in der Klammer ändern sich beim Wegfallen der Klammer nicht.
Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, löst man auf, indem man […].
Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, löst man auf, indem man alle in der Klammer stehenden Strichrechenzeichen in ihr Gegenteil verkehrt. Das Vorzeichen des ersten Summanden in der Klammer wird mit dem vorher vor der Klammer stehenden Minuszeichen zusammengefasst.
Was ist bei diesem Term noch zu erledigen?
s – z + t – b – a + n + r
Alphabetisches Ordnen:
– a – b + n + r + s + t – z
Vereinfache:
xy(x – y)
Anwenden des Distributivgesetzes a · (b – c) = a · b – a · c
xy · x + xy · (–y) = xy · x – xy · y
Wie sähe folgender Term aus, wenn 7xy ausgeklammert werden würde?
4ab2 – 3ab3 + 5ab
Darf man kürzen, wenn zwei Produkte durch einen Bruchstrich getrennt werden?
Begründe.
Darf man kürzen, wenn zwei Summen durch einen Bruchstrich getrennt werden?
Begründe.
Was ist in folgendem Term noch zu erledigen?
40x2 – 14x – 60 – 6x3
Ordnen der Potenzen:
-6x3 + 40x2 – 14x – 60
Was ist zu beachten, wenn vor einem Produkt aus Klammern ein Minuszeichen steht?
Wenn diese Klammern ausmultipliziert werden, sollte um die neu entstandene Summe zunächst eine Hilfsklammer gesetzt und erst in einem zweiten Schritt aufgelöst werden.
Das ursprüngliche Minuszeichen bezieht sich auf die gesamte Summe.
Wie lautet die 1. binomische Formel?
(a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis drei Summanden vor:
Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a2“).
Der zweite Summand des Ergebnisses ist das doppelte Produkt der beiden Summanden in der Klammer und trägt das in der Klammer stehende Rechenzeichen („+ 2ab“ oder „– 2ab“; das wird häufig in der abkürzenden Schreibweise „+/– 2ab“ zusammengefasst).
Der dritte Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b2“).
Wie lautet die 2. binomische Formel?
(a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis drei Summanden vor:
Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a2“).
Der zweite Summand des Ergebnisses ist das doppelte Produkt der beiden Summanden in der Klammer und trägt das in der Klammer stehende Rechenzeichen („+ 2ab“ oder „– 2ab“; das wird häufig in der abkürzenden Schreibweise „+/– 2ab“ zusammengefasst).
Der dritte Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b2“).
Wie lautet die 3. binomische Formel?
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Sollen zwei gleichlautende Summen mit zwei Summanden (z. B. a und b) und unterschiedlichem Rechenzeichen miteinander multipliziert werden, so kommen im Ergebnis nur zwei Summanden vor:
Der erste Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des ersten Summanden in der Klammer („a2“).
Der zweite Summand des Ergebnisses ist das Quadrat des zweiten Summanden in der Klammer („b2“).
Zwischen den beiden Summanden steht ein Minuszeichen.
Wie lässt sich die Potenz auf den gesamten Term anwenden?
Begründe.
3 · 42 = 3 · 16 = 48
(3 · 4)2 = 122 = 144
Im ersten Fall bezieht sich der Exponent nur auf die 4, im zweiten Fall aber – so wie beim Anwenden der binomischen Formeln erforderlich – auf das gesamte Produkt.
Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?
Erkläre ausführlich.
4x2 + 4x + 1
Ausklammern ist nicht möglich, da in den drei Summanden kein gleicher Faktor steckt.
Zunächst sind hier zwei Fälle zu unterscheiden: Hat die Summe drei Summanden, so könnte sie aus einer der beiden ersten Formeln entstanden sein, bei nur zwei Summanden kommt die dritte binomische Formel in Betracht.
Können zwei der drei Summanden als Quadrate eines Terms dargestellt werden? Kann man also eine Art „Wurzel“ im Sinne eines „Ursprungs“ dieser Summanden finden?
Die Summanden 4x2 und 1 sind die Quadrate der Ausdrücke 2x und 1, denn es gilt: (2x)2 = 4x2 und 12 = 1. 2x ist also die „Wurzel“ von 4x2 , 1 ist „Wurzel“ zu sich selbst.
Ergibt das Produkt dieser „Wurzeln“, außerdem multipliziert mit 2, dann auch wirklich den dritten Summanden?
Auch die zweite Frage ist mit „Ja“ zu beantworten, denn es gilt: 2 · 2x · 1 = 4x. Und genauso lautet der mittlere Summand in 4x2 + 4x + 1!
4x2 + 4x + 1 = (2x + 1) (2x + 1) = (2x + 1)2
Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?
Erkläre ausführlich.
16x2 – 16x + 9
Ausklammern ist nicht möglich, also muss man es mit einer der binomischen Formeln versuchen. Hier ist es die zweite, mit deren Hilfe das (vielleicht) klappen kann.
Die Antworten lauten diesmal:
16x2 hat die „Wurzel“ 4x, 9 hat die „Wurzel“ 3 ((4x)2 = 16x2; 32 = 9)
Das doppelte Produkt dieser „Wurzeln“ ergibt aber 2 · 4x · 3 = 24x
Somit ist eine Umwandlung mithilfe binomischer Formel nicht möglich.
Lässt sich folgende Summe hinsichtlich binomischer Formeln in ein Produkt verwandeln?
Erkläre ausführlich.
25x4 – 64y2
Auch hier kann man nicht ausklammern. Man kann sich allerdings die 3. binomische Formel zu Nutze machen:
Aber es fällt auf, dass beide Summanden eine leicht erkennbare „Wurzel“ besitzen:
Zu 25x4 gehört der Term 5x2 , denn (5x2)2 = 5x2 · 5x2 = 25x4 und zu 64y2 gehört der Term 8y, denn (8y)2 = 8y · 8y = 64y2.
Also kann man schreiben:
25x4 – 64y2 = (5x2 – 8y) (5x2 + 8y)
