Mathématiques Flashcards
4 grandes classes d’usage des nombres.
- Mémorisation (aspect cardinal, aspect ordinal)
- Anticipation du résultat d’actions (aspect cardinal, aspect ordinal)
Quand peuvent apparaître chez certains élèves les premières procédures de calcul grâce à la mémorisation de certains résultats (deux et deux, quatre, deux et trois, cinq…)
Dès la fin de la maternelle.
Quelles sont les compétences attendues à la fin de l’école maternelle sur les nombres entiers? Quatre entrées.
–Comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ;
–Mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ;
–Dénombrer une quantité en utilisant la suite oral des nombres connus ;
– Associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée.
Quelles sont les compétences attendues à la fin du CE1, rubrique nombre et calcul, sur les nombres entiers?
– Écrire,
– Nommer,
– Comparer,
– Ranger les nombres entiers naturels inférieur à 1000.
Quelles sont les compétences attendues à la fin du CM2 sur les nombres entiers ?
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers.
Quelles sont les compétences attendues à la fin du CM2 sur les fractions et les nombres décimaux ?
Écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples.
Quelles sont les quatre catégories de la classification des problèmes mathématiques ?
– Composition de deux états,
– Transformation d’un état,
– Comparaison d’états,
– Composition de transformations.
Quelles sont les trois catégories de situations servant de support à des problèmes sur la proportionnalité.
- Situations où la proportionnalité intervient par convention sociale. Problèmes de la vie courante de nature économique. Convention retenue variablement connue par les élèves (situations familières ou non)
- Situations où la proportionnalité permet une modélisation d’un phénomène. En physique, en géométrie (ex : le périmètre d’un cercle est proportionnelle à la longueur du diamètre…). Recours à l’expérimentation ou aux théorèmes.
- Situations où la proportionnalité intervient comme outil pour définir de nouveaux concepts. Échelle, pourcentage, vitesse moyenne… Hypothèse de proportionnalité rarement vérifiée dans la réalité (ex: 25% des élèves mangent à la cantine n’indique pas que pour tout échantillon de 100 élèves, il y en aura 25 qui mangeront à la cantine.)
Types de problèmes posés pour travailler la notion de proportionnalité.
- Problèmes de quatrième proportionnelle. Recherche de l’un des nombres manquants dans une relation qui met en jeu deux couples de nombres.
- Problèmes de comparaison des mélanges (ex : sirop de fraise + eau, le “tout”)
- Problèmes de double proportionnalité. Grandeur proportionnelle à deux autres grandeurs (aire du rectangle) (collège)
- Problèmes de proportionnalité simple composée. Grandeur qui varie proportionnellement à une autre qui varie proportionnellement à une troisième. (collège)
Procédures de résolution des problèmes de proportionnalité.
- Procédures prenant appui sur les propriétés additives et multiplicatives de la proportionnalité.
- Procédures prenant appui sur le passage de l’image de l’unité (règle de trois). Propriétés multiplicatives. Recherche de la quantité pour une coupe, multipliée par le nombre de coupes.
- Procédures prenant appui sur le coefficient de proportionnalité entre deux grandeurs. Le coefficient de proportionnalité entre le nombre de coupes et le nombres d’œuf est : “:2”. 4 coupes> 2 œufs; 10 coupes > 5 œufs.
Les principales variables didactiques au sujet de la proportionnalité. 4 entrées.
- Les relations entre les nombres donnés. Coefficient de proportionnalité, rapport de linéarité. Entier, décimal, fractionnaire.
- Le nombre de couples donnés. Un où plusieurs couples pour trouver le coefficient de proportionnalité ou le rapport de linéarité.
- Le contexte du problème. Validable par l’expérience?
- Familiarité des élèves avec la situation évoquée
Les principales erreurs rencontrés par les élèves au sujet de la proportionnalité. 4 élèves.
- Identification des grandeurs en relation dans la situation proposée. Ne pas faire le tableau, le laisser faire.
- Reconnaître si la situation révèle ou pas du modèle proportionnel.
- Situations de proportionnalité avec diminution ou augmentation. Obstacle additif.
- Problèmes de comparaison de mélanges. Quel est le plus sucré? Pas de prise en compte des proportions.
- Choix d’une procédure de résolution parmi toutes celles possibles.
- Difficulté de mise en œuvre de la procédure.
Quelles sont les variables didactiques du calcul? 3 entrées.
La taille des nombres.
La configuration des nombres (nombres ronds, décimaux…)
Utilisation d’outils de calcul.
Trois points d’appui importants sur lesquels repose l’apprentissage du répertoire additif.
- Les décompositions faisant intervenir le nombre 5.
- Les compléments de 10.
- La commutativité de l’addition.
Quels sont les deux premiers résultats mémorisés du répertoire additif ?
- L’ajout ou le retrait de 1 à un nombre inférieur ou égal à 10.
- La connaissance des doubles.
Compétences du socle attendues à la fin de la maternelle sur l’addition et la soustraction.
- résoudre des problèmes portant sur les quantités.
Compétences du socle attendues à la fin du CE1 sur l’addition et la soustraction ? 4 entrées.
- Calculer : addition, soustraction.
- restituer et utiliser les tables d’addition;
- calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions simples,
- résoudre des problèmes très simples.
Compétences du socle attendues à la fin du CM2 sur l’addition et la soustraction ? 6 entrées.
- restituer les tables d’addition;
- utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux ;
- calculer mentalement en utilisant les quatre opérations;
- estimer l’ordre de grandeur d’un résultat;
- utiliser une calculatrice;
- résoudre des problèmes relevant des quatre opérations et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesure…
Les principales variables didactiques pour les problèmes de multiplication. 4 entrées.
- Le type de problèmes : Proportion simple (avec présence de l’unité) sont souvent mieux réussis que les problèmes du type “produit de mesures”.
- Type des nombres utilisés : difficultés avec les décimaux.
- Taille des nombres en jeu.
- Disponibilité des outils de calcul.
Les principales difficultés rencontrées par les élèves au cours de l’apprentissage de la technique opération de la multiplication. 5 entrées.
- Tables non mémorisées.
- Difficultés dans la gestion des retenues.
- Difficultés dans l’ordre des calculs à effectuer.
- Difficultés dans le respect de l’ordre des calculs à effectuer.
- Difficultés du “décalage” qui correspond à l’existence d’un “0” qui permet d’indiquer le nombre de dizaines, de centaines.
Les trois étapes de l’apprentissage de la multiplication.
- Multiplication d’un nombre par un nombre à un chiffre.
- Multiplication d’un nombre par un nombre du type 20, 300…
- Multiplication de deux nombres quelconques.
Les quatre connaissances sous-jacentes à la technique de la multiplication
- Les produits des tables de multiplication.
- La décomposition des nombres en fonction de leur écriture en base 10. (507 = 500 + 7)
- Le repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture d’un nombre.
- La règle des “0” (comment multiplier par 100)
Quand apprend-on la multiplication?
fin du cycle 2 (multiplication par un nombre à un chiffre). Mise en place au CE2.
Trois connaissances sous-jacentes à la technique de la division.
- Tables de multiplication.
- Le repérage de la valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture d’un nombre.
- Le calcul approché (pour répondre à des question du type “combien de fois 13 dans 75?”)
Les principales difficultés rencontrées par les élèves au cours de l’apprentissage de la technique opération de la division. 2 entrées.
- dividende considérée de “gauche à droite” (dans les autres calculs les nombres sont considérés de “droite à gauche”)
- Utilisation simultanée de la division (recherche de chaque chiffre du quotient), de la multiplication (produit du diviseur par chaque chiffre du quotient) et soustraction.
Les étapes de l’apprentissage de la division. 4 entrées.
- Division d’un nombre entier par un nombre entier à un chiffre.
- Division d’un nombre entier par un nombre entier à plus d’un chiffre.
- Division décimale de deux nombres entiers.
- Division décimale d’un nombre décimal par un nombre entier.
Quand apprend-on la division ?
- début au CE2 (le diviseur est un nombre à un chiffre).
- Mise en place de façon générale au CM1.
