Math - OFA Flashcards
Lezioni di matematica effettuate nel corso propedeutico
Cos’è la geometria euclidea?
Quali sono i cinque postulati?
- la sua geometria consiste nell’assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati
- Congiungendo due punti qualsiasi si ottiene un segmento di retta;
- Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
- Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
- Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
- Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli hanno somma minore di due retti.
Cos’è un triangolo?
- poligono con 3 lati
Qual è la somma degli angoli interni ed esterni?
180 e 360
In cosa consiste la disuguaglianza triangolare?
- b + c > a
Cos’è l’altezza di un triangolo?
Dove si incontrano le altezza di un triangolo?
- relativa ad un lato
- ortocentro (esterno, interno o coincidente)
Cos’è l’asse di un triangolo?
Dove si incontrano?
- asse di un segmento
- circocentro (circonferenza circoscritta)
Cos’è la mediana di un triangolo?
Quali sono le caratteristiche del baricentro?
- relativa al lato
- sempre interno e divide i segmenti in due parti (a e 2a)
Cos’è la bisettrice di un triangolo?
Cos’è l’incentro?
- relativa all’angolo
- divide angolo in due parti uguali
Cos’è il piano cartesiano?
Da cosa è formato?
Cosa consente?
Qual è il suo dominio?
- sistema di coordinate sul piano euclideo
- assi orientati
- individuare un punto
- R^2
Cosa significa risolvere un’equazione nel piano?
- valori che soddisfano l’uguaglianza (sostituzione)
In quali forme può essere scritta l’equazione di una retta?
Cosa sono coefficiente angolare e ordinata all’origine?
- implicita es esplicita (+ retta verticale)
- pendenza e intersezione asse y
Cosa indica Δ?
variazione
Come si fa a trovare l’equazione di una retta avente un punto per cui questa passa?
E se abbiamo due punti?
DIMOSTRAZIONE DELLE FORMULE
- imporre il passaggio per quel punto (m deve essere fornito)
- sistema (ricorda il metodo alternativo)
Quando le rette sono parallele?
Quando perpendicolari?
Come trovo l’intersezione tra due rette?
Quante soluzioni può avere un sistema?
Cos’è una parabola?
Qual è la sua forma?
Cosa ci interessa per poter disegnare una parabola?
- eq. di secondo grado
- a, b, c
In cosa consiste il completamento del quadrato?
Quale metodo alternativo alla formula risolutiva esiste per trovare gli zeri di una parabola?
DIMOSTRAZIONE
- y = 0
Cosa sono le radici?
- valori che annullano
Quali sono le 3 osservazioni che abbiamo fatto sulla parabola?
- scomposizione equazione/diseq. con le radici
- formula del vertice
- soluzioni del determinante
Cosa cambia tra le equazioni e le disequazioni di secondo grado?
- intervallo di valori come risultato
Quali metodi possono essere usati per risolvere le disequazioni di secondo grado?
Quando possiamo dire che il risultato è “per ogni” o “mai”?
- grafico e regola dei segni
- quando non intersecano l’asse x (in base al valore di a)
Cosa possiamo dire delle funzioni y=x^n?
Le abbiamo già incontrate?
- distinzione quando n è pari/dispari
- si, con n=1 e n=2
Qual è la differenza tra le funzioni pari e quelle dispari?
Quando le funzioni sono crescenti/decrescenti?
- f(-x) = f(x) // f(x) = -f(x)
Cosa sono i polinomi?
Da cosa dipendono?
Quali proprietà rispettano?
- somme di monomi (P(x) = … )
- dalla variabile x (anche l’ordine/grado)
- associativa, commutativa e distributiva
Cos’è un monomio?
numero reale X potenza di x
Come dobbiamo agire con polinomi di grado superiore al secondo?
fattorizzare:
- raccogliere
- prodotti notevoli
Come posso trovare le radici di un polinomio?
Tutti i risultati vanno bene?
Cosa afferma il teorema di Ruffini?
- formula
- solo radici razionali
- (x - C) è radice, si verifica tramite la divisione
Cosa sono le frazioni algebriche?
Qual è il loro grafico?
Come si risolvono equazioni e disequazioni delle frazioni algebriche?
Qual è il “problema”?
- C.E.
- non posso usare ann. del prod. con diseq.
Cos’è il valore assoluto (o modulo)?
Qual è la sua definizione?
Cosa indica il modulo?
- rende positivo
- sistema
- distanza tra due punti, ignorando il segno
Quali sono le proprietà del valore assoluto?
Qual è il grafico del valore assoluto?
Quali metodi possiamo usare per risolvere un valore assoluto?
Possiamo usarle tutte e sempre?
Cosa dobbiamo fare con le soluzioni dei sistemi quando abbiamo una disequazione con valore assoluto?
Cosa faccio se ho due o più valori assoluti?
- algebrica (definizione), grafica o sapendo che indica la distanza tra due punti
- no
- prima AND, poi OR (quando è impossibile)
- scrivo tutti i possibili casi
Cosa sono i radicali?
Da quali elementi sono composti?
Cosa indicano le potenze frazionarie?
- operazione inversa all’elevamento (si può vedere dal grafico)
- radicando e indice della radice
- il denominatore indica l’indice e il numeratore l’elevamento del radicando
Quali casi possiamo avere con funzioni radicali?
- indice pari e dispari
Qual è la forma della funzione esponenziale?
Quali caratteristiche deve avere?
- y = a^x
- a>0, D: R, C: ]0;+∞[
Come cambia la funzione in base al valore di a?
Per quale punto passa sicuramente?
Cosa vuol dire che ha un comportamento asintotico?
- crescente o decrescente
- (0;1)
- non tocca mai l’asse delle ascisse
Quali sono le tre forme fondamentali delle esponenziali?
- numero come base e funzione come esponente
- funzione come base e numero come esponente
- funzione come base e come esponente
Come possono essere risolte le equazioni/disequazioni esponenziali?
- stessa base –> uguaglianza tra esponenti
- proprietà delle potenze
- divido per rendere uguale ad 1 uno dei due (basi diverse)
- logaritmo
a. estrazione del logaritmo
b. prima risolvo e poi applico il logaritmo cosicché possa rimanere solo x (+ cambiamento base se voglio “abbellirla”) - variabile ausiliaria
Con le disequazioni è meglio evitare di lavorare con basi comprese tra 0 e 1 (oppure ricordarsi di girare il segno)
Quale è la definizione di logaritmo?
Qual è il suo rapporto con l’esponenziale?
- funzioni inverse (ricordi una proprietà?)
Qual è la forma della funzione logaritmica?
Quali le sue caratteristiche fondamentali?
- a=0 e diversa da 1
- x > 0
Come cambia la funzione al variare di a?
Per quali punti passa sicuramente?
- crescente o decrescente
- (1;0) e (a;1)
Quali logaritmi sono più utilizzati? (scritture fondamentali)
- log
- ln
Quali sono le proprietà fondamentali dei logaritmi?
Spiega la dimostrazione
- sono 3
Come si possono risolvere le equazioni/disequazioni logaritmiche?
E’ importante assicurarsi che l’eq./diseq. sia davvero logaritmica
1. log con stessa base (e nient’altro prima/dopo) –> eguaglio esponenti
2. variabile ausiliaria (quando usarla?)
Con le disequazioni è meglio evitare di lavorare con basi comprese tra 0 e 1 (oppure ricordarsi di girare il segno)
Cos’è la geometria analitica?
Cosa si può fare con un segmento?
- geometria nel piano
- punto medio e lunghezza del segmento
Cos’è una circonferenza?
Cosa è importante sapere di questa figura geometrica?
Come si possono ricavare questi elementi senza “formule specifiche”?
Possiamo affermare che la circonferenza è una funzione?
Per quale motivo?
Da cosa partiamo quando vogliamo parlare di trigonometria/goniometria?
- circonferenza goniometrica
Cos’è l’arco di una circonferenza?
Qual è la sua relazione con l’ampiezza dell’angolo (in gradi)?
Cosa dobbiamo fare se vogliamo conoscere l’angolo in radianti?
Come possiamo passare dall’angolo in radianti a quello in gradi e viceversa?
- una porzione di circonferenza (lunghezza)
- l’arco è dati dal rapporto tra α° e 360°, moltiplicato per 2πr (è quindi influenzato dal raggio)
- dividere la lunghezza dell’arco per il raggio r
Se uniamo le ultime due “formule” riusciamo ad eliminare l’influenza del raggio.
- proporzione
Perché nei risultati a volte compare 2kπ o kπ?
Deve essere inserito sempre?
- perché sin, cos, tan sono funzioni periodiche e la circonferenza può compiere più di un giro
- solo se non è specificato l’intervallo [0;2kπ[
Descrivi le funzioni sin, cos e tan (il grafico)?
Sono funzioni dispari o pari?
Cosa sono gli angoli notevoli?
Quali sono?
Come possiamo ricordare dal punto di vista geometrico i loro valori?
- angoli ricorrenti per i quali è utile conoscere a memoria i loro risultati
- 30, 45, 60
- triangolo equilatero per 30 e 60, isoscele per 45
Cosa sono gli angoli o archi associati?
Cosa si intende per funzioni omologhe?
- riconduzione al primo quadrante siccome sono gli angoli che conosciamo meglio
- quando abbiamo un angolo diverso da α, ma a cui ci si può ricondurre (es. 90° - α): lo scopo è infatti quello di trovarsi con una funzione trigonometrica in α
- possono essere simmetrici o no e in base a quello scelgo quale funzione utilizzare e in base alla sua posizione determino il segno
In cosa consiste il metodo dell’angolo aggiunto?
Spiega le formule goniometriche di addizione e sottrazione
Quale tecnica possiamo usare per ricordare segno e disposizione delle funzioni?
- cos = alterno segno
- sin = alterno funzioni e mantengo segno
Spiega le formule goniometriche di duplicazione
- sin (2α) = 2 sin(α) cos(α)
- cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)
Come possiamo trasformare quest’ultima?
Cosa può aiutare a risolvere le equazioni/disequazioni trigonometriche?
- relazione fondamentale
- definizione di tangente
- variabile ausiliaria
- fare il grafico!!! ricordando che cos è l’ascissa e sin l’ordinata
