komplexe Zahlen, arithmetische und polare Darstellung, Eulerformel, Additionstheoreme, Kreisteilung Flashcards
Nenne Stadien der vollständigen Induktion
- Induktionsanfang
- Induktionsschritt
- Induktionsvorraussetzung
- Induktionsbehauptung
- Induktionsschluss
Wie wird der Induktionsanfang durchgeführt?
Die Gleichung auf Ihre Anfangsbedingung prüfen.
wie
z.B. n = 0/1.
Wie wird der Induktionsschritt durchgeführt?
Die Bedingung wird um +1 erweitert und in den Weiteren Schritten gilt es diese Erweiterung als gültig zu Erweisen.
z.B. A(n) => A(n+1)
Wie wird die Induktionsvorraussetzung genannt?
Der Induktionsanfang wird als Vorraussetzung genommen.
z.B. Für ein n gelte “A(n)”
Wie wird die Induktionsbehauptung durchgeführt?
Im Anschluss an den Induktionsschritt gefasste Behauptung
z.B Dann gilt es auch für A(n+1)
Wie wird der Induktionsschluss durchgeführt?
Für n wird n+1 eingesetzt und gleichgesetzt.
QED QED QED QED BRO BRO BRO QED QED QED
Ungleichungen:
Was folgt aus x < y und y < z
x < z
und
x < y < z
Ungleichungen:
Was folgt aus x < y und a =< b
x +a < y + b
Ungleichungen:
Was folgt aus a > 0 und y > x
ay > ax
Ungleichungen:
Was passiert bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl?
Ungleichung wandelt sich um
x > y und a < 0
a(x > y)
= > ax < ay
Muss man beim Auflösen von Ungleichungen auf Fallunterscheidungen achten ?
Ja!
Und für jeden Fall die Lösungsmengen bestimmen!
Was gilt für |xy| und für |x +y|
|xy| = |x| * |y|
|x+y| = |x| + |y|
Worauf betragsformel dinger achten
Auf Fälle aufteilen!
Worauf achten wenn eine quadratsfunktion im Nenner steht?
Auf Fälle aufteilen!
hat x^2 = -1 reelle Lösungen ?
Nein nur komplexe; i = \sqrt{1}
Wie sieht die Menge der Kompexen Zahlen aus
C = { z = x + yi | x,y ∈ R}
i^2
-1
i^-3
\sqrt{-1} * -1
i^4
-1 * -1 = 1
wenn durch 4 teilbar 1, wenn nicht -1
i^10
-1
i^100
1
i^200
1
(4+3i) + (3+i) = ?
7+4i
(4+3i) - (3+i) = ?
1+2i
(4+3i) * (3+i) = ?
9+13i
(4+3i) / (3+i) = ?
1.5+0.5i
Gaußsche Zahlenebene,
y-Achse = ? x-Achse = ?
y-Achse = imaginäre Achse x-Achse = reelle Achse
X = Re(Z) ?
Realteil von Z
Y = Im(Z) ?
Imaginärteil von Z
Konjugation von Z ?
Z = X+Yi
Konjugation: /Z = X-Yi
Betrag von Z?
Z = \sqrt{ X^2 + Y^2}
Z * /Z ?
|Z|^2
/(Z1+Z2) ?
/Z1 +/Z2
(Z + /Z) / 2
Re(Z)
(Z + /Z) / 2i
Im(Z)
Z in Polarform ?
Z = r (cos \phi + i * sin \phi)
Z in Eulerform
Z = |Z| * e^(i\phi)
r von Z ?
r = \sqrt{x^2 + y^2}
Wie wird \phi berechnet ?
x > 0: arctan(Im/Re)
x < 0: \pi + arctan(Im/Re)
0, y > 0: \pi / 2
0, y < 0: -\pi / 2
pq-Formel ?
x^2 + px + q = 0
x1/2 = -p/2 +- \sqrt((p/2)^2 - q)
was passiert wenn das Ergebnis der Wurzelfunktion in der PQ-Formel negativ ist ?
ein komplexes Ergebnis ;)
z.B. \sqrt(-4) = 2i
