Kapitel 3 - Mathematik unterrichten

Question 1

Prinzipien

Answer 1

• Spiralprinzip
• E-I-S-Prinzip
• Genetisches Prinzip (Varianten: historisch/ sachlogisch genetisch)
• Operatives Prinzip

Question 2

E-I-S-Prinzip (Bruner)

Answer 2

• 3 Vermittlungs-/ Darstellungsweisen/ Repräsentationsformen/-modi des Wissens und Könnens:
  *Enaktiv: durch Handlung
  *ikonisch: durch bildliche Darstellung
  *Symbolisch: durch formale/sprachliche Beschreibung
• Keine nacheinander zu durchlaufenden Stufen, sondern Darstellungsweisen, die wechselseitig aufeinander bezogen sind
• Möglichst immer alle 3 nutzen!

Question 3

Genetisches Prinzip

Answer 3

• Mathematik sollte nicht als fertiges Produkt vermittelt werden, sondern die SuS sollten Einblick in den Prozess der Entstehung von Mathematik erhalten und daran teilhaben
• Lernende entdecken und erfinden (nach)
• Historisch-genetisch:
  *Begriffsentwicklung gemäß der Genese mathematischer Begriffe
  *(historische) Fragen und Probleme nutzen, die zu den Begriffen führten
  *Begriffe als Antworten auf Fragen oder Lösungen für Probleme
• Sachlogisch-genetisch:
  *Anknüpfung an vorhergehende Schritte, Vorverständnis, Erfahrungswelt der Schüler
• Beispiele:
  *Zahlbereichserweiterungen
  *Geometrische Algebra der Griechen: Zahlen als Streckenlängen interpretieren (z.B. Distributivgesetz, Binomische Formeln)
  *Volumen des Quaders/Zylinders als Analogiebildung zum Flächeninhalt des Rechtecks/Kreises (sachlogisch-genetisch)

Question 4

Operatives Prinzip (Piaget, Aebli, Wittmann)

Answer 4

• Ursprung bei Piaget und Aebli:
  *Operationen sollen verstanden und verinnerlicht werden → „verinnerlichtes Handeln“
  *Eigenschaften von Denkoperationen: Kompositionsfähigkeit, Assoziativität, Reversibilität
• 3 Stufen des Verinnerlichungsprozesses (Aebli)
  *konkrete Stufe, konkretes Handeln mit konkretem Material
  *Figurale Stufe, zeichnerisches Handeln
  *Symbolische Stufe, Handeln in der Vorstellung
• Ausweitung durch Wittmann (1985): Operatives Prinzip in der Mathematikdidaktik
  *Ausdehnung von dynamischen Operationen auf vermeintlich statische Objekte
  *Transformierende Operationen auf Objekte anwenden → „Was passiert mit…, wenn…?“
  *Verhalten der Eigenschaften, Beziehungen und Funktionen der Objekte beobachten

Question 5

Erarbeiten Begriffsklärung

Answer 5

• Meint hauptsächlich das Erarbeiten von Sachverhalten, aber auch Begriffe können erarbeitet werden
• „Erarbeiten“ bedeutet, dass SuS aktiv an der Entstehung des Neuen beteiligt sind
• Subjektiv neue Mathematik wird entwickelt
• Komponenten:
  *Sachverhalt entdecken
  *Sachverhalt (Vermutung) formulieren
  *Begründung für Sachverhalt finden

Question 6

Herausforderungen beim Erarbeiten

Answer 6

• Fällt Anfängern in der Unterrichtsplanung tendenziell schwer
• Der genaue AHA-Moment ist nicht planbar, aber:
  *Hilfen überlegen
  *Ähnliche Fragestellungen betrachten, die schon bekannt sind
  *Suggestive Abbildungen nutzen
• In der Praxis findet viel vermittelnder Unterricht statt, aber:
  Wann immer möglich Mathematik erarbeiten lassen!

Question 7

Üben Begriffserklärung

Answer 7

• „Der Begriff ‚Üben‘ umfasst […] all diejenigen Lerntätigkeiten, die […] darauf ausgerichtet sind, neue oder schon früher kennen gelernte (mathematische) Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren sowie Vorgehensstrategien in variierenden Kontexten verfügbar zu haben und verständig anwenden zu können“ (Bruder 2008, S. 4)
• „Nachhaltiges Lernen und mathematische Kompetenzentwicklung sind nur dann erfolgreich, wenn auch geübt wird“ (Bruder 2008, S. 4)
• Üben nützt vor allem dann, wenn Aufgaben nahe an Lernsituation sind (ferner Transfer schwierig)
• Gegenstand der Übung sollte subjektiv bedeutsam sein
• Erfolg des Übens wird erhöht, wenn Grad der Selbsttätigkeit hoch ist
• Üben fällt leichter (und Lernerfolg ist höher), wenn Zusammenhänge sinnvoll strukturiert werden und Prinzipien, Gesetzmäßigkeiten, logische Beziehungen dahinter klar gemacht werden
• Regelmäßige Übungsphasen erhöhen den Erfolg
• Dauerhaftes Behalten erfordert ständige Reaktivierung und Anwendung

Question 8

Aufgaben

Answer 8

• Üben wird hauptsächlich in Form von Aufgaben realisiert
• Aufgaben sind aber ganz allgemein Anlässe zum sog. „Mathematiktreiben“
• Auch Leistungsüberprüfung findet durch Aufgaben statt

Question 9

Geschlossene vs. Offene Aufgaben

Answer 9

• in Schulbüchern dominieren meist geschlossene Aufgaben, bei welchen ein einziger Weg zu einem eindeutigen Ziel führt
• Probleme geschlossener Aufgaben:
  *Starke Produktsicht auf Mathematik
  *Eindruck, dass Mathematik aus Aufgaben besteht, die es so nur in der Schule gibt
  *Willkürliches und unreflektiertes Anwenden eingeübter Verfahren
• Offenheit ist ein Merkmal authentischen Umgangs mit Mathematik
• Wenn Mathematik zur Allgemeinbildung und zum Erwerb allgemeiner Kompetenzen beitragen (und nicht nur für den Schulunterricht gelernt werden) soll, müssen offene Aufgaben verwendet werden
• Lösung: Öffnung vorhandener Aufgaben

Question 10

Klassifikationsschema für Offenheit von Aufgaben

Answer 10

Aufgaben können offen sein bzgl.

• der Informationen über die Ausgangssituation (Start)
• der Methode bzw. des Lösungsverfahrens (erlaubte Operationen/Transformationen; Weg)
• ihrer Lösung, ihres Ergebnisses, ihrer Endsituation (Ziel)

Question 11

Weitere Aufgaben

Answer 11

• Multiple-Choice-Aufgaben
  *Wichtig: gute und genügend Distraktoren
  *Schwierig zu erstellen, nur vermeintlich zeitsparend
• Aufgaben erstellen und variieren lassen
  *In Schulbüchern z. B. durch Situationen ohne Frage umgesetzt
• Fehlererkennungsaufgaben
  *Fördern Argumentieren und Kommunizieren

Question 12

Klassifikation für Offenheit von Aufgaben

Answer 12

• Vollständig gelöste Aufgabe, Musteraufgabe, Aufgabe zur Fehlersuche (Start, Weg, Ziel) -> Beispielaufgabe
• Einfache Bestimmungsaufgabe (Grundaufgabe) (Start, Weg) -> Geschlossene Aufgabe
• Einfache Umkehraufgabe (Weg, Ziel) -> Umkehraufgabe
• Strategiefindungs- oder Begründungsaufgabe (Start, Ziel) -> Begründungsaufgabe
• Schwierige Bestimmungsaufgabe (Start) -> Problemaufgabe
• Schwierige Umkehraufgabe, Modellierungsproblem mit Zielvorgabe (Ziel) -> Problemumkehr
• Eigenkonstruktionen-Anwendungen finden (Weg) -> Anwendungssuche
• Offene Problemsituationen (kein Start, Weg, Ziel) -> offene Situation (bsp.: „Führe eine Befragung zum Zeitaufwand der Hausaufgaben bei deinen Mitschülern durch und präsentiere das Ergebnis!“