Kap 4 Flashcards
En sannolikhet (probability)
-är ett
numeriskt värde som mäter hur troligt det är
att en osäker händelse inträffar.
-Värdet på en sannolikhet är mellan noll (0) och ett (1).
Ett experiment
-är ett försök som resulterar i något
av flera osäkra utfall.
Ex. Vilken (om någon) medalj får en viss
snowboardåkare i halfpipe i Vinter-OS.
Utfallsrum (sample space)
-betecknat S, för ett
experiment innehåller all möjliga utfall för
experimentet.
Ex. ett utfallsrum för bokstavsbetyg:
S=A,B,C,D,
Uttömmande (Exhaustive)
Om alla möjliga utfall för ett experiment finns bland
händelserna. Till exempel är händelserna “ta medalj”
och “inte ta medalj” i en OS-gren uttömmande eftersom
dessa är de enda utfallen.
Ömsesidigt uteslutande (Mutually exclusive)
Om de inte har några gemensamma utfall för
experimentet. Till exempel är “ta medalj” och “inte ta
medalj” i en OS-gren ömsesidigt uteslutande.
Unionen
-av två händelser (A u B) innehåller de simpla
händelser som finns i åtminstone en av A eller (inte
antingen eller) B.
Snittet (intersection)
av två händelser (A snitt B) består av alla simpla händelser som är gemensamma för A och B.
Komplementet
-till en händelse A skrivs Ac och är händelsen som består av alla simpla händelser i utfallsrummet S som inte finns i A.
En Subjektiva sannolikheter
Två olika Objektiva sannolikheter.
-Utifrån personliga och subjektiva bedömningar.
-Empiriska sannolikheter: En relativ frekvens
av förekomster.
- à-priori-sannolikhet (klassisk sannolikhet):
logisk analys.
relativ frekvens:
P(A)= utfall i A genom utfall i Sample sizen.
Ex. P(Guld)= 0,10
Additionsregeln
Sannolikheten att A eller B (inte antingen eller)
inträffar, eller att åtminstone en av händelserna
inträffar är:
P (A u B) = P(A) + P(B) − P (a snitt B)
Obetingad (marginal-) sannolikhet
Det går att ha arbetslivserfarenhet och samtidigt få ett jobb. Man kan ha arbetslivserfarenhet från ett annat jobb som inte påverkar att man söker ett nytt jobb.
-Till exempel, P (A): sannolikheten att få ett jobb och P (B):
sannolikheten för arbetslivserfarenhet.
Betingad sannolikhet
Sannolikheten för en händelse givet att en annan
händelse inträffat/inträffar.
När vi tecknar en betingad sannolikhet
använder vi
symbolen “ | ” som utläses “givet.”
Vad än som följer “ | ” har inträffat eller
inträffar.
Till exempel, P(A |B): sannolikheten att få ett
jobb givet arbetslivserfarenhet.
Då det står A givet att B har skett se reduceras samplespacet till bara B. Därav tar man P(A snitt B)/ P(B)
Oberoende och beroende händelser
Två händelser är oberoende (independent) om
inträffandet av den ena inte påverkar sannolikheten för
inträffandet av den andra.
Två händelser är beroende (dependent) om inträffandet
av den ena påverka sannolikheten för inträffandet av den andra.
Två händelser är oberoende om och endast om:
P A|B = P(A) eller
P B|A = P(B)
Multiplikationsregeln
Sannolikheten att både 𝐴
och 𝐵 inträffar ges av:
P(A Snitt B) = P(A|B) P (B) = P (B|A) P(A)
Observera att om A och B är ömsesidigt
utslutande så är
P (A ∩ B )= 0
Multiplikationsregeln för att oberoende event båda sker är:
P(A skärningen B)= P(A) P(B)
Händelsetabeller
En händelsetabell visar generellt frekvenser för två
kvalitativa eller kategoriska variabler, 𝑥 och 𝑦.
-Varje cell representerar en ömsesidigt utaslutande
kombination av 𝑥- och 𝑦-värden.
Contingency tabell-
Visar frekvensen av Unionen för X och Y.
Joint Probability tabell: Är samma som ovan bara att det istället visar sannolikheten.
Tabell för gemensamma sannolikheter
Gemensamma sannolikheter fås genom att
dividera talen i cellerna med totalen (600).
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵1 = 174 genom 600
= 0.29
Lagen om total sannolikhet
P(A) är summan av sannolikheterna för snitten av 𝐴 med
någon uppsättning av ömsesidigt uteslutande och
uttömmande händelser.
Betrakta händelsen B och desskomplement Bc. Dessa
två händelser är ömsesidigt
uteslutande och uttömmande.
Cirkeln, som representerar
händelsen A, består helt och
hållet av A:s snitt med B och A:s snitt med Bc.
Lagen om total sannolikhet betingad på två
händelser
Med hjälp av 𝐵 och 𝐵𝑐 kan vi skriva
P(A) = P(A snitt B) + P(A snitt Bc)
Bayes sats
En procedur för att uppdatera sannolikheter baserat på ny information.
-À-priori- sannolikheten är den ursprungliga
(obetingade) sannolikheten 𝑃(𝐵) .
-À-posteriori- sannolikheten är den uppdaterade (betingade) sannolikheten
𝑃(𝐵 | 𝐴).
Bayes sats
Givet en uppsättning à-priori-sannolikheter och
någon ny information, kallas reglen för uppdatering av sannolikheterna Bayes sats.
𝑃 (𝐵|𝐴) =𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) genom
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵𝑐)
Ställ upp det i följande tabell för att lösa:
Prior.prob| Cond.prob| Joint prob| Posterior prob|
P(A) P(B|A) P( B snitt A) P(A|B)
P(Ac) P (B|Ac) P( B snitt Ac)
=P(B)
P(A|B)= P( B snitt A)/P(B)
Fakultetsformeln
Antalet sätt att placera ut 𝑛 olika objekt på 𝑛 olika platser
ges av fakultetsformeln:
𝑛! = 𝑛 (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ 2 ∙ 1
Per definition är 0! = 1.
Till exempel, på hur många sätt kan en baseballcoach
placera nio spelare på de nio positionerna? (pitcher,
catcher, first base, etc.)?
Lösning: 9 ∙ 8 ∙ ⋯ ∙ 2 ∙ 1 = 362,880
Kombinationsformeln
Antalet sätt att välja 𝑥 objekt bland totalt 𝑛 (olika)
objekt, där ordningen inte spelar någon roll, kallas
antalet kombinationer och beräknas enligt:
𝑛𝐶𝑥 =(𝑛𝑥) =
𝑛! genom
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !
Permutationsformeln
Antalet sätt att välja 𝑥 objekt bland totalt 𝑛 (olika)
objekt, där ordningen spelar roll, kallas antalet
permutationer och beräknas enligt:
𝑛𝑃𝑥 =
𝑛! genom
𝑛 − 𝑥 !
