Kap 4

Question 1

En sannolikhet (probability)

Answer 1

-är ett
numeriskt värde som mäter hur troligt det är
att en osäker händelse inträffar.

-Värdet på en sannolikhet är mellan noll (0)
och ett (1).

Question 2

Ett experiment

Answer 2

-är ett försök som resulterar i något
av flera osäkra utfall.

Ex. Vilken (om någon) medalj får en viss
snowboardåkare i halfpipe i Vinter-OS.

Question 3

Utfallsrum (sample space)

Answer 3

-betecknat S, för ett
experiment innehåller all möjliga utfall för
experimentet.

Ex. ett utfallsrum för bokstavsbetyg:
S=A,B,C,D,

Question 4

Uttömmande (Exhaustive)

Answer 4

Om alla möjliga utfall för ett experiment finns bland
händelserna. Till exempel är händelserna “ta medalj”
och “inte ta medalj” i en OS-gren uttömmande eftersom
dessa är de enda utfallen.

Question 5

Ömsesidigt uteslutande (Mutually exclusive)

Answer 5

Om de inte har några gemensamma utfall för
experimentet. Till exempel är “ta medalj” och “inte ta
medalj” i en OS-gren ömsesidigt uteslutande.

Question 6

Unionen

Answer 6

-av två händelser (A u B) innehåller de simpla
händelser som finns i åtminstone en av A eller (inte
antingen eller) B.

Question 7

Snittet (intersection)

Answer 7

av två händelser
(A snitt B) består av alla
simpla händelser som
är gemensamma för A
och B.

Question 8

Komplementet

Answer 8

-till en
händelse A skrivs Ac och
är händelsen som består
av alla simpla händelser
i utfallsrummet S som
inte finns i A.

Question 9

En Subjektiva sannolikheter

Två olika Objektiva sannolikheter.

Answer 9

-Utifrån personliga och subjektiva bedömningar.
-Empiriska sannolikheter: En relativ frekvens
av förekomster.
- à-priori-sannolikhet (klassisk sannolikhet):
logisk analys.

Question 10

relativ frekvens:

Answer 10

P(A)= utfall i A genom utfall i Sample sizen.

Ex. P(Guld)= 0,10

Question 11

Additionsregeln

Answer 11

Sannolikheten att A eller B (inte antingen eller)
inträffar, eller att åtminstone en av händelserna
inträffar är:

P (A u B) = P(A) + P(B) − P (a snitt B)

Question 12

Obetingad (marginal-) sannolikhet

Answer 12

Det går att ha arbetslivserfarenhet och samtidigt få ett jobb. Man kan ha arbetslivserfarenhet från ett annat jobb som inte påverkar att man söker ett nytt jobb.

-Till exempel, P (A): sannolikheten att få ett jobb och P (B):
sannolikheten för arbetslivserfarenhet.

Question 13

Betingad sannolikhet

Answer 13

Sannolikheten för en händelse givet att en annan
händelse inträffat/inträffar.

När vi tecknar en betingad sannolikhet
använder vi
symbolen “ | ” som utläses “givet.”

Vad än som följer “ | ” har inträffat eller
inträffar.

Till exempel, P(A |B): sannolikheten att få ett
jobb givet arbetslivserfarenhet.

Då det står A givet att B har skett se reduceras samplespacet till bara B. Därav tar man P(A snitt B)/ P(B)

Question 14

Oberoende och beroende händelser

Answer 14

Två händelser är oberoende (independent) om
inträffandet av den ena inte påverkar sannolikheten för
inträffandet av den andra.

Två händelser är beroende (dependent) om inträffandet
av den ena påverka sannolikheten för inträffandet av den andra.

Två händelser är oberoende om och endast om:

P A|B = P(A) eller
P B|A = P(B)

Question 15

Multiplikationsregeln

Answer 15

Sannolikheten att både 𝐴
och 𝐵 inträffar ges av:

P(A Snitt B) = P(A|B) P (B) = P (B|A) P(A)

Observera att om A och B är ömsesidigt
utslutande så är

P (A ∩ B )= 0

Multiplikationsregeln för att oberoende event båda sker är:

P(A skärningen B)= P(A) P(B)

Question 16

Händelsetabeller

Answer 16

En händelsetabell visar generellt frekvenser för två
kvalitativa eller kategoriska variabler, 𝑥 och 𝑦.

-Varje cell representerar en ömsesidigt utaslutande
kombination av 𝑥- och 𝑦-värden.

Contingency tabell-
Visar frekvensen av Unionen för X och Y.

Joint Probability tabell: Är samma som ovan bara att det istället visar sannolikheten.

Question 17

Tabell för gemensamma sannolikheter

Answer 17

Gemensamma sannolikheter fås genom att
dividera talen i cellerna med totalen (600).

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵1 = 174 genom 600
= 0.29

Question 18

Lagen om total sannolikhet

Answer 18

P(A) är summan av sannolikheterna för snitten av 𝐴 med
någon uppsättning av ömsesidigt uteslutande och
uttömmande händelser.

Betrakta händelsen B och desskomplement Bc. Dessa
två händelser är ömsesidigt
uteslutande och uttömmande.

Cirkeln, som representerar
händelsen A, består helt och
hållet av A:s snitt med B och A:s snitt med Bc.

Lagen om total sannolikhet betingad på två
händelser

Med hjälp av 𝐵 och 𝐵𝑐 kan vi skriva
P(A) = P(A snitt B) + P(A snitt Bc)

Question 19

Bayes sats

Answer 19

En procedur för att uppdatera sannolikheter baserat på ny information.
-À-priori- sannolikheten är den ursprungliga
(obetingade) sannolikheten 𝑃(𝐵) .
-À-posteriori- sannolikheten är den uppdaterade (betingade) sannolikheten
𝑃(𝐵 | 𝐴).

Bayes sats
Givet en uppsättning à-priori-sannolikheter och
någon ny information, kallas reglen för uppdatering av sannolikheterna Bayes sats.

𝑃 (𝐵|𝐴) =𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) genom
𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵𝑐)

Ställ upp det i följande tabell för att lösa:

Prior.prob| Cond.prob| Joint prob| Posterior prob|
P(A) P(B|A) P( B snitt A) P(A|B)
P(Ac) P (B|Ac) P( B snitt Ac)
=P(B)

P(A|B)= P( B snitt A)/P(B)

Question 20

Fakultetsformeln

Answer 20

Antalet sätt att placera ut 𝑛 olika objekt på 𝑛 olika platser
ges av fakultetsformeln:
𝑛! = 𝑛 (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ 2 ∙ 1

Per definition är 0! = 1.

Till exempel, på hur många sätt kan en baseballcoach
placera nio spelare på de nio positionerna? (pitcher,
catcher, first base, etc.)?

Lösning: 9 ∙ 8 ∙ ⋯ ∙ 2 ∙ 1 = 362,880

Question 21

Kombinationsformeln

Answer 21

Antalet sätt att välja 𝑥 objekt bland totalt 𝑛 (olika)
objekt, där ordningen inte spelar någon roll, kallas
antalet kombinationer och beräknas enligt:

𝑛𝐶𝑥 =(𝑛𝑥) =
𝑛! genom
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !

Question 22

Permutationsformeln

Answer 22

Antalet sätt att välja 𝑥 objekt bland totalt 𝑛 (olika)
objekt, där ordningen spelar roll, kallas antalet
permutationer och beräknas enligt:

𝑛𝑃𝑥 =
𝑛! genom
𝑛 − 𝑥 !