Insiemi numerici Flashcards
campo numerico
insieme in cui sono definite somma e prodotto con particolari proprietà:
- proprietà commutativa
- proprietà associativa
- esistenza dell’elemento neutro
- esistenza dell’opposto
somma e moltiplicazione legate dalla proprietà distributiva
Q: proprietà
Campo numerico ordinato
relazione d’ordine totale: Vq1, q2 app Q q1q2
massimo e minimo di un insieme
AcQ dico che M(m) app A è il massimo (minimo) dell’insieme A se M >= a Va app A (m<=a Va app A). scrivo M = max (A) (m= min(A))
R : definizione
1) R è un campo rispetto a somma e prodotto da RxR->R; R è un campo ordinato: esiste relazione d’ordine totale
2) ogni AcR superiormente limitato ammette estremo superiore =>
2’) proprietà di continuità o assioma di dedekind:
siano A e B : A U B = R, Va app A, Vb app B => a<b></b>
R: proprietà
- denso in sé
- vale proprietà archimedea
potenza con esponente reale: definizione
siano a, b app R
se a>1,
inf {a^q : q app Q et q>b} = a^b
se 0<a></a>
logaritmo: definizione
siano a, b, c app R, b, c, >0
a=logc (b) se c^a=b
def: intorno
intorno sferico di raggio e:
a app R ( a-e, a+e) e>0
def: punto di accumulazione
dico che a app R è di accumulazione per un insieme AcR se per ogni intorno (a-e, a+e) di a cadono infiniti punti di A
C: definizione e caratteristiche
C = { (a, b) : a, b app R }
-gruppo rispetto alla somma
-gruppo rispetto a prodotto (cioè valgono prop commutativa, associativa e esiste elemento neutro)
-vale proprietà distributiva
=> C è un campo numerico
-è impossibile rendere C un campo ordinato
teorema fondamentale dell’algebra
sia Pn (z) = ∑(i=0, n) αi * z^i (αi app C)
un polinomio di grado n.
Pn ha in C, contate ciascuna con la propria molteplicità, esattamente n radici.
se αi app R, le radici sono reali o a coppie complesse coniugate
Teorema radici n-esime di numero complesso: enunciato
dato z app C, z = p ( cos O + i sin O ), Vn app N esistono esattamente n radici n-esime distinte, cioè esistono n numeri complessi wk (con k = 0, 1, …, n-1), tali che wk^n = z; precisamente wk = p^1/n (cos (O/n + 2kpi/n ) + i sin (O/n + 2kpi/n ) ) per k = 0, 1, …, n-1.
