continuità

Question 1

continuità in un punto: def

Answer 1

sia f: I->R, xo app I. se E lim (x->xo) f(x) = f(xo) dico che f è continua in xo

Question 2

continuità in un punto

Answer 2

sia f: AcR->R, xo app A tale che E lim (x->xo) f(x). se lim(x->xo) f(x) = f(xo) dico che f è continua in xo

Question 3

continuità in un insieme

Answer 3

f è continua su un insieme A se è continua in xo, Vxo app A

Question 4

classificazione punti di discontinuità

Answer 4

1) discontinuità eliminabile: E lim(x->xo) f(x) = l != f(xo)
2) discontinuità con salto: E lim(x->xo-) f(x) = l1 app R, E lim (x->xo+) f(x) = l2 app R, ma l1 != l2
3) discontinuità essenziale o polare: !E lim (x->xo-) f(x) o lim (x->xo-) f(x) = +-inf; oppure stssa cosa per x->xo+

Question 5

teorema di weierstrass

Answer 5

sia f continua su [a, b], chiuso e limitato.
allora E max f su [a, b] e E min f su [a, b]

controesempi:
A. f non continua: mant x su [0, 1]
B. f continua su [a, b) aperto: x su [0, 1)
C. f continua su [a, +inf) illimitato: e^-x su [0, +inf)

Question 6

teorema degli zeri

Answer 6

sia f continua su [a, b]. se f(a)*f(b) < 0, allora E c app (a, b) tale che f(c) = 0

Question 7

teorema dei valori intermedi

Answer 7

sia f continua su [a, b] e sia lambda app R : f(a) < lambda< f(b). allora E c app (a, b) : f(c) = lambda.

Question 8

asintoto verticale

Answer 8

se lim(x->xo o xo+ o xo-) f(x) = +inf (-inf) 
dico che la retta x=xo è asintoto verticale per il grafico di f quando x->xo o xo+ o xo-

Question 9

asintoto orizzontale

Answer 9

se lim (x->+inf o -inf) f(x) = l app R, dico che la retta y=l è asintoto orizzontale per il grafico di f quando x->+inf o -inf

Question 10

asintoto obliquo

Answer 10

dico che la retta y=mx + q è asintoto obliquo per il grafico di f quando x->+inf o -inf se f(x) = mx + q + o(1) per x->+inf o -inf.
si ha che f(x) = mx + q + o(1) per x->+inf se e solo se lim(x->+inf) f(x)/x = m e lim(x->+inf) f(x) - mx = q.

Question 11

Domanda generale: continuità

Answer 11

• def continuità in un punto
• def continuità in un insieme
• importanza funzioni continue: teoremi di weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi (enunciati)
• classificazione punti di discontinuità
• asintoti