Calcolo integrale Flashcards
def integrale definito secondo Cauchy-Riemann
data f: [a, b]->R limitata su un intervallo limitato
definisco partizione P di [a, b] una famiglia di punti {x0, x1, x2,…xn} tale che a=x0 min x1 min x2 … min xn = b.
si divide cosi l’intervallo [a, b] in n intervallini della forma I = {x j-1, xj } con j=1,2,3, …, n
chiamo delta = Max |xj - xj-1| l’ampiezza del più grande intervallo della partizione
Vdelta, scelto casualmente un punto phi j in ogni intervallo Ij, definisco somma di Cauchy-Riemann relativa a P
∑(j=1, n) f(phi j) * (xj - xj-1)
ho quindi un’infinità continua di somme di Cauchy-Riemann relative a P
se esiste lim(delta->0) ∑(j=1, n) f(phi j) * (xj - xj-1) = lamda app R
dico che f è integrabile secondo Cauchy-Riemann e chiamo tale limite integrale di f su [a, b]
proprietà dell’integrale
integrale è
- lineare, cioè omogeneo e additivo
- additivo rispetto all’insieme d’integrazione
- monotono
classi di funzioni integrabili secondo Cauchy-Riemann
data f limitata su intervallo [a, b] limitato
- se f app C([a, b]) allora f app R([a, b])
- se f è monotona su [a, b], allora f app R([a, b])
data f app R([a, b]), ogni f tilde che differisce da f in un numero finito di punti è integrabile e integrale di f tilde da a a b = integrale di f da a a b
teorema della media integrale
int (a, b) f(t)dt = lambda * (b-a) dove lambda è compreso tra l’estremo inferiore e l’estremo superiore di f su [a, b]
in particolare, se f app C([a, b]), Ec app [a, b] : int(a,b) f(t)dt = f(c)*(b-a)
def funzione integrale
data f app R([a, b]), Vxo app [a, b] fissato, Vx app [a, b]
Fxo(x) = int (xo, x) f(t) dt
Fxo(x) : [a, b]-> R funzione integrale di f di estremo fisso xo
primo teorema fondamentale del calcolo integrale
sia f app R([a, b]).
se E F: [a, b]->R tale che F’(x) = f(x) Vx app [a, b], allora int(a, b) f(x) dx = F(b)-F(a)
secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
sia f app R([a, b]), x0 app [a, b] e sia F(x) = int(xo, x) f(t)dt una sua funzione integrale:
1) F è continua su [a, b]
2) se f app C([a, b]), allora F è derivabile su [a, b] e F’(x) = f(x)
integrale generalizzato per funzioni definite su intervalli illimitati
sia f: [a, +inf)->R tale che f app R([a, k]) Vk>a
se E lim(k->+inf) int(a, k) f(t)dt = lamda app R, dico che f è integrabile in senso generalizzato su [a, +inf) (converge)
criteri di integrabilità per funzioni definite su intervalli illimitati
-teorema del confronto
siano f, g app R ([a, K]) Vk>a
se 0 min.u f(t) min.u g(t) Vt app [a, k] ed esiste finito int(a, +inf) g(t)dt
allora esiste finito int(a, +inf) f(t) dt ,
cioè g integrabile implica f integrale su [a, +inf)
-teorema del confronto asintotico
siano f, g app R([a, k]) Vk>a.
se per x->+inf f(x) asintotico g(x)
allora f è integrabile su [a, +inf) se e solo se g è integrabile su [a, +inf)
-criterio di integrabilità assoluta
sia f app R([a, k]) vk>a.
se |f| è integrabile su [a, +inf), allora anche f lo è
funzioni campione all’infinito
- f(x) = 1/x^a con a>0
per a>1 integrabile
per a compreso tra 0 e 1 non integrabile
-f(x) = 1/x^a*log^b x per a>1 integrabile per a=1 e b>1 integrabile per a=1 e b<1 non integrabile per a minore di 1 non integrabile
integrale generalizzato per funzioni illimitate su intervallo limitato
sia f app R([a, b-e]) Ve compreso tra a e b.
se E finito lim(e->o) int (a, b-e) f(x) dx = lambda, dico che f è integrabile su [a, b] in senso generalizzato
criteri di integrabilità per funzioni illimitate su intervallo limitato
sia f app R([a, b-e]) Ve compreso tra a e b e illimitata in (b-delta, b)
-teorema del confronto
sia g tale che 0 min.u g(t) min.u f(t) Vt app [a, k]
se g è integrabile in senso generalizzato su [a, b],
allora anche f lo è
-teorema del confronto asintotico
se per x->b- f(x) asintotica g(x), f è integrabile in senso generalizzato se e solo se lo è g
-criterio di integrabilità assoluta
se |f| è integrabile in senso generalizzato su [a, b], allora anche f lo è
funzioni campione al finito
f(x) = 1/(b-x)^
per a minore di 1 integrabile
per a maggiore uguale a 1 non integrabile
f(x) = 1/x^a*|logx|^b per a minore di 1 integrabile per a = 1 e b maggiore 1 integrabile per a = 1 e b minore 1 non integrabile per a > 1 non integrabile
Domanda generale: integrale definito
-definizione integrale definito secondo cauchy riemann
-proprietà integrale definito
-classi di funzioni integrabili
-teorema della media integrale
-def funzione integrale
-primo e secondo teorema fondamentale
Al finito e all’infinito:
-integrale generalizzato
-funzioni campione
-criteri di integrabilità
