Funzioni reali di una variabile reale Flashcards
funzione definizione
f: A->B
f è una funzione di A in B se Va app A E! b app B : b=f(a)
dominio
insieme di partenza A
codominio
insieme di arrivo B
insieme immagine
f(A) = { b app B : b=f(a) per qualche a app A }
differenza immagine-codominio
codominio: insieme arbitrario che può essere più grande e contenere l’insieme immagine
grafico di f
f= { (a, b) app AxB : a app A et b app f(A) }
insieme controimmagine
V b app f(A) f-1 (b) = { a app A : f(a) = b }
def funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva
- se Va1, a2 app A , a1 != a2 => f(a1) != f(a2) f è iniettiva
- se Vb app B E almeno un a app A : b = f(a) f è suriettiva su B
- se f è iniettiva e suriettiva dico che è biiettiva da A su B o corrispondenza biunivoca tra A e B
funzione inversa
se f: A->B è biiettiva allora Vb app B, f-1(b) = { a: f(a) = b }
quindi definisco funzione inversa di f f-1 : f-1(b) è quell’unico a app A : f(a) = b
funzione composta
date f: A->B e g: C->D tali che f(A) c C
h: A->D h(a) = g(f(a)) funzione composta di g con f
possibili proprietà di una funzione f: R->R
data f: R->R
- se f(x+y) = f(x) + f(y) Vx,y app R, dico che f è additiva
- se f(ax) = a * f(x) Va app R dico che f è omogenea
- se f è sia additiva che omogenea dico che è una funzione lineare
simmetrie
se A è simmetrico rispetto all’origine
- se Vx app A f(-x) = f(x) dico che f è pari
- se Vx app A f(-x) = -f(x) dico che f è dispari
funzione periodica, periodo
se E t app R : Vx app A x+t app A et f(x+t) = f(x) dico che f è periodica.
se esiste min { t>0 : f(x+t) = f(x) }= t0 chiamo t0 periodo
funzione crescente/decrescente
-dico che f: AcR->R è strettamente crescente (decrescente) se Vx1, x2 app A : x1 f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))
def definitivamente
dico che una proprietà P vale definitivamente per la successione {an} quando n->inf se esiste un indice N tale che Vn>N vale P
successione convergente (def limite)
dico che una successione {an} converge a l app R quando n->inf, se preso comunque un intorno di l an cade definitivamente in tale intorno, cioè
Ve>0 Eno=no(e) : Vn>no l-einf) an = l
successione divergente (def limite)
dico che una successione {an} diverge a +inf (-inf) quando n->inf se preso comunque k app R, an cade definitivamente in (k, +inf) ((-inf, k)), cioè se
Vk app R, Eno=no(k) : Vn>no an>k (an+inf) an = +inf (-inf)
successione oscillante
se non esiste limite per n->+inf dico che la successione è irregolare (oscillante)
unicità del limite: enunciato
se esiste lim(n->+inf) an è unico.
limitatezza di una successione convergente: enunciato
se E lim(n->+inf) an = l app R, allora {an} è limitata.
teorema di permanenza del segno: enunciato
sia lim(n->+inf) an = l (app R o +inf). se l>0, allora {an}>0 definitivamente
teorema del confronto per le successioni: enunciato
date tre successioni {an} {bn} {cn} tali che, almeno definitivamente, {an} <= {bn} <= {cn},
1) se esistono i limiti di an e cn e lim(n->+inf) an = l = lim(n->+inf) cn, allora esiste anche lim(n->+inf) bn = l
2) se lim(n->+inf) an = +inf e an <= bn definitivamente, allora lim(n->+inf) bn = +inf
3) se lim(n->+inf) cn= -inf e bn<= cn definitivamente, allora lim(n->+inf) bn = -inf
enunciato limite notevole seno
sia { en } una successione infinitesima. se la misura degli angoli è espressa in radianti, lim(n->+inf) sin(en)/en = 1
teorema di esistenza del limite per successioni monotone: enunciato
sia {an} una successione monotona. allora E lim(n->+inf) an.
precisamente, se an è crescente (decrescente), se è limitata lim(n->+inf) an = l app R, se è illimitata lim(n->+inf) an = +inf (-inf)
def successioni asintotiche
date due successioni {an}, {bn} con {bn} != 0 almeno definitivamente, se lim(n->+inf) an/bn = 1 dico che sono successioni asintotiche per n->+inf
def o piccolo
date due successioni {an} e {bn} con {bn} != 0 almeno definitivamente, se lim(n->+inf) an/bn = 0 dico che an è un o piccolo di bn, e scrivo an = o(bn) per n->+inf
confronto di infinitesimi
siano {an} , {bn} due successioni infinitesime per n->+inf, con {bn} != 0
se lim(n->+inf) an/bn=
-0: dico che an è infinitesima di ordine superiore a bn
-l app R: dico che an e bn sono infinitesime dello stesso ordine
-inf: dico che an è infinitesima di ordine inferiore a bn
-!E: dico che an e bn non sono confrontabili
confronto di infiniti
siano {an} e {bn} due successioni infinite per n->+inf
se lim(n->+inf) an/bn=
-0: an è infinita di ordine inferiore a bn
-l app R-{0}: an e bn sono infiniti dello stesso ordine
-inf: an è infinita di ordine superiore a bn
-!E: an e bn non sono confrontabili
principio di induzione
sia P(n) una proprietà dipendente da n app N. Se
1) E no app N : P(no) è vera e
2) Vn>=no, supposta vera P(n), posso supporre vera P(n+1)
allora P vale per tutti gli n>=no
definizione successionale di limite di funzione
data f: (a, b)->R; a, b app R; x0 app R.
dico che lim (x->xo) f(x) = l app R* se V{xn} app (a,b), xn != x0 definitivamente per n->+inf tale che lim (n->+inf) xn = x0, ho che lim(n->+inf) f(xn) = l
definizione topologica di limite di funzione
sia f: (a, b) -> R; x0 app [a, b].
lim (x->xo) f(x) = l app R* se e solo se preso v=v(l) intorno di l, E u=u(v) intorno di x0 tale che, Vx app u-{xo} inters (a, b), f(x) app v.
quattro casi
- l, xo app R
- xo app R, l=+inf
- xo = +inf, l app R
- xo = +inf, l = + inf
teorema di unicità del limite di funzione
data f: (a, b) -> R, x0 app R*.
se esiste lim(x->xo) f(x) è unico
teorema del confronto per limiti di funzioni
siano f, g, h tre funzioni tali che definitivamente per x->xo si abbia f(x)<u>xo) f(x) = l = lim (x->xo) h(x) allora lim(x->x0) g(x) = l.</u>
limite di funzione composta
siano f, g due funzioni tali che sia ben definita h(x) = g (f(x)). se esiste lim(x->c) f(x) = a e esiste lim(x->a) g(y) = b, e inoltre f(x) != a definitivamente per x->c, allora esiste lim(x->c) h(x) = b.
