Funzioni reali di una variabile reale

Question 1

funzione definizione

Answer 1

f: A->B

f è una funzione di A in B se Va app A E! b app B : b=f(a)

Question 2

dominio

Answer 2

insieme di partenza A

Question 3

codominio

Answer 3

insieme di arrivo B

Question 4

insieme immagine

Answer 4

f(A) = { b app B : b=f(a) per qualche a app A }

Question 5

differenza immagine-codominio

Answer 5

codominio: insieme arbitrario che può essere più grande e contenere l’insieme immagine

Question 6

grafico di f

Answer 6

f= { (a, b) app AxB : a app A et b app f(A) }

Question 7

insieme controimmagine

Answer 7

V b app f(A) f-1 (b) = { a app A : f(a) = b }

Question 8

def funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva

Answer 8

• se Va1, a2 app A , a1 != a2 => f(a1) != f(a2) f è iniettiva
• se Vb app B E almeno un a app A : b = f(a) f è suriettiva su B
• se f è iniettiva e suriettiva dico che è biiettiva da A su B o corrispondenza biunivoca tra A e B

Question 9

funzione inversa

Answer 9

se f: A->B è biiettiva allora Vb app B, f-1(b) = { a: f(a) = b }
quindi definisco funzione inversa di f f-1 : f-1(b) è quell’unico a app A : f(a) = b

Question 10

funzione composta

Answer 10

date f: A->B e g: C->D tali che f(A) c C

h: A->D h(a) = g(f(a)) funzione composta di g con f

Question 11

possibili proprietà di una funzione f: R->R

Answer 11

data f: R->R

• se f(x+y) = f(x) + f(y) Vx,y app R, dico che f è additiva
• se f(ax) = a * f(x) Va app R dico che f è omogenea
• se f è sia additiva che omogenea dico che è una funzione lineare

Question 12

simmetrie

Answer 12

se A è simmetrico rispetto all’origine

• se Vx app A f(-x) = f(x) dico che f è pari
• se Vx app A f(-x) = -f(x) dico che f è dispari

Question 13

funzione periodica, periodo

Answer 13

se E t app R : Vx app A x+t app A et f(x+t) = f(x) dico che f è periodica.
se esiste min { t>0 : f(x+t) = f(x) }= t0 chiamo t0 periodo

Question 14

funzione crescente/decrescente

Answer 14

-dico che f: AcR->R è strettamente crescente (decrescente) se Vx1, x2 app A : x1 f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2))

Question 15

def definitivamente

Answer 15

dico che una proprietà P vale definitivamente per la successione {an} quando n->inf se esiste un indice N tale che Vn>N vale P

Question 16

successione convergente (def limite)

Answer 16

dico che una successione {an} converge a l app R quando n->inf, se preso comunque un intorno di l an cade definitivamente in tale intorno, cioè
Ve>0 Eno=no(e) : Vn>no l-einf) an = l

Question 17

successione divergente (def limite)

Answer 17

dico che una successione {an} diverge a +inf (-inf) quando n->inf se preso comunque k app R, an cade definitivamente in (k, +inf) ((-inf, k)), cioè se
Vk app R, Eno=no(k) : Vn>no an>k (an+inf) an = +inf (-inf)

Question 18

successione oscillante

Answer 18

se non esiste limite per n->+inf dico che la successione è irregolare (oscillante)

Question 19

unicità del limite: enunciato

Answer 19

se esiste lim(n->+inf) an è unico.

Question 20

limitatezza di una successione convergente: enunciato

Answer 20

se E lim(n->+inf) an = l app R, allora {an} è limitata.

Question 21

teorema di permanenza del segno: enunciato

Answer 21

sia lim(n->+inf) an = l (app R o +inf). se l>0, allora {an}>0 definitivamente

Question 22

teorema del confronto per le successioni: enunciato

Answer 22

date tre successioni {an} {bn} {cn} tali che, almeno definitivamente, {an} <= {bn} <= {cn},

1) se esistono i limiti di an e cn e lim(n->+inf) an = l = lim(n->+inf) cn, allora esiste anche lim(n->+inf) bn = l
2) se lim(n->+inf) an = +inf e an <= bn definitivamente, allora lim(n->+inf) bn = +inf
3) se lim(n->+inf) cn= -inf e bn<= cn definitivamente, allora lim(n->+inf) bn = -inf

Question 23

enunciato limite notevole seno

Answer 23

sia { en } una successione infinitesima. se la misura degli angoli è espressa in radianti, lim(n->+inf) sin(en)/en = 1

Question 24

teorema di esistenza del limite per successioni monotone: enunciato

Answer 24

sia {an} una successione monotona. allora E lim(n->+inf) an.
precisamente, se an è crescente (decrescente), se è limitata lim(n->+inf) an = l app R, se è illimitata lim(n->+inf) an = +inf (-inf)

Question 25

def successioni asintotiche

Answer 25

date due successioni {an}, {bn} con {bn} != 0 almeno definitivamente, se lim(n->+inf) an/bn = 1 dico che sono successioni asintotiche per n->+inf

Question 26

def o piccolo

Answer 26

date due successioni {an} e {bn} con {bn} != 0 almeno definitivamente, se lim(n->+inf) an/bn = 0 dico che an è un o piccolo di bn, e scrivo an = o(bn) per n->+inf

Question 27

confronto di infinitesimi

Answer 27

siano {an} , {bn} due successioni infinitesime per n->+inf, con {bn} != 0
se lim(n->+inf) an/bn=
-0: dico che an è infinitesima di ordine superiore a bn
-l app R: dico che an e bn sono infinitesime dello stesso ordine
-inf: dico che an è infinitesima di ordine inferiore a bn
-!E: dico che an e bn non sono confrontabili

Question 28

confronto di infiniti

Answer 28

siano {an} e {bn} due successioni infinite per n->+inf
se lim(n->+inf) an/bn=
-0: an è infinita di ordine inferiore a bn
-l app R-{0}: an e bn sono infiniti dello stesso ordine
-inf: an è infinita di ordine superiore a bn
-!E: an e bn non sono confrontabili

Question 29

principio di induzione

Answer 29

sia P(n) una proprietà dipendente da n app N. Se
1) E no app N : P(no) è vera e
2) Vn>=no, supposta vera P(n), posso supporre vera P(n+1)
allora P vale per tutti gli n>=no

Question 30

definizione successionale di limite di funzione

Answer 30

data f: (a, b)->R; a, b app R; x0 app R.
dico che lim (x->xo) f(x) = l app R* se V{xn} app (a,b), xn != x0 definitivamente per n->+inf tale che lim (n->+inf) xn = x0, ho che lim(n->+inf) f(xn) = l

Question 31

definizione topologica di limite di funzione

Answer 31

sia f: (a, b) -> R; x0 app [a, b].
lim (x->xo) f(x) = l app R* se e solo se preso v=v(l) intorno di l, E u=u(v) intorno di x0 tale che, Vx app u-{xo} inters (a, b), f(x) app v.

quattro casi

• l, xo app R
• xo app R, l=+inf
• xo = +inf, l app R
• xo = +inf, l = + inf

Question 32

teorema di unicità del limite di funzione

Answer 32

data f: (a, b) -> R, x0 app R*.

se esiste lim(x->xo) f(x) è unico

Question 33

teorema del confronto per limiti di funzioni

Answer 33

siano f, g, h tre funzioni tali che definitivamente per x->xo si abbia f(x)<u>xo) f(x) = l = lim (x->xo) h(x) allora lim(x->x0) g(x) = l.</u>

Question 34

limite di funzione composta

Answer 34

siano f, g due funzioni tali che sia ben definita h(x) = g (f(x)). se esiste lim(x->c) f(x) = a e esiste lim(x->a) g(y) = b, e inoltre f(x) != a definitivamente per x->c, allora esiste lim(x->c) h(x) = b.