calcolo differenziale Flashcards
def derivata
sia f: (a, b)->R e xo app (a, b).
se esiste in R lim(h->0) f(xo+h)-f(x)/h dico che f è derivabile (o differenziabile) in xo; indico con f’(xo) quel limite e chiamo il numero f’(xo) derivata di f in xo.
def retta tangente al grafico di f in xo
se f è derivabile in xo, la retta y = f’(xo) (x-xo) + yo, dove yo = f(xo) e f’(xo) è la derivata di f in xo, si chiama retta tangente al grafico di f in (xo, yo)
risultato fondamentale della derivata secondo Maluta
l’incremento della funzione è approssimabile con l’incremento della variabile indipendente per la derivata.
lim(x->xo) f(x)-f(xo) / x-xo = f’(xo) app r ->
f(x) - f(xo) / x-xo = f’(xo) + o(1) ->
f(x) - f(xo) = f’(xo) * (x-xo) + o(x-xo) ->
f(xo+h) - f(h) = f’(xo) * h + o(h)
inoltre, quando x->xo, posso scrivere
df = f’(xo) * dx o df = f’(xo) * h, definito differenziale di f in xo calcolato nell’incremento infinitesimo dx
derivabilità e continuità
se f è derivabile in xo, f è continua in xo
funzione derivata
se f è derivabile Vx app I
ho che f’ : I->R è la funzione derivata di f, che associa ad ogni xo app I la derivata di f in xo
derivata di funzione composta
sia h = g(f(x)), sia f derivabile in xo e g derivabile in yo=f(xo). allora h è derivabile in xo e vale h’(xo) = g’(f(xo)) * f’(xo)
punti di non derivabilità
dato xo tale che f è continua in xo
1) E f’-(xo), E f’+(xo), ma sono diversi, oppure
1 bis) E f’-(xo) e lim(x->xo+) f(x)-f(xo)/x-xo = +-inf o viceversa,
dico che in corrispondenza di xo, il grafico di f presenta un punto angoloso
2) se E lim (x->xo) f(x)-f(xo)/x-xo = +-inf
dico che in xo il grafico di f ha un punto a tangente verticale: la retta x=xo è la retta tangente
3) se lim(x->xo-) f(x)-f(xo)/x-xo = +-inf e lim(x->xo+) f(x)-f(xo)/x-xo = -+inf
dico che il grafico di f ha in xo una cuspide
punto di massimo
data f: I->R, dico che xo app I è un punto di massimo locale (relativo) forte (rispettivamente debole), se
E delta > 0 : Vx app (xo-delta, xo+delta) si ha f(x)
teorema di Fermat
sia f derivabile su [a, b], e sia xo app (a, b) un punto di massimo o minimo locale. allora f’(xo) = 0.
teorema di Lagrange
sia f continua su [a, b] e derivabile su (a, b). allora E xo app (a, b) tale che f’(xo) = f(b) - f(a) / b-a
corollario di monotonia
sia f derivabile su un intervallo I
- se f’(x) = 0 Vx app I allora f(x) = k Vx app I
- se f’(x) >uguale 0 ( > 0) Vx app I allora f è crescente (strettamente crescente) su I
- se f’(x)
def funzione lipschitziana
dico che f è lipschitziana su I con costante di lipschitz k se Vx1, x2 app I |f(x2) - f(x1)| < k |x2-x1|
se f’ è limitata su I, (|f’(x)| = k Vx app I), allora f è lipschitziana con costante k.
def funzione primitiva di f
se data f: AcR -> R E F: AcR -> R : F’(x) = f(x) Vx app A, F viene detta funzione primitiva di f su A
se F è primitiva di f su A, ogni G della forma G(x) = F(x) + k è ancora primitiva di f su A
def integrale indefinito
se F: I->R è tale che F’(x) = f(x) Vx app I
int (f(x) dx) = F(x) + h
derivabilità di funzione inversa
sia f invertibile in (a, b) e derivabile in xo app (a, b). se f’(xo) != 0, f^-1 è derivabile in yo=f(xo) e
D(f^-1)y=yo = 1/f’(xo)
def insieme convesso
un insieme A di R^n si dice convesso se presi comunque due punti P1 e P2 app A, il segmento [P1, P2] app A
def epigrafico
data f: A->R chiamo epigrafico di f l’insieme Ep f = { (x, y) : x app A et y >= f(x)
def funzione concava / convessa
sia f: I->R.
dico che f è convessa se Ep f è un insieme convesso
se -f è convessa, dico che f è concava
teorema proprietà funzioni convesse
sia f derivabile su (a, b). allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
1) f convessa / strettamente convessa
2) Vxo app (a, b) f(x) >= f(xo) + f’(xo) * (x-xo) / f(x) > f(xo) + f’(xo) * (x-xo)
3) f’ è crescente / strettamente crescente
condizione di convessità di funzione derivabile due volte su (a, b)
se f’ è derivabile su (a, b), cioè se f è derivabile due volte su (a, b), f è convessa se e solo se f’‘(x) >= 0 Vx app (a,b)
def punto di flesso
se f ammette retta tangente al suo grafico nel punto (xo, f(xo)) ed E delta>0 tale che f sia convessa in (xo-delta, xo) e concava in (xo, xo+delta) o viceversa, dico che xo è un punto di flesso per f.
i punti di flesso esistono anche per funzioni non derivabili una o due volte
teorema di De L’Hospital
siano f, g : I->R,
xo app I,
lim(x->xo) f(x) = lim(x->xo) g(x) = 0 o +-inf,
f,g siano derivabili in un intorno di xo,
e g, g’ != 0 in tale intorno.
se esiste lim(x->xo) f’(x)/g’(x) = l app R*, allora lim(x->xo) f(x)/g(x) = l.
def contatto di ordine n
data f: (a, b) -> R, xo app (a, b), f derivabile n volte in xo
dico che g derivabile n volte in xo ha un contatto di ordine n con f in xo se g(xo) = f(xo) e g(k)(xo) = f(k)(xo) Vk = 1, 2, … , n
convenzione: f(0)(xo) = f(xo)
def polinomio di Taylor
data f: (a, b)->R, xo app (a, b), f derivabile n volte in xo
esiste ed è unico il polinomio Pn con contatto di ordine n in xo con f, ed è
Pn (x) = ∑(k=0, n) f(k)(xo)/k! * (x-xo)^k = Tn,xo (x) chiamato polinomio di Taylor di f(x) di grado n centrato in xo.
formula di Taylor di ordine n con resto secondo Peano
sia f: I->R, derivabile n volte in xo app I, allora
f(x) = Tn,xo(x) + o(x-xo)^n per x->xo
cioè l’errore commesso approssimando una funzione con il suo polinomio di Taylor di grado n è un infinitesimo di ordine superiore a n per x->xo
formula di Taylor di ordine n con resto secondo Lagrange
sia f: I->R, derivabile n volte in xo app I, e (n+1) volte in (xo, xo+delta) con delta>0. allora E c compreso tra xo e x tale che
f(x) = Tn,xo(x) + f(n+1)(c)/(n+1)! * (x-xo)^n+1
teorema convessità da dimostrare con Taylor
sia f: [a, b]->R e derivabile due volte su (a, b),
e sia f’‘(x) >= 0 (>0) Vx app (a, b).
allora f è convessa (strettamente) su (a, b)
riconoscimento di massimi e minimi con formula di Taylor
sia f: (a, b) -> R
sia f derivabile almeno n volte in xo app (a, b)
e sia f’(xo) = 0
sia n il primo intero tale che f(n)(xo) != 0
-se n è dispari, xo non è né di massimo né di minimo
-se n è pari: -se f(n)(xo) > 0 xo è punto di minimo
-se f(n)(xo) < 0 xo è punto di massimo
domanda generale: derivata
- definizione (limite rapporto incrementale)
- definizione retta tangente e significato geometrico della derivata (coefficiente angolare retta tangente)
- importanza del concetto di derivata: approssimazione dell’incremento della funzione e concetto di differenziale
- teorema: derivabile implica continua
- punti di non derivabilità
- enunciato di teorema di fermat, lagrange, conseguenze del teorema di lagrange
domanda generale: convessità e derivata seconda
- concetto di convessità di un insieme
- definizione di epigrafico
- definizione di funzione convessa e concava
- convessità e derivata prima, convessità e retta tangente
- definizione punto di flesso
domanda generale: formula di Taylor
- problema dell’approssimazione di una funzione in un intorno di un punto
- definizione di contatto
- esistenza ed unicità del polinomio di Taylor con contatto n con f
- definizione polinomio di MacLaurin
- formula di Taylor con resto secondo Peano
- limiti del resto secondo Peano
- formula di Taylor con resto secondo Lagrange
- formula di Taylor e convessità
- ricerca di massimi e minimi con formula di Taylor
