Grundlagen

Question 1

(A) GLn(R), GLn(C), Eigenschaften

Answer 1

1. GL(n,R): lineare Automorphismen von R^n
   reelle Lie-Gruppe der Dimension n^2
   topologische Eigenschaften: nicht zusammenhängend (zwei Zusammenhangskomponenten), nicht kompakt (da offen: Komplement abgeschlossen: det^-1({0}))
2. GL(n,C):
   komplexe Lie-Gruppe mit komplexer Dimension n^2 (reelle Dimension 2n^2)
   topologische Eigenschaften: zusammenhängend, nicht kompakt

Question 2

(D) komplexe Arithmetik

Answer 2

z1 = a + bi, z2 = c + di komplexe Zahlen in algebraischer Form.

1. Addition: Realteil + Realteil, Imaginärteil + Imaginärteil
2. Subtraktion: Realteil - Realteil, Imaginärteil - Imaginärteil
3. Multiplikation: z1 •z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
4. Division: z1 / z2 = (ac + bd/(c^2 + d^2) + (bc - ad)i/(c^2 +d^2)

Question 3

(D) Normalteiler

Answer 3

Untergruppe, die invariant ist unter Konjugation

Question 4

(D) Skalarprodukt (R, C)

Answer 4

1. Skalarprodukt auf reellem Vektorraum:
   positiv definite symmetrische Bilinearform.
   positiv definit: ≥ 0 und =0 <=> x=0
2. Skalarprodukt auf komplexen Vektorraum:
   positiv definite hermitesche Bilinearform.
   hermitesch: = –

Question 5

(D) Isometrie

Answer 5

Eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik (Abstand, Distanz) erhält.

Isometrien des R^n: Drehung, Spiegelung, Verschiebung

Question 6

(D) Körper C, Vektorraum C^2, reelle/komplexe Dimension von C^2 (3)

Answer 6

1. Der Körper (C, +, •) der komplexen Zahlen ist definiert durch
   - Menge: C := R^2 mit i := (0, 1),
   - Addition: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
   - Multiplikation: (a,b) • (c,d) = (ac - bd, bc + ad)
2. C^2 := {(x y) : x, y ∈ C}
3. dimR(C^2) = 4, dimC(C^2) = 2

Question 7

(A) Zusammenhang reelle und komplexe Dimension

Answer 7

M komplexe Mannigfaltigkeit.

dimC(M) = d ==> dimR(M) = 2d

Question 8

(D) Matrixexponential

Answer 8

exp(tA) = ∑k=0^∞ A^k/k! t^k

Question 9

(A) U(H), U(n), SU(n)

Answer 9

U(H) Gruppe aller unitären komplex linearen Abbildungen über einem Hilbertraum H

falls der Hilbertraum endlich-dim mit Dimension n:
U(n): unitäre Gruppe; Untergruppe von GL(n,C)
reelle Lie-Gruppe der Dimension n^2,
topologische Eigenschaften: kompakt, zusammenhängend

SU(n): spezielle unitäre Gruppe

SU(2)

• Gruppe der “komplexen Drehungen” oder Spinorgruppe
• diffeomorph zu S^3
• einfach zusammenhängend

Question 10

(A) SL2(R)

Answer 10

dim=3

isomorph zum Volltorus in R^3

Question 11

(A) O(n), Dimension, Zusammenhangskomponenten

Answer 11

O(n): orthogonale Gruppe; Gruppe der reellen orthogonalen nxn-Matrizen
reelle kompakte Lie-Gruppe, dimO(n) = n(n-1)/2

O(n) zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten:

• SO(n): Drehgruppe; spezielle orthogonale Gruppe; orthogonale Matrizen mit det=1
  reelle kompakte Lie-Gruppe, dimSO(n) = n(n-1)/2
  topologische Eigenschaften: kompakt, zusammenhängend
• O(n)/SO(n): Drehspiegelungen; orthogonale Matrizen mit det=-1
  keine Gruppe, da nicht abgeschlossen unter Matrixmultiplikation: det(A*B) = detA * detB = -1 * -1