2 Grundlagen der Quantenmechanik

Question 1

2.1 Axiome der Quantenmechanik (Axiome)

Observable von H, (reine) Zustände von H, Wahrscheinlichkeit eines Zustands, quantendynamisches System, Hamiltonoperator, Zeitentwicklung eines Zustands

Answer 1

(H,(.,.)) separabler C-Hilbertraum.

1. Observablen von H
   Selbstadjungierte, möglicherweise unbeschränkte Operatoren auf H.
2. (reine) Zustände von H
   Elemente des projektiven Raums P(H), aufgefasst als Äquivalenzklassen [ψ] von ψ ∈ H mit Norm ∥ψ∥2 = 1. Dabei ist ψ1 ∼ ψ2, wenn es ein c∈S1 = {c∈C | |c|=1} gibt mit ψ2 = cψ1.
3. Wahrscheinlichkeit eines Zustands
   (ψ, 1_a,b ψ)
4. quantendynamisches Systems, Hamiltonoperator
   Paar (H,H) aus Hilbertraum H und Operator H auf H, der dann Hamiltonoperator genannt wird.
5. Zeitentwicklung eines Zustands
   Die von H erzeugte einparametrige Famile [ψt] (t ∈ R), mit ψt := Utψ (Ut := exp(−iHt) unitären Operator auf H)

Question 2

2.1 Axiome der Quantenmechanik (Bemerkungen)

H für dim=n, P(H), ψt ist Zustand, t → Ut als Darstellung, Schrödinger-Gleichung (Bedeutung)

Answer 2

1. Fu ̈r Dimension n ist dieser isomorph zum arithmetischen Vektorraum Cn mit Skalarprodukt ⟨φ,ψ⟩ = ∑nk=1 φkψk.
2. P(H)
   Menge aller eindimensionalen Unterräume von H.
3. Schrödingergleichung
   i d/dt ψt = H ψt.
   Die Schrödinger-Gleichung beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Veränderung des quantenmechanischen Zustands eines nichtrelativistischen Systems.

Question 3

2.2 Symmetrien der Quantentheorie

Unitärer und antiunitärer Operator, Übergangswahrscheinlichkeit,

Symmetrien des projektiven Raums (eine Symmetriegruppe von (P(H),p), Bsp dass es mehr gibt, Gruppe der Symmetrien, Symmetrien des Hilbertraums, Wigner-Theorem, Implikation)

Answer 3

1. unitärer Operator
   - UU = UU = 1
   - erhält Skalarprodukt: ⟨Uφ, Uψ⟩ = ⟨φ, ψ⟩
2. antiunitärer Operator
   - antilineare Bijektion U : H → H mit ⟨Uφ,Uψ⟩ = –⟨φ,ψ⟩ = ⟨ψ,φ⟩
3. Antilinearität
   U : H → H antilinear oder konjugiert linear, wenn
   U(c1ψ1 + c2ψ2) = c1–A(ψ1) + c2–A(ψ2) (ck ∈ C, ψk ∈ H).
   (Im Reellen ist antilinear=linear.)
4. Übergangswahrscheinlichkeit
   p : P(H) × P(H) → [0,1] , p([φ],[ψ]) = |(φ,ψ)|^2
5. Symmetrien des projektiven Raums
   - Gruppe der unitären Operatoren ist eine SG von (P(H),p), denn (Uφ,Uψ)=(φ,ψ)
   - Symmetrien von CP(1) => es gibt i.A. mehr als die unitären Operatoren
   - Iso(P(H),p) ist die Symmetriegruppe von (P(H),p)
   - Wigner-Theorem: Für separablen C-Hilbert-Raum H ist Gruppenhomomorphismus FH : G(H) → Iso(P(H), h), U → [U ] surjektiv. => Symmetrien des projektiven Raums können als die unitären und antiunitären Operatoren auf dem Hilbertraum (G(H) Symmetriegruppe des Hilbertraums) repräsentiert werden.

Question 4

2.3 Quantenmechanik in endlicher Dimension

Menge der Observablen eines Hilbertraums (UVR, dim),
Beschränkte Operatoren und Observablen (+ SP),
Lie-Algebra und Lie-Gruppe

Wirkungen der unitären Gruppe (vgl. Bsp. C*-Automorphismen)

Answer 4

H = C^d Hilbertraum.

1. Menge der Observablen des Hilbertraums
   - Asa(d) ≡ Asa(H): Menge der selbstadjungierten Operatoren auf H
   - Asa(d) ist reeller Untervektorraum von L(H) mit dimR(Asa(d)) = d^2.
2. Beschränkte Operatoren und Observablen
   - L(H) = Asa ⊕ I(Asa) mit I : L(H) → L(H), T → iT (Mult. mit i)
   - (A, B) := 1/d tr(AB*) (entspricht bis auf Normierung Frobenius-Skalarprodukt.)
3. Lie-Algebra und Lie-Gruppe
   - L(H) mit Kommutator ist Lie-Algebra
   - (S) φ : Asa → L(H), T → exp(I(T)) hat als Bild die Lie-
   Gruppe U(d) ≡ U(H) := {S ∈ L(H) | S∗ = S−1} der unitären Abbildungen. Asa(0) := {T ∈ Asa | tr(T ) = 0} wird von φ auf Untergruppe SU(d) ≡ SU(H) := {U ∈ U(d) | det(U) = 1} der speziell unitären Operatoren abgebildet.
4. Wirkungen der unitären Gruppe
   - U(H) wirkt auf H durch U(H) × H → H, (U,v) → Uv.
   - U(H) wirkt auf L(H) durch Konjugation: U(H) × L(H) → L(H) , (U,T) → UTU∗.
   - Konjugationswirkung ist C*-Automorphismus von L(H)

Question 5

2.4 Dynamik eines Spin 1/2-Teilchens

Pauli-Matrizen, Eigenschaften (als Operatoren, ONB)
Pauli-Vektor, Darstellung selbstadjungierter Operatoren

(A) Spin-1/2–Teilchen im Magnetfeld

Answer 5

H = C^2.

1. Paulimatrizen
   - σ1 := (0 1, 1 0) , σ2 := (0 −i, i 0) , σ3 := (1 0, 0 -1)
   - selbstadjungiert, unitär, bilden ONB von Asa(2).
2. Pauli-Vektor
   - x = (x1, x2, x3)^T ∈ R^3, σ1,σ2,σ3 Pauli-Matrizen
   - Pauli-Vektor ist x·σ := x1·σ1 + x2·σ2 + x3·σ3
   (Dh, Pauli-Vektor ist Operator aus Asa(2).)
3. Darstellung selbstadjungierter Operatoren
   - H ∈ Asa(2) besitzen für c ∈ R, x ∈ R^3 eindeutige Darstellung H = c 1l_2 + x·σ.
4. (A) Spin-1/2–Teilchen im Magnetfeld
   Wirkung B-Feld auf innere Dynamik eines Elektrons
   - System (H,H), H ∈ Asa(2) erzeugt Ut
   - unitäre Gruppe wirkt durch Konjugation auf L(H) => Drehung des Pauli-Vektors um B-Achse

Question 6

(D) Spektraldarstellung

Answer 6

A ∈ L(H) normaler Operator.
Spektraldarstellung A = ∑λ∈σ(A) λ Pλ

Pλ: Orthogonalprojektionen auf den Eigenraum zum Eigenwert λ