5 Der Formalismus der Quantenmechanik

Question 1

(D) C*-Algebra (“342”, unital, abelsch)

(D) Involution

(Bsp) C*-Algebra

Answer 1

1. C*-Algebra A = (A,+,·,∗,∥ · ∥)
   Banach-Raum (A,+,∥ · ∥) über C mit
   Multiplikation · : A × A → A und
   Involution ∗ : A → A, sodass (für a, b, c ∈ A, α, β ∈ C)
   –
2. Eigenschaften der Multiplikation
   Distributivität, Assoziativität, Skalarmultiplikation: a(b + c) = ab +ac, (b + c)a = ba+ca, a(bc) = (ab)c und (αa)(βb) = αβ(ab)
   –
3. Eigenschaften der Involution
   “Distributivität”, Multiplikation, Skalarmultiplikation, Involution: (a+b)∗ =a∗ + b∗ , (ab)∗ = b∗ a∗, (αa)∗ =α– a∗, a∗∗ = a,
   –
4. Norm und Multiplikation/Involution
   ∥a b∥ ≤ ∥a∥ ∥b∥ und ∥a∗ a∥ = ∥a∥^2 (C*–Eigenschaft).
   –
   • abelsch, wenn zusätzlich a b = b a gilt.
   • unital, wenn Element 1l ∈ A mit 1l a = a 1l = a existiert.
5. Involution (Kap. 2)
   Semilineare Abbildung A : X → X mit A^2 = 1|.
   –
   ( (H, (·, ·)) C–Hilbert-Raum. Semilineare Abbildung (= linear oder antilinear) A : H → H heißt Involution, wenn gilt: A^2 = 1l_H )
6. (Bsp) klassische Observablen
   A_cl := (C(P,C),+,·,∗,∥ · ∥) abelsche unitale C-Algebra
   - C(P,C) stetige komplexwertige Funktionen auf kompaktem Hausdorffraum P
   - + punktweise Addition von Funktionen
   - · punktweise Multiplikation von Funktionen
   - ∗ Konjugation a(x) = –a(x)
   - ∥ · ∥ Supremumsnorm supx∈P |a(x)|
   - WIE SIEHT MAN DIE VOLLSTÄNDIGKEIT?
   –
   Falls P nur lokalkompakt hat man C0(P,C) als abelsche C*-Algebra
7. (Bsp) quantenmechanische Observablen
   A_qm := (L(H),+,·,∗,∥ · ∥)
   - Vektorraum: L(H) ⊆ End(H) ist ein Untervektorraum
   - + Addition von Operatoren
   - · Komposition von Operatoren (warsl Matrixmult)
   - *: adjungierter Operator
   - ∥ · ∥ Operatornorm ||O|| := sup{||Oψ||2 / ||ψ||2 : ψ∈H{0}}

Question 2

(D) Inverses, Spektrum, Spektralradius, Resolventenmenge, Resolvente

Spektrum wenn nicht unital, A~ ist C*-Algebra

Eigenschaften des Spektrums

Beispiel: Spektrum für C(P,C)

Answer 2

1. Spektrum
   A unitale C*–Algebra
   - b ∈ A Inverses von a ∈ A, wenn ba = ab = 1l.
   - Spektrum von a: Menge σ(a) := {λ∈C | ∄(a−λ1l)−1 ∈A}.
   - Spektralradius von a: spr(a) := sup{|λ| | λ ∈ σ(a)}.
   - Resolventenmenge von a: ρ(a) := C\σ(a)
   - Resolvente von a bei λ: (a−λ1l)−1 (λ aus Resolventenmenge)
2. Adjungierung der Eins
   A nicht unitale C-Algebra
   - A~ := A ⊕ C mit 1l := (0, 1)
   - A~ ist wieder C-Algebra (Aufgabe)
3. Eigenschaften des Spektrums
   - 1. Nichtleere kompakte Teilmenge von C (A unital)
   - 2. Spektralradius ≤ Norm des Operators (A unital)
4. Beispiel C(P,C)
   Für die abelsche C*–Algebra C(P,C) mit P kompakt ist σ(a) = a(P) ⊆ C.

Question 3

(D) *-Morphismus (Iso, Auto, Darstellung)

(Bsp) *-Automorphismen von Observablenalgebren

Answer 3

1. -Morphismus
   Eine lineare Abbildung α : A → B zwischen C–Algebren heißt –Morphismus, wenn
   α(ab) = α(a) α(b) , α(a) = α(a)* (a, b ∈ A).
   - Ein *–Morphismus α : A → B heißt *–Isomorphismus, wenn α bijektiv ist,
   - *–Automorphismus, wenn zusätzlich B = A.
   - *–Morphismus α : A → L(H) heißt Darstellung von A (H Hilbertraum; α(1l) = 1l_H falls A unital).
2. ## (Bsp) *–Automorphismen von Observablenalgebren
3. klassisch
   P kompakter Phasenraum, A_cl := C(P,C), Φ : P → P Homöpmorphismus. Dann ist
   α : A_cl → A_cl , α(a) := a◦Φ
   ein *–Automorphismus von A_cl.
   –
4. quantenmechanisch
   H Hilbertraum, u ∈ A_qm := L(H) unitär. Dann ist
   α : A_qm → A_qm, a → u*au (a ∈ A_qm)
   ein *–Automorphismus von A_qm.

Question 4

(D) Topologien auf L(H) (4)

Vergleich der vier Topologien

OT und erstes Abzählbarkeitsaxiom

Answer 4

X, Y |K-Banachräume.

1. starke Operatortopologie (SOT)
   Gröbste Topologie auf L(X,Y) bzgl. derer die folgenden linearen Abbildungen stetig sind:
   Sx : L(X,Y) → Y, Sx(A) = Ax (x∈X).
   –
   Multiplikation auf L(H) nicht SOT-stetig.
   Involution auf L(H) nicht SOT-stetig.
2. schwache Operatortopologie (WOT)
   Gröbste Topologie auf L(X,Y) bzgl. derer die folgenden linearen Funktionale stetig sind:
   Wx,y’ : L(X,Y) → |K, Wx,y’(A) = y’(Ax) (x∈X, y’∈Y’).
   –
   Multiplikation auf L(H) nicht WOT-stetig.
   Involution auf L(H) WOT-stetig.
3. Normtopolgie
   Die von der Operatornorm induzierte Topologie.
4. schwache Topologie
   Haben wir nicht definiert.
5. Vergleich der vier Topologien
   - O1 gröber als O2, wenn O1 ⊆ O2 (weniger offene Mengen)
   - Falls V, W endlich-dim. Banachräume: alle vier gleich.
   - SOT echt gröber als Normtopologie
   - WOT echt gröber als SOT
   –
   => Normtopologie ist die feinste/stärkste
6. OT und erstes Abzählbarkeitsaxiom
   SOT und WOT erfüllen im Allgemeinen nicht das erster Abzählbarkeitsaxiom. Das heißt aus Folgenstetigkeit folgt nicht Stetigkeit (Verwendung von Netzen); Umkehrung gilt jedoch.

Question 5

(D) Gelfand-Transformation, Gelfand-Raum

(A) Gelfand-Raum als Alexandrov-Kompaktifizierung

Answer 5

A abelsche C*-Algebra.

1. Gelfand-Transformation, Gelfand-Raum
   Gelfand-Transformation ist lineare Abbildung
   GA : A -> C(ΓA, C), GA(a) = â mit â(α) = α(a) (α∈ΓA).
   –
   Gelfand-Raum: ΓA := { α : A → C | α ≠ 0 Darstellung}.
2. Gelfand-Raum als Alexandrov-Kompaktifizierung
   A nicht unital, abelsch
   Gelfand-Raum ΓA~ entspricht der Alexandrov-Kompaktifizierung von ΓA.

Question 6

(S) Gelfand-Neumark

S) Gelfand-Neumark (abelsch

Answer 6

1. Gelfand-Neumark
   Für jede C*-Algebra A gibt es einen Hilbertraum H und einen normerhaltenden (=isometrischen) -Isomorphismus A→A~ auf eine C-Unteralgebra A~ ⊆ L(H).
2. Gelfand-Neumark (abelsch)
   Für eine abelsche C*-Algebra A ist
3. der Gelfand-Raum ΓA ein lokalkompakter, für unitale A ein kompakter Hausdorffraum.
4. die Gelfand-Transformation GA : A → C(ΓA,C) ein ∗-Isomorphismus auf C0(ΓA, C).
5. Für unitale A und a ∈ A ist im(GA(a)) = σ(a).
   Im nicht unitalen Fall ist im(GA(a)) ∪ {0} = σ(a).

Question 7

(D) Eigenschaften von Operatoren (normal, unitär, selbstadjungiert, positiv, Projektion, Orthogonalprojektion)

(Bsp) nicht-normaler Operator

Answer 7

1. Eigenschaften
A C*–Algebra, a ∈ A
- normal: a*a = aa*
- unitär: a*a = aa* = 1 (A unital)
- selbstadjungiert: a = a*
- positiv ("a≥0"): es ex. b ∈ A mit a = bb*
- Projektion: a^2 = a
- Orthogonalprojektion: a^2 = a und a = a*

2. Beispiel
   Die nilpotente Matrix (0 1, 0 0) \in Mat(2,C) ist nicht normal.
   A* = (0 0, 1 0)

Question 8

(S) stetiger Funktionalkalkül

(L) Anwendung des stetigen Funktionalkalküls

Answer 8

1. stetiger Funktionalkalkül
   Für jeden normalen Operator a einer unitalen C*–Algebra B gibt es einen eindeutigen *–Isomorphismus
   I : C(σ(a), C) → A := C[a, a∗]– ⊆ B mit
   I(Idσ(a)) = a , I(Idσ(a))– = a∗ und I(1lσ(a)) = 1l.
2. Anwendung
   Ein Element a ∈ A einer unitalen C*-Algebra ist genau dann positiv, wenn a selbstadjungiert ist mit σ(a) ⊆ [0,∥a∥].