Granične vrednosti i neprekidnost funkcija

Question 1

Tačka nagomilavanja skupa

Answer 1

Neka je neprazan skup A⊆R. Kažemo da je a∈R U{+∞,-∞} tačka nagomilavanja skupa A, ako se u svakoj okolini tačke a nalazi bar jedna tačka iz skupa A različita od a.

Question 2

Granična vrednost funkcije

Answer 2

Za realan broj A kažemo da je granična vrednost funkcije f u tački a ili kada x teži ka a(x→a) ako za svaku okolinu V tačke A postoji okolina U tačke a takva da za svako x∈D∩U, x≠a, važi da je f(x)∈V, odnosno ako za svaku okolinu V tačke A postoji okolina U tačke a takva da važi f(D∩U{a})⊆V.

Question 3

Izolovana tačka skupa A

Answer 3

Tačka skupa A koja nije tačka nagomilavanja datog skupa

Question 4

Leva granična vrednost

Answer 4

Neka je data funkcija f:D→R, neprazan skup D⊆R. Neka se u svakoj okolini a∈R nalazi neki element x∈D za koji važi lim_x→a−f(x) =A

Question 5

Hajneova teorema

Answer 5

Neka je data funkcija f:D→R, neprazan skup D⊆R, i neka je a∈R U {+∞,-∞} tačka nagomilavanja skupa D. Tada je lim_x→af(x) =A (A∈R) ako i samo ako je lim_n→+∞f(x_n) =A za svaki niz{x_n}_n∈N takav da je lim_n→+∞x_n=a i x_n∈D{a} za svako n∈N.

Question 6

Ako realna funkcija ima granicnu vrednost u tacki a∈R U {+∞,-∞} onda je ona ________

Answer 6

jedinstvena

Question 7

Ograničena funkcija

Answer 7

Za funkciju f:D→R, neprazan skup D⊆R, kažemo da je ograničena na skupu S⊆D, ako postoje realni brojevi a i b takvi da za svako x∈S važi da je a

Question 8

Neprekidna funkcija

Answer 8

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈D)|x−a|

Question 9

Neprekidna sleva

Answer 9

Neka se u svakoj okolini tačke a∈D, gde je D domen funkcije f, nalazi neki element x∈D za koji važi xx→a−f(x) =f(a).

Question 10

Tačka prekida

Answer 10

Neka je data funkcija f:D→R, neprazan skup D⊆R, i neka je a∈D tačka nagomilavanja skupa D. Za a kažemo da je tačka prekida funkcije f ako funkcija f nije neprekidna u a.

Question 11

Prekid prve vrste

Answer 11

Funkcija f ima u tački a prekid prve vrste sleva (zdesna) ako postoji konačna leva (desna) granična vrednost lim_x→a−f(x) (lim_x→a+f(x)) funkcije f kada x teži ka a i ako nije jednaka f(a).

Question 12

Otklonjiv prekid

Answer 12

Funkcija f ima u tački a otklonjiv prekid ako postoje konačne leva i desna granična vrednost funkcije f kada x teži ka a, ako su međusobno jednake i ako nisu jednake f(a), odnosno ako postoji konačna granična vrednost funkcije f u tački a različita od f(a), tj. f(a)≠ lim_x→af(x) =(lim_x→a−f(x) = lim_x→a+f(x))∈R.

Question 13

Prekid druge vrste

Answer 13

Funkcija f ima u tački a prekid druge vrste sleva (zdesna) ako ne postoji konačna leva (desna) granična vrednost funkcije f kada x teži ka a, tj. ako ne postoji leva (desna) granična vrednost kada x teži ka a ili ako postoji i jednaka je ±∞.

Question 14

Bolcano-košijeva teorema

Answer 14

Neka je funkcija f: [a,b]→R neprekidna na segmentu [a,b], a

Question 15

Ako je funkcija f: [a,b] → R neprekidna na segmentu [a,b], onda je ona i _________ na [a,b]

Answer 15

ograničena

Question 16

Vajerštrasova teorema

Answer 16

Ako je funkcija f: [a,b]→ R neprekidna na segmentu [a,b], onda postoje tačke tog segmenta m i M u kojima ona dostiže svoju najmanju i najveću vrednost.