algebarske strukture Flashcards
Izomorfizam dva polja?
Sva konačna polja sa sa istim brojem elemenata su medjusobno izomorfna
Algebarska struktura (F,◦,∗) je prsten ukoliko važi:
- (F,◦) je Abelova grupa
- (F,*) je semigrupa
- Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju ◦.
Algebarska struktura (R,+,*) je polje ukoliko važi:
- (R,+) je Abelova grupa
- (R/{0},*) je Abelova grupa
- Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju +
Dekartov proizvod
Dekartov proizvod A×B nepraznih skupova A i B definiše se kao skup uređenih parova čija prva komponenta pripada skupu A, a druga komponenta pripada skupu B:
šta je skup?
Skup je osnovni matematički pojam i on se ne definiše.
Šta je surjekcija
Funkcija f: A → B naziva se surjekcijom (na), ako i samo ako je B=f(A), tj. ako i samo ako(∀y∈B)(∃x∈A)(x,y)∈f.
Šta je injekcija?
Funkcija f: A → B naziva se injekcijom(1-1), ako i samo ako
(∀x1,x2∈A)(∀y∈B)(x1,y)∈f∧(x2,y)∈f⇒x1=x2.
Šta je bijekcija?
Funkcija f: A → B naziva se bijekcijom ako i samo ako je surjekcija i injekcija.
Šta je binarna operacija?
Binarna operacija na nepraznom skupu G je preslikavnje
GxG → G
Šta je grupoid?
Uređeni par (G,*) gde je G neprazan skup a * binarna operacija na skupu G naziva se grupoid.
Šta su permutabilni elementi?
Ako u grupoidu (G,◦) za elemente a,b∈G važi a◦b=b◦a, onda za elemente a i b kažemo da su permutabilni.
Kada je binarna operacija komutativna?
Ako su u grupoidu (G,◦) svaka dva elementa permutabilna, kažemo da je binarna operacija ◦ komutativna.
Asocijativnost
Ako u grupoidu (G,◦) za svaka tri elementa a,b,c∈ G važi (a◦b)◦c=a◦(b◦c), kažemo da je binarna operacija ◦ asocijativna.
Levi neutralni element
Element e grupoida (G,◦) za koji važi(∀a∈G) e◦a=a nazivamo levim neutralnim elementom.
Ako u grupoidu(G,◦) postoji ……. onda je……..
Neutralni element, jedinstven
Desni inverzni element
Element a∈G ima desni inverzni element a′′∈G ako važi jednakost a◦a′′=e.
Semigrupa
Grupoid (G,◦) čija je binarna operacija asocijativna.
Monoid
Semigrupa (G,◦) sa neutralnim elementom.
U monoidu (G,◦) element a ∈ G ima……
Najviše jedan inverzni element
Grupa
Grupoid(G,◦) sa sledećim osobinama:
- (∀a,b,c∈G)a◦(b◦c) = (a◦b)◦c, binarna operacija ◦ je asocijativna;
- (∃e∈G)(∀a∈G)a◦e=e◦a=a, postoji neutralni element za binarnu operaciju ◦ ;
- (∀a∈G)(∃a-1∈G)a◦a−1=a−1◦a=e, svaki element skupa G ima inverzni element u odnosu na binarnu operaciju ◦ ;
Abelova grupa
Grupa (G,◦) koja ima komutativnu binarnu operaciju ◦.
Podgrupa
Ukoliko nam je data grupa (G,◦). Ako neprazan podskup H skupa G u odnosu na binarnu operaciju ◦ obrazuje grupu, onda je (H,◦) podgrupa grupe (G,◦).
Kvazigrupa
Grupoid (G,◦) u kome jednačine a◦x=b i y◦a=b, a, b ∈G, imaju jedinstveno rešenje.
Lupa
Kvazigrupa sa neutralnim elementom
Grupoid (G,◦) je grupa ako i samo ako je _______ i_________
Semigrupa, kvazigrupa
Homorfizam grupa
Preslikavanje f :G → H naziva se homomorfizam grupa (G,◦) i (H,∗) ako važi:
(∀a,b∈G) f(a◦b) =f(a)∗f(b).
Izomorfizam grupa
Preslikavanje f :G → H naziva se izomorfizam grupa (G,◦) i (H,∗) ako važi:
(∀a,b∈G) f(a◦b) =f(a)∗f(b) i ako je funkcija f bijekcija.
Potprsten
Neka je data prsten (R,+,·). Ako neprazan podskup P skupa R obrazuje prsten u odnosu na operacije + i ·, kažemo da je( P,+,·) potprsten prstena (R,+,·).
Homomorfizam dva prstena
Neka su (R,+,·) i (P,⊕,*) prsteni sa jediničnim elementima 1R i 1P. Preslikavanje h:R→P za koje važi:
- (∀a,b∈R) h(a+b) =h(a)⊕h(b);
- (∀a,b∈R) h(a·b) =h(a)*h(b);
- h(1R) =1P;
Algebarska struktura (F,◦,∗) je telo ukoliko važi:
- (F,◦) je Abelova grupa
- (F/{0},*) je grupa
- Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju ◦.
