algebarske strukture

Question 1

Izomorfizam dva polja?

Answer 1

Sva konačna polja sa sa istim brojem elemenata su medjusobno izomorfna

Question 2

Algebarska struktura (F,◦,∗) je prsten ukoliko važi:

Answer 2

1. (F,◦) je Abelova grupa
2. (F,*) je semigrupa
3. Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju ◦.

Question 3

Algebarska struktura (R,+,*) je polje ukoliko važi:

Answer 3

1. (R,+) je Abelova grupa
2. (R/{0},*) je Abelova grupa
3. Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju +

Question 4

Dekartov proizvod

Answer 4

Dekartov proizvod A×B nepraznih skupova A i B definiše se kao skup uređenih parova čija prva komponenta pripada skupu A, a druga komponenta pripada skupu B:

Question 5

šta je skup?

Answer 5

Skup je osnovni matematički pojam i on se ne definiše.

Question 6

Šta je surjekcija

Answer 6

Funkcija f: A → B naziva se surjekcijom (na), ako i samo ako je B=f(A), tj. ako i samo ako(∀y∈B)(∃x∈A)(x,y)∈f.

Question 7

Šta je injekcija?

Answer 7

Funkcija f: A → B naziva se injekcijom(1-1), ako i samo ako

(∀x1,x2∈A)(∀y∈B)(x1,y)∈f∧(x2,y)∈f⇒x1=x2.

Question 8

Šta je bijekcija?

Answer 8

Funkcija f: A → B naziva se bijekcijom ako i samo ako je surjekcija i injekcija.

Question 9

Šta je binarna operacija?

Answer 9

Binarna operacija na nepraznom skupu G je preslikavnje

GxG → G

Question 10

Šta je grupoid?

Answer 10

Uređeni par (G,*) gde je G neprazan skup a * binarna operacija na skupu G naziva se grupoid.

Question 11

Šta su permutabilni elementi?

Answer 11

Ako u grupoidu (G,◦) za elemente a,b∈G važi a◦b=b◦a, onda za elemente a i b kažemo da su permutabilni.

Question 12

Kada je binarna operacija komutativna?

Answer 12

Ako su u grupoidu (G,◦) svaka dva elementa permutabilna, kažemo da je binarna operacija ◦ komutativna.

Question 13

Asocijativnost

Answer 13

Ako u grupoidu (G,◦) za svaka tri elementa a,b,c∈ G važi (a◦b)◦c=a◦(b◦c), kažemo da je binarna operacija ◦ asocijativna.

Question 14

Levi neutralni element

Answer 14

Element e grupoida (G,◦) za koji važi(∀a∈G) e◦a=a nazivamo levim neutralnim elementom.

Question 15

Ako u grupoidu(G,◦) postoji ……. onda je……..

Answer 15

Neutralni element, jedinstven

Question 16

Desni inverzni element

Answer 16

Element a∈G ima desni inverzni element a′′∈G ako važi jednakost a◦a′′=e.

Question 17

Semigrupa

Answer 17

Grupoid (G,◦) čija je binarna operacija asocijativna.

Question 18

Monoid

Answer 18

Semigrupa (G,◦) sa neutralnim elementom.

Question 19

U monoidu (G,◦) element a ∈ G ima……

Answer 19

Najviše jedan inverzni element

Question 20

Grupa

Answer 20

Grupoid(G,◦) sa sledećim osobinama:

1. (∀a,b,c∈G)a◦(b◦c) = (a◦b)◦c, binarna operacija ◦ je asocijativna;
2. (∃e∈G)(∀a∈G)a◦e=e◦a=a, postoji neutralni element za binarnu operaciju ◦ ;
3. (∀a∈G)(∃a-1∈G)a◦a−1=a−1◦a=e, svaki element skupa G ima inverzni element u odnosu na binarnu operaciju ◦ ;

Question 21

Abelova grupa

Answer 21

Grupa (G,◦) koja ima komutativnu binarnu operaciju ◦.

Question 22

Podgrupa

Answer 22

Ukoliko nam je data grupa (G,◦). Ako neprazan podskup H skupa G u odnosu na binarnu operaciju ◦ obrazuje grupu, onda je (H,◦) podgrupa grupe (G,◦).

Question 23

Kvazigrupa

Answer 23

Grupoid (G,◦) u kome jednačine a◦x=b i y◦a=b, a, b ∈G, imaju jedinstveno rešenje.

Question 24

Lupa

Answer 24

Kvazigrupa sa neutralnim elementom

Question 25

Grupoid (G,◦) je grupa ako i samo ako je _______ i_________

Answer 25

Semigrupa, kvazigrupa

Question 26

Homorfizam grupa

Answer 26

Preslikavanje f :G → H naziva se homomorfizam grupa (G,◦) i (H,∗) ako važi: (∀a,b∈G) f(a◦b) =f(a)∗f(b).

Question 27

Izomorfizam grupa

Answer 27

Preslikavanje f :G → H naziva se izomorfizam grupa (G,◦) i (H,∗) ako važi: (∀a,b∈G) f(a◦b) =f(a)∗f(b) i ako je funkcija f bijekcija.

Question 28

Potprsten

Answer 28

Neka je data prsten (R,+,·). Ako neprazan podskup P skupa R obrazuje prsten u odnosu na operacije + i ·, kažemo da je( P,+,·) potprsten prstena (R,+,·).

Question 29

Homomorfizam dva prstena

Answer 29

Neka su (R,+,·) i (P,⊕,*) prsteni sa jediničnim elementima 1R i 1P. Preslikavanje h:R→P za koje važi: 1. (∀a,b∈R) h(a+b) =h(a)⊕h(b); 2. (∀a,b∈R) h(a·b) =h(a)*h(b); 3. h(1R) =1P;

Question 30

Algebarska struktura (F,◦,∗) je telo ukoliko važi:

Answer 30

1. (F,◦) je Abelova grupa 2. (F/{0},*) je grupa 3. Binarna operacija * je distributivna u odnosu na binarnu operaciju ◦.