Geometria Plana Flashcards
Qual a relação entre os ângulos da figura? Qual valor de x?
São ângulos complementares. Assim, a soma dos dois é igual a 90o,
logo x + 65o = 90o e x = 25o.
Qual a relação entre os ângulos da figura? Qual o valor de x?
São ângulos suplementares. Assim, a soma dos dois é igual a 180o.
Logo 135o + x = 180o e x = 45o
Os ângulos abaixo são opostos pelo vértice? Determine o valor de x
Sim, pois são formados pelo são formados pelo encontro de duas retas e assim, são congruentes.
4x + 20o = 2x + 60o
2x = 40o
X = 20o
Na figura, os ângulos a e e são opostos pelo vértice?
Não, pois eles só tem uma reta em comum. Para que seja Oposto pelo vértice é necessário o encontro de duas retas, como é o caso do ângulo b e o ângulo e.
Qual a relação entre os ângulos da figura? Se um deles mede 120o qual a medida do outro?
São ângulos replementares. Somados, formam uma volta completa, que consiste em um ângulo de 360o.
Se um mede 120o, o outro medirá 240o, pois 120o + 240o = 360o.
O que é a bissetriz de um ângulo?
É uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos iguais. Na figura abaixo, a semirreta OC é bissetriz do ângulo AÔB.
Considerando a seta azul como ponto inicial, qual deveria ser a rotação necessária para chegar ao ponto NE?
Na figura, a rosa dos ventos divide um círculo em 8 ângulos iguais a 45o. Do ponto O para o NO são 45o.
Considerando o sentido anti-horário há 3 ângulos de 45o entre O e NE, logo 3 x 45o = rotação de 135o
Considerando o sentido horário há 5 ângulos de 45o entre O e NE, logo 5 x 45o = rotação de 225o.
Qual o valor dos ângulos formados pela bissetriz de 45o ?
45o dividido em duas partes iguais pela bissetriz, formaria dois ângulos de 22o e 30 minutos. (Um grau possui 60 minutos)
Considerando as medidas dos lados do triangulo da figura. Qual o valor inteiro máximo e o valor inteiro mínimo para o terceiro lado?
Condição de existência de um triângulo: Um dos lados deve ser menor que a soma dos outros dois lados; e deve ser maior que a diferença entre os outros dois lados.
Assim, 8 – 5 < 3º Lado < 8 + 5
3 < 3º Lado < 13
Valor inteiro mínimo: 4
Valor inteiro máximo: 12
Classifique os triângulos quanto aos lados:
I é triângulo equilátero, possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos iguais a 60o.
II é triângulo isósceles, possui 2 lados iguais e os ângulos da base congruentes.
III é triângulo escaleno, possui 3 lados e 3 ângulos diferentes.
Classifique os triângulos quanto aos ângulos:
I é triângulo retângulo, pois há um ângulo de 90o (ângulo reto)
II é triângulo acutângulo, pois os 3 ângulos são menores que 90o (ângulos agudos).
III é triângulo obtusângulo, pois há 1 ângulo maior que 90o (ângulo obtuso)
Qual o valor de x, no triângulo abaixo?
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o. Assim 80o + 70o + x = 180o
Logo, x = 30o.
Considerando o teorema do ângulo externo em um triângulo, quais relações podem ser verificadas entre os ângulos a, b, c e d, na figura ?
b + d = 180o
a + c = d
O valor de um dos ângulos externos é a soma dos dois ângulos adjacentes ao seu ângulo interno, em um triângulo
Considerando duas retas paralelas cortadas por uma transversal, como na figura, qual a relação entre os ângulos:
Imaginando-se um recorte exatamente no meio da reta transversal, podemos sobrepor as retas e observar as relações entre os ângulos.
1) b e f estariam exatamente sobrepostos, logo, são ângulo correspondentes, logo são congruentes (b = f)
2) e e c são ângulos alternos internos, logo e = c.
3) a e f são ângulos colaterais internos, logo a + f = 180o
4) b e h são ângulos alternos externos, logo b = h
5) a e h são ângulos colaterais externos, logo a + h = 180o
Quais são as cevianas de um triângulo?
Altura, Mediana, Bissetriz e Mediatriz!
A altura de um triângulo pode ser externa ao triângulo?
Sendo a altura o segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo perpendicular a reta suporte da base do triangulo, vejamos:
Na figura, h é altura do triangulo relativa a base BC.
O que é a mediana de um triângulo ?
Segmento de reta que possui origem em um dos vértices do triangulo e atinge o ponto médio do lado oposto. Vejamos:
AM é mediana do triangulo ABC relativa a BC.
Logo, BM = MC
O que é a mediatriz de um triângulo?
É a reta perpendicular a um dos lados do triangulo, cortando esse lado exatamente no ponto médio.
Atenção: Na maioria das vezes a mediatriz não passa pelo vértice do triângulo. Veja:
Os pontos notáveis de um triângulo são ___________________ (intersecção das alturas), Baricentro (intersecção das ______________) , ________________ (intersecção das bissetrizes) e Circuncentro (intersecção das ________________).
Os pontos notáveis de um triângulo são o ortocentro (intersecção das alturas), o baricentro (intersecção das medianas), o incentro (intersecção das bissetrizes) e o circuncentro (intersecção das mediatrizes).
Sendo G, o baricentro do triângulo ABC, determine x, y e z.
R: De acordo com a propriedade fundamental do baricentro, a distância do vértice ao baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o lado oposto.
Assim, temos:
14 = 2x
7 = x
Y = 2 . 6
Y = 12
10 = 2z
5 = z
Quais as propriedades fundamentais do incentro e do circuncentro?
O incentro, além de ser o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, é o centro do círculo inscrito no triângulo.
Já o circuncentro, além de ser o ponto de encontro das mediatrizes do triângulo, é também o centro do círculo circunscrito ao triângulo.
Qual a relação entre os pontos notáveis do triangulo no triângulo equilátero?
No triângulo equilátero, os 4 pontos notáveis coincidem.
Qual a fórmula da altura (h) e da área (A) em um triângulo equilátero?
Sendo L = lado do triângulo equilátero
Que expressão fornece a relação entre l e R?
Como o triangulo é equilátero, O centro da circunferência é também baricentro do triângulo.
Que fórmula possibilita encontrar a área de um triângulo, apenas conhecendo seus 3 lados?
A fórmula de Heron:
Qual a área dos seguintes triângulos ?
Como calcular a área de um triângulo, conhecendo-se dois lados e o ângulo entre eles?
Quais as fórmulas da área do triângulo envolvendo o raio do círculo inscrito e o raio do círculo circunscrito?
No trapézio abaixo, quais os valores de x e de y?
Por definição, o trapézio possui um único par de lados parelelos e a soma dos dois ângulos de um dos lados não paralelos é 180o. Assim:
x + x + 20o = 180o
2x = 160o
x = 80o
y + y – 20o = 180o
2y = 200o
y = 100o
Classifique os trapézios abaixo:
I)Trapézio retângulo: Possui 2 ângulos retos adjacentes
II) Trapézio isósceles: Possui 2 lados não paralelos iguais e, por conseguinte, seus dois ângulos da base são iguais. Possui também eixo de simetria.
III) Trapézio Escaleno: Não se enquadra nem em trapézios isósceles nem em trapézios retângulos.
Na figura, M e N são pontos médios de seus respectivos lados. Qual o valor de x?
Qual a fórmula da área do trapézio?
Em que o paralelogramo difere do trapézio?
Enquanto o trapézio possui um único par de lados paralelos, o paralelogramo possui dois pares de lados paralelos e congruentes.
Além disso, os ângulos opostos do paralelogramo são sempre congruentes.
Quais os principais tipos de paralelogramo?
O retângulo (4 ângulos de 90o), o losango (4 lados iguais) e o quadrado (4 lados e 4 ângulos iguais).
No retângulo as diagonais são _______________, enquanto no losango as diagonais são __________________.
No retângulo as diagonais são congruentes, enquanto no losango as diagonais são perpendiculares.
Quais as fórmulas das áreas de um retângulo e de um losango?
Em um pológono convexo qual a soma dos seus ângulos internos e qual a soma dos seus ângulos externos?
A soma dos ângulos internos é dada por:
Si = (n-2).180, em que n é o número de lados.
Já a soma dos ângulos externos sempre será 360o.
Em um polígono convexo regular, o que podemos afirmar sobre seus ângulos internos e externos?
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados e todos os ângulos congruentes. Assim, temos:
Em um polígono, como identificar o seu ângulo interno e seu ângulo externo? E qual relação entre eles?
Qual a fórmula do número de diagonais de um polígono? Como descobrir quantas dessas diagonais passam pelo centro?
O que é o apótema de um polígono regular?
Como calcular a área de um hexágono regular?
Usando o Teorema de Tales, qual o valor de x?
Segundo o teorema de tales, um feixe de retas paralelas, cortados por duas transversais, determinam segmentos proporcionais. Assim:
Como determinar se dois triângulos são semelhantes?
Quando possuírem 2 ângulos congruentes ou quando os seus lados formarem uma proporção.
Na figura, quais são as relações métricas presentes no triângulo retângulo?
: A principal relação é o Teorema de Pitágoras, em que: a2 = b2 + c2
Ainda temos as seguintes relações:
1) O produto dos catetos é igual a hipotenusa vezes a altura: b.c = a.h
2) O produto das projeções dos catetos na hipotenusa é igual ao quadrado da altura: n.m = h2
3) O quadrado de um dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto: c2 = a.m e b2 = a.n
Considerando dois triângulos semelhantes, qual a razão entre seus perímetros e qual a razão entre as suas áreas?
A razão entre seus perímetros é igual a razão de semelhança entre seus lados.
A razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança entre seus lados.
Dadas dois sólidos geométricos semelhantes, qual a razão entre seus volumes?
A razão entre seus volumes é o cubo da razão entre suas dimensões relativas.
Como transformar de graus para radianos?
Sabemos que 180o correspondem a π rad. Então para qualquer medida em graus, usamos uma regra de três e encontramos seu valor em radianos. Assim:
Como calcular o comprimento de uma circunferência e o de um arco de circunferência?
O comprimento de uma circunferência é dado por c = 2πR, sendo R o valor do raio.
Já para a determinação do arco:
Qual o valor do ângulo α nos casos abaixo, em função dos arcos AB e CD?
Na imagem qual o valor do ângulo central em função de θ?
Na figura, os dois ângulos denotados por θ e o ângulo central da circunferência são denominados arcos capazes, pois as semirretas que formam esses ângulos determinam o mesmo arco AB.
Assim, θ é metade do arco AB, enquanto o Ângulo Central tem mesma medida do arco AB. Logo, Ângulo Central = 2θ
Nas situações abaixo, qual o valor de x?
Considerando as potências de pontos, temos que: Os produtos das distancias do ponto para a circunferência são sempre iguais. Logo:
a) 3.4 = 2.x, então x=6
b) 4.(4+5) = 3.(3+x), então x+3 = 12 e x =9
Como calcular a área do círculo e a área do setor circular?
A área do círculo é dada por A = πR². Já para encontrarmos a área do setor circular:
Como calcular a área da coroa circular?
Sendo duas circunferências de raios r1 e r2, quais as distancias entre seus centros quando elas são tangentes?
Qual a relação entre os segmentos AP e BP, tangentes a uma mesma circunferência?
AP e BP são congruentes!
Que fórmula descreve a lei dos cossenos?
Que fórmula descreve a lei dos senos?
Qual fórmula representa o Teorema da Bissetriz Interna?
Qual fórmula descreve o Teorema da Bissetriz Externa?
Sendo AD a bissetriz do ângulo externo CÂD do triangulo, temos:
