Geometria Plana

Question 1

Qual a relação entre os ângulos da figura? Qual valor de x?

Answer 1

São ângulos complementares. Assim, a soma dos dois é igual a 90^o,

logo x + 65^o = 90^o e x = 25^o.

Question 2

Qual a relação entre os ângulos da figura? Qual o valor de x?

Answer 2

São ângulos suplementares. Assim, a soma dos dois é igual a 180^o.

Logo 135^o + x = 180^o e x = 45^o

Question 3

Os ângulos abaixo são opostos pelo vértice? Determine o valor de x

Answer 3

Sim, pois são formados pelo são formados pelo encontro de duas retas e assim, são congruentes.

4x + 20^o = 2x + 60^o

2x = 40^o

X = 20^o

Question 4

Na figura, os ângulos a e e são opostos pelo vértice?

Answer 4

Não, pois eles só tem uma reta em comum. Para que seja Oposto pelo vértice é necessário o encontro de duas retas, como é o caso do ângulo b e o ângulo e.

Question 5

Qual a relação entre os ângulos da figura? Se um deles mede 120^o qual a medida do outro?

Answer 5

São ângulos replementares. Somados, formam uma volta completa, que consiste em um ângulo de 360^o.

Se um mede 120^o, o outro medirá 240^o, pois 120^o + 240^o = 360^o.

Question 6

O que é a bissetriz de um ângulo?

Answer 6

É uma semirreta interna ao ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos iguais. Na figura abaixo, a semirreta OC é bissetriz do ângulo AÔB.

Question 7

Considerando a seta azul como ponto inicial, qual deveria ser a rotação necessária para chegar ao ponto NE?

Answer 7

Na figura, a rosa dos ventos divide um círculo em 8 ângulos iguais a 45^o. Do ponto O para o NO são 45^o.

Considerando o sentido anti-horário há 3 ângulos de 45^o entre O e NE, logo 3 x 45^o = rotação de 135^o

Considerando o sentido horário há 5 ângulos de 45^o entre O e NE, logo 5 x 45^o = rotação de 225^o.

Question 8

Qual o valor dos ângulos formados pela bissetriz de 45^o ?

Answer 8

45^o dividido em duas partes iguais pela bissetriz, formaria dois ângulos de 22^o e 30 minutos. (Um grau possui 60 minutos)

Question 9

Considerando as medidas dos lados do triangulo da figura. Qual o valor inteiro máximo e o valor inteiro mínimo para o terceiro lado?

Answer 9

Condição de existência de um triângulo: Um dos lados deve ser menor que a soma dos outros dois lados; e deve ser maior que a diferença entre os outros dois lados.

Assim, 8 – 5 < 3º Lado < 8 + 5

3 < 3º Lado < 13

Valor inteiro mínimo: 4

Valor inteiro máximo: 12

Question 10

Classifique os triângulos quanto aos lados:

Answer 10

I é triângulo equilátero, possui os 3 lados iguais e os 3 ângulos iguais a 60^o.

II é triângulo isósceles, possui 2 lados iguais e os ângulos da base congruentes.

III é triângulo escaleno, possui 3 lados e 3 ângulos diferentes.

Question 11

Classifique os triângulos quanto aos ângulos:

Answer 11

I é triângulo retângulo, pois há um ângulo de 90^o (ângulo reto)

II é triângulo acutângulo, pois os 3 ângulos são menores que 90^o (ângulos agudos).

III é triângulo obtusângulo, pois há 1 ângulo maior que 90^o (ângulo obtuso)

Question 12

Qual o valor de x, no triângulo abaixo?

Answer 12

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^o. Assim 80^o + 70^o + x = 180^o

Logo, x = 30^o.

Question 13

Considerando o teorema do ângulo externo em um triângulo, quais relações podem ser verificadas entre os ângulos a, b, c e d, na figura ?

Answer 13

b + d = 180^o

a + c = d

O valor de um dos ângulos externos é a soma dos dois ângulos adjacentes ao seu ângulo interno, em um triângulo

Question 14

Considerando duas retas paralelas cortadas por uma transversal, como na figura, qual a relação entre os ângulos:

Answer 14

Imaginando-se um recorte exatamente no meio da reta transversal, podemos sobrepor as retas e observar as relações entre os ângulos.

1) b e f estariam exatamente sobrepostos, logo, são ângulo correspondentes, logo são congruentes (b = f)
2) e e c são ângulos alternos internos, logo e = c.
3) a e f são ângulos colaterais internos, logo a + f = 180^o
4) b e h são ângulos alternos externos, logo b = h
5) a e h são ângulos colaterais externos, logo a + h = 180^o

Question 15

Quais são as cevianas de um triângulo?

Answer 15

Altura, Mediana, Bissetriz e Mediatriz!

Question 16

A altura de um triângulo pode ser externa ao triângulo?

Answer 16

Sendo a altura o segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo perpendicular a reta suporte da base do triangulo, vejamos:

Na figura, h é altura do triangulo relativa a base BC.

Question 17

O que é a mediana de um triângulo ?

Answer 17

Segmento de reta que possui origem em um dos vértices do triangulo e atinge o ponto médio do lado oposto. Vejamos:

AM é mediana do triangulo ABC relativa a BC.

Logo, BM = MC

Question 18

O que é a mediatriz de um triângulo?

Answer 18

É a reta perpendicular a um dos lados do triangulo, cortando esse lado exatamente no ponto médio.

Atenção: Na maioria das vezes a mediatriz não passa pelo vértice do triângulo. Veja:

Question 19

Os pontos notáveis de um triângulo são ___________________ (intersecção das alturas), Baricentro (intersecção das ______________) , ________________ (intersecção das bissetrizes) e Circuncentro (intersecção das ________________).

Answer 19

Os pontos notáveis de um triângulo são o ortocentro (intersecção das alturas), o baricentro (intersecção das medianas), o incentro (intersecção das bissetrizes) e o circuncentro (intersecção das mediatrizes).

Question 20

Sendo G, o baricentro do triângulo ABC, determine x, y e z.

Answer 20

R: De acordo com a propriedade fundamental do baricentro, a distância do vértice ao baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o lado oposto.

Assim, temos:

14 = 2x

7 = x

Y = 2 . 6

Y = 12

10 = 2z

5 = z

Question 21

Quais as propriedades fundamentais do incentro e do circuncentro?

Answer 21

O incentro, além de ser o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, é o centro do círculo inscrito no triângulo.

Já o circuncentro, além de ser o ponto de encontro das mediatrizes do triângulo, é também o centro do círculo circunscrito ao triângulo.

Question 22

Qual a relação entre os pontos notáveis do triangulo no triângulo equilátero?

Answer 22

No triângulo equilátero, os 4 pontos notáveis coincidem.

Question 23

Qual a fórmula da altura (h) e da área (A) em um triângulo equilátero?

Answer 23

Sendo L = lado do triângulo equilátero

Question 24

Que expressão fornece a relação entre l e R?

Answer 24

Como o triangulo é equilátero, O centro da circunferência é também baricentro do triângulo.

Question 25

Que **fórmula** possibilita encontrar a **área** de um triângulo, apenas conhecendo **seus 3 lados**?

Answer 25

A fórmula de **Heron:**

Question 26

Qual a **área** dos seguintes triângulos ?

Answer 26

Question 27

Como calcular a área de um triângulo, conhecendo-se **dois lados** e o **ângulo entre eles**?

Answer 27

Question 28

Quais as fórmulas da área do triângulo envolvendo **o raio do círculo inscrito** e o **raio do círculo circunscrito**?

Answer 28

Question 29

No **trapézio** abaixo, quais os valores de x e de y?

Answer 29

Por definição, o trapézio possui **um único par** de lados **parelelos** e a **soma dos dois ângulos** de um dos lados não paralelos **é 180^o**. Assim: x + x + 20^o = 180^o 2x = 160^o **x = 80^o** y + y – 20^o = 180^o 2y = 200^o **y = 100^o**

Question 30

Classifique os **trapézios** abaixo:

Answer 30

I)**Trapézio retângulo:** Possui 2 ângulos retos adjacentes II) **Trapézio isósceles:** Possui 2 lados não paralelos iguais e, por conseguinte, seus dois ângulos da base são iguais. Possui também eixo de simetria. III) **Trapézio Escaleno:** Não se enquadra nem em trapézios isósceles nem em trapézios retângulos.

Question 31

Na figura, M e N são **pontos médios** de seus respectivos lados. Qual o valor **de x?**

Answer 31

Question 32

Qual a fórmula da **área** do trapézio?

Answer 32

Question 33

Em que o **paralelogramo** difere do **trapézio**?

Answer 33

Enquanto o trapézio possui um **único** par de lados paralelos, o paralelogramo possui **dois** pares de lados paralelos e **congruentes.** Além disso, os **ângulos opostos** do paralelogramo são sempre **congruentes.**

Question 34

Quais os **principais** tipos de paralelogramo?

Answer 34

O **retângulo** (4 ângulos de 90o), o **losango** (4 lados iguais) e o **quadrado** (4 lados e 4 ângulos iguais).

Question 35

**No retângulo** as diagonais são \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, enquanto **no losango** as diagonais são \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.

Answer 35

No retângulo as diagonais são **congruentes,** enquanto no losango as diagonais são **perpendiculares.**

Question 36

Quais as fórmulas das áreas de um **retângulo** e de **um losango**?

Answer 36

Question 37

Em um **pológono convexo** qual a soma dos seus ângulos **internos** e qual a soma dos seus **ângulos externos?**

Answer 37

A soma dos ângulos internos é dada por: **S_i = (n-2).180**, em que n é o número de lados. Já a soma dos ângulos externos sempre será 360^o.

Question 38

Em um polígono convexo **regular**, o que podemos afirmar sobre seus **ângulos** internos e externos?

Answer 38

Um polígono **regular** é aquele que possui todos os **lados** e todos os **ângulos** congruentes. Assim, temos:

Question 39

Em um polígono, como identificar o seu ângulo interno e seu ângulo externo? E qual relação entre eles?

Answer 39

Question 40

Qual a **fórmula** do número de **diagonais** de um polígono? Como descobrir quantas dessas diagonais **passam pelo centro**?

Answer 40

Question 41

O que é o **apótema** de um polígono regular?

Answer 41

Question 42

Como calcular a **área** de um **hexágono regular**?

Answer 42

Question 43

Usando o **Teorema de Tales**, qual o valor de x?

Answer 43

Segundo o teorema de tales, um feixe de **retas paralelas**, cortados por duas transversais, determinam **segmentos proporcionais**. Assim:

Question 44

Como determinar se dois **triângulos** são semelhantes?

Answer 44

Quando possuírem **2** ângulos congruentes ou quando os seus lados formarem uma **proporção.**

Question 45

Na figura, quais são as **relações métricas** presentes no triângulo retângulo?

Answer 45

: A principal relação é o **Teorema de Pitágoras**, em que: **a² = b² + c²** Ainda temos as seguintes relações: 1) O produto dos **catetos** é igual a **hipotenusa** vezes a **altura**: **b.c = a.h** 2) O produto das **projeções** dos catetos na hipotenusa é igual ao quadrado da altura: **n.m = h²** 3) O quadrado de um dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto: **c² = a.m** e **b² = a.n**

Question 46

Considerando dois triângulos semelhantes, qual a razão entre seus **perímetros** e qual a razão entre as suas **áreas**?

Answer 46

A razão entre seus perímetros é **igual a razão de semelhança** entre seus lados. A razão entre suas áreas é igual **ao quadrado** da razão de semelhança entre seus lados.

Question 47

Dadas dois sólidos geométricos **semelhantes**, qual a razão entre seus **volumes**?

Answer 47

A razão entre seus volumes é o **cubo** da razão entre suas dimensões relativas.

Question 48

Como transformar de **graus** para **radianos**?

Answer 48

Sabemos que **180^o** correspondem a **π** **rad.** Então para qualquer medida em graus, usamos **uma regra de três** e encontramos seu valor em radianos. Assim:

Question 49

Como calcular o **comprimento** de uma **circunferência** e o de um **arco** de circunferência?

Answer 49

O comprimento de uma circunferência é dado por **c = 2****π****R**, sendo R o valor do raio. Já para a determinação do arco:

Question 50

Qual o valor do **ângulo** **α** nos casos abaixo, em função dos **arcos** AB e CD?

Answer 50

Question 51

Na imagem qual o valor do ângulo central em função de θ?

Answer 51

Na figura, os dois ângulos denotados por θ e o ângulo central da circunferência são denominados **arcos capazes**, pois as semirretas que formam esses ângulos determinam o mesmo **arco AB.** Assim, θ é metade do arco AB, enquanto o Ângulo Central tem mesma medida do arco AB. Logo, **Ângulo Central = 2θ**

Question 52

Nas situações abaixo, qual o **valor** de x?

Answer 52

Considerando as **potências de pontos**, temos que: Os produtos **das distancias** do **ponto para a circunferência** são sempre iguais. Logo: a) 3.4 = 2.x, então **x=6** b) 4.(4+5) = 3.(3+x), então x+3 = 12 e **x =9**

Question 53

Como calcular a **área** do **círculo** e a área do **setor circular**?

Answer 53

A área do círculo é dada por **A = πR²**. Já para encontrarmos a área do setor circular:

Question 54

Como calcular a área da **coroa circular?**

Answer 54

Question 55

Sendo duas circunferências de raios r₁ e r₂, quais as **distancias entre seus centros** quando elas são **tangentes**?

Answer 55

Question 56

Qual a relação entre os segmentos AP e BP, **tangentes** a uma **mesma circunferência**?

Answer 56

**AP e BP são congruentes!**

Question 57

Que fórmula descreve a **lei dos cossenos**?

Answer 57

Question 58

Que fórmula descreve a **lei dos senos**?

Answer 58

Question 59

Qual fórmula representa **o Teorema da Bissetriz Interna**?

Answer 59

Question 60

Qual fórmula descreve o **Teorema da Bissetriz Externa**?

Answer 60

Sendo AD a bissetriz do ângulo externo CÂD do triangulo, temos: