Análise Combinatória Flashcards
De quantas maneiras podemos, em um restaurante, escolher 5 opções de pratos principais e 8 opções de sobremesa?
Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 x 8 = 40 maneiras
De quantas maneiras podemos entrar em uma sala com oito portas e sair por uma porta diferente da que entrou?
Pelo princípio multiplicativo do PFC: 8 x 7 = 35 maneiras.
Quantas senhas de 4 algarismos podemos escolher usando os números 2,3,5,7,9.
Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 3.125 senhas.
Quantas senhas de 4 algarismos distintos podemos escolher usando os números 2,3,5,7,9 ?
Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 senhas
Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 testes?
Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de Eixos 0x e 0y. Ele pode dar um passo de cada vez, para o Norte (N) ou para o Leste (L). Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos?
Cada passo tem 2 possibilidades: ou norte ou leste. Como são 4 passos
= 2. 2. 2. 2 = 16 possibilidades.
Que fórmula descreve a permutação de ´´n´´ termos?
Pn = n!
De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila indiana?
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 formas.
Que formula descreve a permutação de ´´n´´ termos, onde repetem ´´α´´, ´´β´´ e ´´γ´´ termos?
Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Na palavra BANANA, temos 6 letras, onde percebe-se a repetição de 3 letras ´´A´´, 2 letras ´´N´´ e 1 letra ´´B´´. Assim:
Dez pessoas, por entre elas Antonio e Beatriz devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antonio e Beatriz devem ficar sempre juntos?
De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em uma fila se os homens devem ficar todos juntos e as mulheres também?
Os 4 homens podem ficar juntos de 4! formas
As 5 mulheres podem ficar juntas de 5! formas
Podemos também trocar a ordem entre homens e mulheres: HHHHMMMMM ou MMMMMHHHH = 2!
Logo, temos: 4! . 5!. 2! Formas
Qual fórmula descreve uma Permutação Circular?
De quantas maneiras diferentes, oito crianças podem ser dispostas ao redor de um círculo em uma brincadeira de roda?
Permutação circular: P8-1 = P7 = 7! Maneiras.
Existem 6 bandeiras, sendo 3 vermelhas e 3 brancas dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emitidos com ela?
No caso temos uma Permutação com Repetição:
Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte ou para leste. Quantas trajetórias existem da origem ao ponto P (7,5)?
Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1,2,4,6 e 8, que lugar ocupa o número 68.412?
Que fórmula descreve o número de arranjos de ´´n´´ termos, onde ´´p´´ serão selecionados ?
Nos arranjos, a ordem dos termos importa ou não importa?
Importa!
Que fórmula descreve o número de combinações de ´´n´´ termos, onde ´´p´´ serão selecionados?
Nas combinações, a ordem dos termos importa ou não importa?
Não importa!
Quantas senhas podem ser formadas num banco que utiliza 6 dígitos distintos?
Usando 6 pessoas, quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas?
Nesse caso a ordem não importa, logo usaremos combinação:
De quantas maneiras podemos acomodar uma família de 7 pessoas nos assentos que não estão marcados na imagem?
Quantos triângulos podem ser construídos a partir dos vértices de um hexágono convexo?
Nesse caso, dentre 6 vértices do hexágono, podemos escolher 3 para formar triângulos, independentemente da ordem. Assim fazemos uma combinação:
Um químico possui 10 tipos de substancias. De quantos modos possíveis, poderá associar 6 dessas substancias se, entre as dez, duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva?
Nesse caso, usaremos o método da exclusão:
I) Total de possibilidades: C10,6
II) Total de possibilidades que não podem ocorrer: Das 6 substâncias a serem escolhidas, fixamos as 2 que não podem ser juntadas. Sobrando 4 para serem escolhidas dentre 8.
= C8,4
Entre 10 tenistas de uma equipe, sendo 6 destros e 4 canhotos, de quantas formas um técnico deve escolher uma dupla de modo que ambos não sejam canhotos?
Temos 10 homens e 10 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres?
Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:
Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o primeiro pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:
De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
Permutação de 6 elementos = P6 = 6! = 720 maneiras
De quantas formas podemos criar uma senha de 4 dígitos, sendo 2 algarismos e 2 letras maiúsculas ou minúsculas?
Na contagem, devemos incluir a permutação com repetição dos elementos, pois podemos ter diferentes senhas:
Nº Letra Letra Nº, Nº Nº Letra Letra, … Assim, temos:
10 algarismos
26 letras x 2 = 52 letras maiúsculas ou minúsculas.
De quantas formas podemos distribuir 5 alunos, sendo 2 no grupo A, 2 no grupo B e 1 no grupo C?
Nesse caso, a alternância dos grupos gera resultados diferentes. Assim temos uma partição ordenada. Podemos apenas multiplicar as combinações:
Para o grupo A: Temos 5 alunos e selecionaremos 2: C5,2
Para o grupo B: Sobraram 3 alunos e selecionaremos 2: C3,2
Para o grupo C: Sobrou 1 aluno e esse será escolhido: C1,1 = 1
Assim: C5,2 . C3,2 . 1
= 30 formas.
De quantas formas podemos dividir 9 cartas, entregando 3 para cada pessoa?
Nesse caso, as pessoas não estão ordenadas. Assim devemos dividir o produto das combinações pelo número de permutações entre as pessoas, tratando-se de uma partição não ordenada.
1ª Pessoa: 9 cartas tomadas 3 a 3: C9,3
2ª Pessoa: 6 cartas tomadas 3 a 3: C6,3
3ª Pessoa: 3 cartas tomadas 3 a 3: C3,3
Permutação entre as 3 pessoas = 3!
Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 7?
Usaremos o método do ponto e barra:
Um bar vende 3 tipos de refrigerantes: GUARANÁ, SODA e TÔNICA. De quantas formas uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerante?
