Análise Combinatória

Question 1

De quantas maneiras podemos, em um restaurante, escolher 5 opções de pratos principais e 8 opções de sobremesa?

Answer 1

Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 x 8 = 40 maneiras

Question 2

De quantas maneiras podemos entrar em uma sala com oito portas e sair por uma porta diferente da que entrou?

Answer 2

Pelo princípio multiplicativo do PFC: 8 x 7 = 35 maneiras.

Question 3

Quantas senhas de 4 algarismos podemos escolher usando os números 2,3,5,7,9.

Answer 3

Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 3.125 senhas.

Question 4

Quantas senhas de 4 algarismos distintos podemos escolher usando os números 2,3,5,7,9 ?

Answer 4

Pelo princípio multiplicativo do PFC: 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 120 senhas

Question 5

Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder aos 20 testes?

Answer 5

Question 6

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de Eixos 0x e 0y. Ele pode dar um passo de cada vez, para o Norte (N) ou para o Leste (L). Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos?

Answer 6

Cada passo tem 2 possibilidades: ou norte ou leste. Como são 4 passos

= 2. 2. 2. 2 = 16 possibilidades.

Question 7

Que fórmula descreve a permutação de ´´n´´ termos?

Answer 7

Pn = n!

Question 8

De quantas formas 5 pessoas podem ficar em fila indiana?

Answer 8

P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 formas.

Question 9

Que formula descreve a permutação de ´´n´´ termos, onde repetem ´´α´´, ´´β´´ e ´´γ´´ termos?

Answer 9

Question 10

Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

Answer 10

Na palavra BANANA, temos 6 letras, onde percebe-se a repetição de 3 letras ´´A´´, 2 letras ´´N´´ e 1 letra ´´B´´. Assim:

Question 11

Dez pessoas, por entre elas Antonio e Beatriz devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Antonio e Beatriz devem ficar sempre juntos?

Answer 11

Question 12

De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em uma fila se os homens devem ficar todos juntos e as mulheres também?

Answer 12

Os 4 homens podem ficar juntos de 4! formas

As 5 mulheres podem ficar juntas de 5! formas

Podemos também trocar a ordem entre homens e mulheres: HHHHMMMMM ou MMMMMHHHH = 2!

Logo, temos: 4! . 5!. 2! Formas

Question 13

Qual fórmula descreve uma Permutação Circular?

Answer 13

Question 14

De quantas maneiras diferentes, oito crianças podem ser dispostas ao redor de um círculo em uma brincadeira de roda?

Answer 14

Permutação circular: P_8-1 = P₇ = 7! Maneiras.

Question 15

Existem 6 bandeiras, sendo 3 vermelhas e 3 brancas dispondo-as ordenadamente num mastro, quantos sinais diferentes podem ser emitidos com ela?

Answer 15

No caso temos uma Permutação com Repetição:

Question 16

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte ou para leste. Quantas trajetórias existem da origem ao ponto P (7,5)?

Answer 16

Question 17

Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 1,2,4,6 e 8, que lugar ocupa o número 68.412?

Answer 17

Question 18

Que fórmula descreve o número de arranjos de ´´n´´ termos, onde ´´p´´ serão selecionados ?

Answer 18

Question 19

Nos arranjos, a ordem dos termos importa ou não importa?

Answer 19

Importa!

Question 20

Que fórmula descreve o número de combinações de ´´n´´ termos, onde ´´p´´ serão selecionados?

Answer 20

Question 21

Nas combinações, a ordem dos termos importa ou não importa?

Answer 21

Não importa!

Question 22

Quantas senhas podem ser formadas num banco que utiliza 6 dígitos distintos?

Answer 22

Question 23

Usando 6 pessoas, quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas?

Answer 23

Nesse caso a ordem não importa, logo usaremos combinação:

Question 24

De quantas maneiras podemos acomodar uma família de 7 pessoas nos assentos que não estão marcados na imagem?

Answer 24

Question 25

Quantos **triângulos** podem ser construídos a partir dos vértices de um **hexágono** convexo?

Answer 25

Nesse caso, dentre 6 vértices do hexágono, podemos escolher 3 para formar triângulos, **independentemente da ordem**. Assim fazemos uma **combinação**:

Question 26

Um químico possui **10 tipos de substancias**. De quantos modos possíveis, **poderá associar 6** dessas substancias se, entre as dez, **duas somente não podem ser juntadas** porque produzem mistura explosiva?

Answer 26

Nesse caso, usaremos o **método da exclusão:** I) Total de possibilidades: **C_10,6 ** II) Total de possibilidades que não podem ocorrer: Das 6 substâncias a serem escolhidas, fixamos as 2 que não podem ser juntadas. **Sobrando 4 para serem escolhidas dentre 8.** **= C_8,4**

Question 27

Entre 10 tenistas de uma equipe, sendo 6 destros e 4 canhotos, de quantas formas um técnico deve escolher **uma dupla** de modo que **ambos não sejam canhotos**?

Answer 27

Question 28

Temos 10 **homens** e 10 **mulheres**. De quantas formas podemos formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres?

Answer 28

Em uma competição de xadrez existem **8 jogadores.** De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (**primeiro, segundo e terceiro lugares**)? Como **a ordem faz diferença**, usaremos **arranjo**. Assim:

Question 29

Em uma competição de xadrez existem **8 jogadores.** De quantas formas diferentes poderá ser formado o primeiro pódio (**primeiro, segundo e terceiro lugares**)?

Answer 29

Como **a ordem faz diferença**, usaremos **arranjo**. Assim:

Question 30

De quantas maneiras diferentes **6 amigos** podem sentar em um banco para tirar uma foto?

Answer 30

**Permutação** de **6 elementos = P₆ = 6! = 720** maneiras

Question 31

De quantas formas podemos criar uma **senha de 4 dígitos**, sendo **2 algarismos** e **2** **letras** **maiúsculas** ou **minúsculas**?

Answer 31

Na contagem, devemos incluir **a permutação com repetição dos elementos**, pois podemos ter diferentes senhas: Nº Letra Letra Nº, Nº Nº Letra Letra, ... Assim, temos: 10 algarismos 26 letras x 2 = 52 letras maiúsculas ou minúsculas.

Question 32

De quantas formas podemos distribuir 5 alunos, sendo **2 no grupo A**, **2 no grupo B** e **1 no grupo C**?

Answer 32

Nesse caso, a alternância dos grupos gera resultados diferentes. Assim temos uma **partição ordenada**. Podemos apenas multiplicar as combinações: Para o grupo A: Temos 5 alunos e selecionaremos 2: **C_5,2** Para o grupo B: Sobraram 3 alunos e selecionaremos 2: **C_3,2** Para o grupo C: Sobrou 1 aluno e esse será escolhido: **C_1,1** = 1 Assim: C_5,2 . C_3,2 . 1 = **30 formas.**

Question 33

De quantas formas podemos dividir 9 cartas, entregando **3 para cada pessoa**?

Answer 33

Nesse caso, as pessoas não estão ordenadas. Assim devemos dividir o produto das combinações pelo número de permutações entre as pessoas, tratando-se de uma partição **não ordenada**. 1ª Pessoa: 9 cartas tomadas 3 a 3: C_9,3 2ª Pessoa: 6 cartas tomadas 3 a 3: C_6,3 3ª Pessoa: 3 cartas tomadas 3 a 3: C_3,3 Permutação entre as 3 pessoas = 3!

Question 34

Qual o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 7?

Answer 34

Usaremos o método do **ponto** e **barra**:

Question 35

Um bar vende **3 tipos** de refrigerantes: GUARANÁ, SODA e TÔNICA. De quantas formas uma pessoa pode comprar **5 garrafas de refrigerante**?

Answer 35