Funktionentheorie, Streutheorie & optische Diffraktionstomografie Flashcards
Womit beschäftigt sich die Funktionentheorie ?
Erweitert Analysis auf komplexe Zahlen (komplexe Differenzierbarkeit)
Was sind holomorphe Funktionen?
Was muss erfüllt sein?
Beispiele
komplexe Funktionen, die komplex differenzierbar sind. Cauchy-Riemann-Gleichungen müssen erfüllt sein.
alle Polynome auf Def. Bereich (Ausnahme Polstellen)
e-Fkt
log(x)
sin,cos
sinhcosh
–> Produkte, Summen, Quotienten davon auch
Wann sind Funktionen nicht holomorph und wie werden teilholomorphe Fkt. genannt?
wenn Beträge, Real/Imaginärteile benötigt werden, um eine Fkt. zu schreiben
Meromorphe Fkt.: holomorphe Funktion, die auf einem Teil der komplexen Ebene meromorph ist, also isolierte Punkte besitzt.
Was kann man mit holomorphen Fkten machen, um eine Superauflösung zu erreichen?
Man kann sie automatisch ausdehen und gucken wie sie holomorph zum Rest des Funktionsbereiches aussieht
Aber empfindlich auf kleinste Abweichungen.
Zentraler Satz: Cauchysche Integralsatz und was kann man dabei rausfinden?
wenn geschlossene Kurve C komplett im holomorphen Gebiet liegt dann ist das Integral Null.
Ob sie in dem Bereich holomorph ist.
was ist die Laurent Reihe?
Verallgemeinerung der Taylorreihe (für komplex) mit negativen Potenzen mit Integralformel (Kurve), um Koeffizienten der Laurent Reihe zu bestimmen --> nicht Null --> nicht holomorph
Was sind Residuen?
Wegintegrale über Kreislinien
zu einer Laurent-Reihe, entwickelt um Punkt c, nennt man a(n-1) das Residuum
Folge des Cauchyschen Integralsatzes: Das Residuum ist 0, wenn f in dem von C
eingegrenzten Bereich holomorph ist. Das gilt nicht, wenn die Funktion auf dem Gebiet
lediglich meromorph ist.
Meromorphe Fkt mit Polstelle an Stelle c ist das Residuum –> Grenzwert berechnen
Was besagt der Residuensatz?
wenn eine Funktion im Bereich Kurve C überall holomorph ist, außer ein paar Stellen zks (einzelne nicht holomorphe Polstellen –>f eig. Meromorph) (wenn es zk’s gibt) bestimmt die Summe der Residuen das Integral, sonst Null
Polstellen (isolierte Punkte?) finden Residuen anschauen Integral bestimmen
Wozu wird Jordans Lemma (Geisterkonturen) genutzt und was ist das?
kann in Zusammenarbeit mit dem Residuensatz genutzt werden um
relativ komplizierte Fouriertransformationen einfach zu berechnen.
Eine Grenzwertberechnung: Wenn Radius gegen Null, dann soll das Integral auch Null sein
–> Wir brauchen eine Kurve, um Residuensatz anzuwenden Funktion mit komplexem Anteil e^^ikz und holomorpher Funktion, die gegen null konvergiert für z gegen unendlich (im oberen Halbkreis) dann verschwindet das Integral der Kurve Cr, wenn Radius gegen Null geht „Phase WashOut“
Wie kann man relativ komplizierte FT einfach berechnen?
Mit Jordans Lemma und dem Residuensatz
Integral entlang der Realen Achse bleibt über (Integral, dass wir berechnen, wenn wir FT anschauen Integral über kompletten geschlossenen Kurve über Residuen bestimmen
Was machen Streuer (inhomogene Medien) mit der Wellengleichung?
Was kann man dafür anwenden?
sie machen inhomoge Wellengleichungen
- -> der Beugungsindex hängt jetzt vom Ort ab
- -> Anwendung der Greenschen Funktion (wie PSF)
Greensche Funktion? Wann benutzt man diese?
nicht Prüfungsrelevant?
Bei inhomogenen Wellengleichungen –> G (PSF) wird mit h (PSF) gefaltet
inhomogene DGL lösen –> Kenntnis der G genügt
G ist quasi ein DeltaPeak im Ortsraum?
Was ist die Greensche Funktio/ wann entsteht sie?
Greensche Fkt G+ entspricht einer ausgehenden Kugelwelle eine punktförmige Inhomogenität verursacht also eine Kugelwelle mit Huygschen Elementarwellen vergleichbar
- Feld in einem Punkt anregen Kugelwelle entsteht (wir haben die Greensche Fkt.)
Durch welche Gleichung wird die Ausgangswelle nach der Streuung einer homogenen welle im Gewebe bestimmt?
Lippmann-Schwinger-Gleichung
Zerlegung der in ungestörte und gestörte Welle(mit G+, Kugelwelle)
U(x)=U0+Us(x) = unendliche Summe
Beschreibung der Streuung, angefangen mit einfallender Welle
einfallende Welle gestreut am Streupotential Eta –> am Streupunkt entsteht Kugelwelle (G+) –> Integrale sind Streuungen von einfach, zweifach, mehrfach gestreutem Licht. (mehrere Etas)
Bornsche Näherung: Annahme, dass Licht nur einfach gestreut wird
