Fourier Optik & Digitale Holografie Flashcards
Fresnel Beugung/ Näherung
Beugungsbild durch Fresnelbeugung beschreiben, dass kz (Wurzel(k^2-kx^2-ky^2) angenähert durch Parabel, wenn man weiter weg geht –> i-wann sieht Beugung aus wie die FT=Frauenhofer Beugung (sehr großer Abstand)
Frauenhofer Beugung
Näherung der Fresnel Beugung bei sehr großem Abstand,
FT der Blende
wenn das Feld, das wir darstellen rel. klein ist, aber der Abstand groß
passiert dann, wenn die auftretenden Winkel relativ klein werden
Frauenhofer Beugungsbild wenn man eine Linse nimmt, da Linse auch FT eines Wellenfeldes herstellt von vorderer Fokusebene in hintere
Fernfeld oder Linse
Allgemeine Propagation: Operator
e^ikz*delta(z)=P
FT von P mal Wellenfeld U(x,y)
Propagation vereinfachung schritte!
präzise Propagation–> Fresnel Beugung –> Frauenhofer B.
Frauenhofer Beugungsbild wenn man eine Linse nimmt, da Linse auch FT eines Wellenfeldes herstellt von vorderer Fokusebene in hintere
perfekt fokussierter Strahl in FR
Kann ein Lichtstrahl perfekt fokussiert werden?
Eig. unendlich ausgedehntes Winkelspektrum, aber Randbedingungen!
kz, dass ein Strahl propagiert wird i-wann imaginär (Minus unter Wurzel) –> aus e-Fkt wird e^Minus Fkt –> fällt ab bei dem radius (wenn kx/ky größer als k wird
–> nein kann er nicht, da wir durch die Wellenzahl k begrenzt sind durch die wurzel–> fokussierter Strahl ist kein Punkt
Gaußstrahl
Je stärker der Strahl fokussiert, desto stärker divergenter er, desto kürzer ist der Moment wo der GaußStrahl einen kleinen Fokus hat
Probleme in der Mikroskopie?
in COI nur zu zu Teil
hohe Auflösungen (Strahl der stark fokussiert ist) Divergenz größer - kleinerer Bereich den Fokus behalten - endliche Tiefenschärfe nicht alle Ebenen gleichzeitig scharf sehen (gleichzeitig Divergenz minimieren und stärker fokussieren geht nicht Unschärferelation)
COI–> Propagator anwenden (wellenfeld in anderer ebene anschauen)
Holografie
- Zwei ebene Wellen mit k1 und k1 U1(x), U2(x) mit unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen in eine Ebene k0 bringen (Schirm)
- Auf dem Schirm (Ebene z=0) interferieren Kamera kann nur Intensitäten sehen, keine Phasen aber zwei Wellen, von denen wir Intensitäten beobachten gibt es einen Term =Interferenz aus 1. Und 2. Welle (Interferenzterm)
- Das Interferenzmuster zwischen zwei Wellen kodiert Amplitude und Phase
- Laserlicht aufteilen in zwei Anteile: zum Objekt und zur Kamera(Referenzwelle) und Objekt reflektiert auf Kamera Interferenzmuster (kodiert Amplitude und Phase)
- Nur mit Referenzwelle Kamera beleuchten Wellenfeld von Objekt entsteht hinter Fotoplatte sieht 3D aus
- Belichtung der Fotoplatte aus O und R
- Objektwelle und Referenzwelle addieren und Betragsquadrat =Intensität versch. Anteile durch Ausmultiplikation
- Transmission der Fotoplatte ist proportional zur Intensität und Belichtungszeit Je mehr Licht auf Fotoplatte gefallen, desto weniger wird transmittiert auf das Negative (invertiertes Bild)
- Negative wieder mit Referenzwelle beleuchten R*T versch. Terme
digitale Holografie?
Problem?
Lösung?
- Fotoplatte durch Kamera ersetzen
- ! Wenn die Fotoplatte die vollständige Info über Amplitude und Phase erhält, können wir sie durch eine Digitalkamera ersetzen und Amplitude und Phase mathematisch rekonstruieren.
- Wenn wir Objektwelle und Referenzwelle aus einer Richtung aufnehmen, dann überlagern sich virtuelles und reelles Bild in der Rekonstruktion Beugungsordnungen wären überlagert –> schwer trennbar (beim Propagieren würde man sehen, dass Beugungsordnungen überlagert sind, also muss man noch Referenzwellenwinkel ändern)
Trick: Off-axis digitale Holografie: ein Winkel in Referenzwelle trennt virtuelles von reellem Bild, Bild in Kameraebene unscharf Propagation erzeugt ein scharfes und noch unschärferes Bild Nullte Beugung (Transmission) geht in andere Richtung als reelle und virtuelle Bild)
Oder Trick: Fernfeld: Fourier-Hologramme werden so aufgenommen, dass auf dem Sensor genau die
Fouriertransformierte des Objektwellenfeldes landet (oder wenn die Referenzwelle genauso gekrümmt wie Objektwelle, wie mit Linse beide ebene Wellen)
• Beide Bilder werden gleichzeitig scharf bei der Rekonstruktion
oder Image-Plane Holografie: nur Filtern. nicht FT: Wir können das Wellenfeld auch direkt abbilden
• Rekonstruktion besteht dann aus dem Trennen der Beugungsordnungen
• Wir k¨onnen die Wellenfront der Referenz anpassen um die Fringefrequenzen zu
senken
- Referenzwelle = Ebene Welle mit Wellenvektor k. Komponente zerlegen (senkrecht und parallel zur Kamera) aufgenommenes Bild I(x,y,zcam) in x und y fouriertransformieren
- Der Autokorrelationsanteil (|O|^2) hat in FT die doppelte Bandbreite der Kreukorrelationsterme:…
- Filter
Beugung am Gitter
begrenzter (durch Rechteckfkt.) Dirac-kamm mit Rechteckfunktion falten
Was muss angewendet werden, wenn wir eine rotationssymmetrische Funktion hat?
Zu Polarkoordinaten wechseln mit Besselfunktion.
Angewendet bei einem Besselstrahl: im Frequenzraum nur Richtungen, die auf einem Kreis liegen (Kreis aus δPeaks)
Was ist ein Besselstrahl ? Vorteile und Nachteile
Wie erzeugt man einen?
Eine spezielle, ideale Form elektromagnetischer Wellen. Eine der für ihre Anwendung wichtigsten Eigenschaften ist, dass sie nichtbeugend sind, d. h. ihre Form ändert sich - anders als etwa bei Gauß-Strahlen - während der Ausbreitung nicht. Ein Besselstrahl pflanzt sich immer mit Unterlichtgeschwindigkeit fort. Als optische Pinzette genutzt.
Ein Besselstrahl ist also nicht einfach ein Lichtstrahl, in dem die Lichtwellen sich entlang des Strahls ausbreiten. Vielmehr wird der Strahl von allen Seiten in einen begrenzten Raumbereich hineinprojeziert. Das Licht kommt nicht den Strahl hinunter, es strahlt seitlich auf das zu bewegende Objekt ein.
im Frequenzraum nur Richtungen, die auf einem Kreis liegen (Kreis aus δPeaks)
Da alle Raumfrequenzen (ebenen Wellen) den
gleichen Phasenfaktor bekommen (nur kr abh¨angig),
wird der Strahl seine Form nicht ver¨andern.
• Besselstrahlen k¨onnen einen scharfen Fokus und eine
große Fokustiefe habe
• Nachteil: stark ausgepr¨agte Nebenb¨ander
Erzeugung durch einen dünnen Axikon (für jede Richtung nur einen Winkel
Was ist der Effekt einer Linse?
Phasenverzögerung.
Lf=G*U wäre der Effekt = Quadr. Phasenfaktor
Eine Sammellinse Fouriertransformiert das Wellenfeld aus dem Fokus.
(PfLfPf) U(,)=u(,)
mit Pf=inverse F von Qu
Aus einer sphärischen Welle wird eine ebene Welle.
Was kodiert das Interferenzmuster?
Das Interferenzmuster zwischen zwei Wellen kodiert also nicht nur die Amplitude,
sondern auch die Phase
|A|^2+|B|^2+2A*Bcos[(k2-k1)x+Phi]
Terme der Holografie-Rekonstruktion
(a − bt|R|2)R Nullte Beugungsordnung
bt|O|2R Verbreiterte nullte Ordnung (Autokorrelationsteil der Probe)
bt|R|2O Bild (virtuell)
btR2O konjugiertes Bild (reell)
