Einfaktorielle ANOVA

Question 1

Varianzanalyse - was ist das?

Answer 1

• Varianzanalyse = ANOVA - Analysis of Variances
• Varianzanalysen sind mit die meist verwendeten inferenzstatistischen Verfahren in der Psychologie.
• Varianzanalysen sind Erweiterungen des t-Tests
  
  • Varianzanalysen dienen also dem Mittelwertvergleich!
  • Varianzanalysen sind parametrische Verfahren
• Sie werden angewendet, wenn mehr als zwei Mittelwerte miteinander verglichen werden sollen.

Es gibt sehr viele verschiedene Designs für die Varianzanalyse. Es gilt aber immer: kategoriale UVs und kontinuierliche AVs

• Einfaktorielle Varianzanalyse
  
  • Eine diskrete UV mit mehr als zwei Ausprägungen
• Zweifaktorielle Varianzanalyse
  
  • Zwei diskrete UVs mit jeweils mind. zwei Ausprägungen
• Mehrfaktorielle Varianzanalyse
  
  • Drei oder mehr diskrete UVs mit jeweils mind. zwei Ausprägungen
• Multivariate Varianzanalyse
  
  • Mehr als eine AV

Question 2

Warum nicht mehrere t-Tests?

Answer 2

Beispiel: Experiment

• die UV hat 3 Ausprägungen: Kaffee, koffeinfreier Kaffe, schwarzes Getränk. Die VPN werden also in 3 Gruppen aufgeteilt
• die AV ist die subjektive Aktivierung
• prinzipiell lassen sich 3 Nullhypothesen aufstellen
• einfacher ist die allgemeine Nullhypothese: die subjektive Aktivierung für jede der 3 Gruppen genau gleich
• Warum macht man nicht drei t-Tests für die drei möglichen Mittelwertsvergleiche? –> α-Fehler-Inflation (oder α-Fehler-Kumulierung)
• Für α = 5% ergibt sich 1 - (1 – 0,05)^3 = 14,3%
• Und ein t-Test lässt sich nicht für drei Ausprägungen der UV zusammen durchführen, denn:
  
  • Die Differenz zweier Mittelwerte werden in Relation zum Standardfehler betrachtet.
  • Ab drei Mittelwerten kann keine einfache Differenz mehr berechnet werden. Man benötigt ein Maß, dass Differenzen aufaddiert –> Varianz
• Die Varianzanalyse ist quasi ein t-Test mit der Varianz anstatt der Differenz über dem Bruchstrich
• Die Varianzanalyse testet ausschließlich ungerichtet
  
  • H0: Es gibt keine Mittelwertunterschiede
  • Wenn ich ein signifikantes Ergebnis bekomme (d.h. es unterscheiden sich mind. 2 Mittelwerte), sind weitere Verfahren notwendig

Question 3

Voraussetzungen für die einfaktorielle Varianzanalyse

Answer 3

Voraussetzungen:

• Intervallskalenniveau der AV (und Nominalskalenniveau der UV - wir brauchen Kategorien/Gruppen)
• Die AV ist in der Population normalverteilt (und innerhalb der Gruppen)
• Unabhängigkeit der Stichproben
• Varianzhomogenität

Question 4

Varianzschätzung

Answer 4

Logik:

• Bei einer UV mit k Ausprägungen (bedeutet ich betrachte die VPN als k “Gruppen”) entspricht der Gesamtmittelwert dem Mittelwert der Mittelwerte einzelnen Gruppen.
• Die Populationsvarianz setzt sich zusammen aus der Varianz zwischen den Gruppen und der Varianz innerhalb der Gruppen.
  
  • Varianz zwischen = die Streuung der Mittelwerte der Gruppen / Stichproben um den Gesamtmittelwert. Die Varianz zwischen ist die n-fache geschätzte Populationsvarianz der Mittelwerte
  • Varianz innerhalb = die Streuung der einzelnen Werte um den Mittelwert ihrer Gruppe. Die Varianz innerhalb ist die mittlere geschätzte Populationsvarianz innerhalb der Gruppen / Stichproben
• Wenn tatsächlich nur eine einzige Verteilung vorliegt, d.h. die Nullhypothese richtig ist, dann sollten bis auf zufällige Schwankungen die beiden Schätzungen gleich sein.
• Varianz innerhalb ≈ Varianz zwischen

Question 5

Varianzzerlegung

Answer 5

• Ansatz der Varianzschätzung ist in seiner Anwendung eingeschränkt, denn nur für gleich große Gruppen möglich
• Varianzzerlegung ist die allgemeinere und gebräuchlichere Methode
• Bei der Varianzzerlegung können …
  
  • die Gruppen verschieden groß sein
  • mehrere Variablen berechnet werden
  • Interaktionen (Zusammenwirken verschiedener Variablen) dargestellt werden

Logik:

• Ausgangspunkt ist die Gesamtvariation basierend auf der Abweichung einzelner Werte vom Gesamtmittelwert
• Diese Abweichung lässt sich ähnlich wie bei der Regression in zwei Komponenten zerlegen:
  
  • Die Abweichung des einzelnen Wertes zum zugehörigen Gruppenmittelwert – unsystematische Variation / Fehlervariation. Nicht erklärbar, weil keine UV manipuliert wurde
  • Die Abweichung vom Gruppenmittelwert zum Gesamtmittelwert –systematische Variation
• ​Zur Berechnung der einzelnen Variationen kann nicht einfach addiert werden: Summe würde Null ergeben –> Quadrierung der Abweichungen – Quadratsummen (QS) oder sum of squares (SS)
  
  • QS gesamt = QS innerhalb + QS zwischen, wobei Varianz = QS / df

Question 6

F-Verteilung und Prüfgröße F

Answer 6

F-Verteilung

• Die F-Verteilung ist abhängig von Zähler- und Nennerfreiheitsgraden.
• Da Varianzen immer positiv sind, nimmt F auch nur positive Werte an.
• F ist one-tailed

Prüfgröße

• F = Varianz zwischen / Varianz innerhalb
• k-1 Zählerfreiheitsgrade und n-k Nennerfreiheitsgrade

Question 7

Effektgröße Eta-Quadrat

Answer 7

Für Varianzanalysen gibt es eigene Effektgrößen.

d, g oder r gelten nur für jeweils zwei Stichproben

Eta-Quadrat η2 :

• Anteil der systematischen Variation an der Gesamtvariation
• Eta-Quadrat η2 = QS zwischen / QS gesamt
• Entspricht dem Anteil erklärter Varianz durch den Determinationskoeffizienten: r^2

Konvention nach Cohen:

• 0,01 –> kleiner Effekt
• 0,06 –> mittel
• 0,14 –> groß