Cours proba 4

Question 1

intervalle de pari

Answer 1

On fixe une probabilité (1 − α) que le résultat de l’expérience soit dans l’intervalle (risque α qu’il n’y soit pas)
Soit X une variable aléatoire de loi connue, on appelle intervalle de pari d’une réalisation de X au risque α l’intervalle [a,b] symétrique en probabilité tel que
P(a ≤ X ≤ b) = 1 − α
P(X < a) = P(X > b) = α/2

Question 2

intervalle de paris loi symetrique

Answer 2

L’intervalle [a; b] est aussi symétrique : [μ − e; μ + e] (e ≥ 0)
Pour calculer l’intervalle de pari, il suffit alors de trouver e
Loi normal
P (μ − e ≤ X ≤ μ + e) = 1 − α ⇔ P(X > μ + e) = α/2
P(X > μ + e) = P ( Z > μ + e − μ / σ )
= P ( Z > e / σ)
= P(Z > c)
on cherche c tel que P(Z > c) = α/2
donc e = c × σ

Question 3

intervalle de paris loi asymetrique

Answer 3

On cherche a et b tels que P(X < a) = α/2 et P(X > b) = α/2
Table 3 du formulaire
• On a donc a = c1−α/2,ν et b = cα/2,ν

Question 4

Loi de somme

Answer 4

E(Sn) = n × E(X ) et Var(Sn) = n × Var(X )

Question 5

TCL et loi de somme

Answer 5

si n est « grand », Sn (approx) ∼ N (nμ,nσ2)
• n « grand » ?
− n ≥ 30 pour une loi continue quelconque
− nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5 si X est une variable aléatoire de Bernoulli

Question 6

IP pour la somme

Answer 6

D’après la formule de l’IP pour une loi normale
IP1−α(Sn) = E(Sn) ± εα √Var(Sn)
• D’où IP1−α(Sn) = nμ ± εα √nσ
− Si X ∼ B(π) : 
IP1−α(Sn) = nπ ± εα √(nπ(1 − π)) 
si nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5

Question 7

moyenne d’un echantullin

Answer 7

Mn = Sn / n 
E(Mn) = E(Sn)/n = n × μ/n = μ
E(Mn) = E(X)
Var(Mn) = Var(X)/n

Question 8

loi de Mn

Answer 8

si X ∼ N (μ,σ2)
alors Mn ∼ N (μ,σ2/n)

Si n est grand, Mn (approx) ∼ N (μ,σ2/n)
− Approximation d’autant meilleure que n grand
− en pratique, on prendra n ≥ 30 (ou nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5)

Question 9

Proportion

Answer 9

Pn = (X1 + X2 + . . . + Xn)/n
Loi de Bernoulli : E(X ) = π et Var(X ) = π × (1 − π)
E(Pn) = π et Var(Pn) = π(1 − π) / n
• TCL, Pn (approx) ∼ N (π ; π(1 − π)/n) si nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5

Question 10

intervalle de pari d’une moyenne

Answer 10

Alors IP1−α(Mn) = μ ± εα ×√ (σ2/n) = μ ± εα × σ/√n

= [μ − εα × σ/√n ; μ + εα × σ/√n]

Question 11

largeur de l’intervalle de pari d’une moyenne

Answer 11

l = μ + εα × σ/√n − (μ − εα × σ/√n) = 2 × εα × σ/√n

Question 12

taille d’echantillon n

Answer 12

n = ( 2εα / l )^2 x σ^2

Question 13

intervalle de pari d’une proportion

Answer 13

IP1−α(Pn) = π ± εα √ (π(1 − π)/n)

Question 14

largeur de l’intervalle de pari
taille d’echantillon n
d’une proportion

Answer 14

• l = 2εα √ (π(1 − π)/n)

* D’où n = ( 2εα / l )^2 x π(1 − π)