Cours 1 stat

Question 1

biais d’un estimateur

Answer 1

• On notera T un estimateur de θ
• T est une variable aléatoire
• T a donc une espérance E(T )
• Quand on analyse plusieurs échantillons, on aimerait qu’en
moyenne T nous donne θ
-> On appelle bias d’un estimateur T de θ : Bθ(T ) = E(T ) − θ
• T est dit sans biais ou non biaisé quand Bθ(T ) = 0 (donc
E(T ) = θ

Question 2

variance d’un estimateur

Answer 2

• T , variable aléatoire, a aussi une variance Var(T )
• Plus Var(T ) est petite, plus les valeurs de T sont proches de E(T )
• Si, en plus, T est sans bias, E(T ) = θ, une petite variance
entraîne des valeurs proches de θ
• On peut donc préférer un estimateur sans bias, et de variance la
plus faible possible
Si, quand n → ∞, E(Tn) → θ et Var(Tn) → 0, on dit que l’estimateur
est convergent

Question 3

intervalle de confiance

Answer 3

IC1−α(θ) l’intervalle de confiance de niveau 1 − α de θ
IC1−α(θ) est aléatoire
(= Prend des valeurs différentes d’un échantillon à l’autre)
P(θ < Tl ) = α/2 et P(θ > Tu ) = α/2

Question 4

Estimateur pour la moyenne

Answer 4

E(Mn) =E(X ) = μ
Il semble donc naturel d’utiliser Mn comme estimateur de μ
Pour un échantillon particulier, on obtiendra l’estimation m =
∑ xi /n ,
moyenne observée dans l’échantillon
Var(Mn) = σ2 / n
Plus la taille de l’échantillon est grande (n grand), plus la variance
de Mn est petite : plus l’estimation de la moyenne sera précise
Mn est un estimateur convergent de μ

Question 5

Estimateur pour une probabilité

Answer 5

Si X ∼ B(π) (variable de Bernoulli), E(X ) = π
La proportion observée Pn = X1 + . . . + Xn / n = M
C’est l’estimateur naturel de π
E(Pn) = π
Var(Pn) = π(1 − π) / n
Pn est un estimateur
convergent de π

Question 6

Estimateur pour une variance

Answer 6

sn2 = 1/n-1 somme (xi - Mn)^2
= 1/n-1 ( somme xi^2 - (somme xi)^2 / n )
= 1/n-1 ( somme xi^2 - n x m^2)

Question 7

intervalle de confiance de μ

Answer 7

IC1−α(μ) = m ± εαs/√n = [m − εαs/√n; m + εαs/√n]

Question 8

Largeur de l’intervalle de confiance

Answer 8

l =2 εα × s/√n
n = ( 2 εα / l )^2 x s^2
= (2 εα s / l)^2

Question 9

intervalle de confiance pour une probabilité π

Answer 9

IC1−α(π) = [pi ; pu ] = p ± εα

√ p(1 − p) / n

Question 10

intervalle pari vs confiance

niveau proba

Answer 10

pari : Niveau (probabilité) 1 − α, risque α

conf : Niveau de confiance 1 − α, risque α

Question 11

intervalle pari vs confiance

verite

Answer 11

pari : Déterministe

conf : Aléatoire

Question 12

intervalle pari vs confiance

construit autour

Answer 12

pari : Construit autour de μ ou de π

conf : Construit autour de m ou de p

Question 13

intervalle pari vs confiance

ensemble de valeur

Answer 13

pari : Intervalle où l’on s’attend à trouver une variable aléatoire autour de sa moyenne
conf : Ensemble des valeurs plausibles d’un para-
mètre dans la population, au vu d’un échan-
tillon

Question 14

intervalle pari vs confiance

condition validite

Answer 14

pari : Conditions de validité :
• X continue : n ≥ 30
• X binaire : nπ ≥ 5 et n(1 − π) ≥ 5

conf : Conditions de validité :
• X continue : n ≥ 30
• X binaire : npl ≥ 5 et n(1 − pu ) ≥ 5