Cours 2 stat

Question 1

Réalisation d’un test statistique : formulation des hypothèses 1

Answer 1

 Les hypothèses d’un test statistique sont au nombre de deux :
• L’hypothèse nulle, notée 𝐻0 : est celle que l’on souhaite rejeter
• L’hypothèse alternative, notée 𝐻1
 Ces hypothèses doivent couvrir toutes les possibilités et ne pas pouvoir être vraies simultanément :
• soit l’une est vraie, soit c’est l’autre, mais pas les deux.
 Ces hypothèses portent sur les paramètres (valeurs théoriques) de lois de probabilité
• Pas d’hypothèse sur des valeurs observées (pour lesquelles une décision serait facile !!)
• Mais sur des valeurs théoriques inconnues

Question 2

possibilité pour l’hypothese nul

Answer 2

 En général, l’hypothèse nulle fait intervenir une égalité (hypothèse simple)
• Exemple : 𝜋 = 𝜋0, 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵
• L’égalité permettra de déterminer la loi de la statistique de test sous l’hypothèse nulle et de
construire une zone de rejet
 Autre possibilité pour une hypothèse nulle : l’indépendance entre deux variables aléatoires binaires
ou catégorielles
• Exemple : si 𝜋𝐴 désigne le risque de complication avec un traitement A (et 𝜋𝐵 avec le traitement
B), alors 𝜋𝐴= 𝜋𝐵 est équivalent à l’indépendance entre la variable « complication » et la variable
« traitement »
 En général, l’hypothèse alternative est moins précise (on parle d’hypothèse composite)
• Exemple : 𝜋 ≠ 𝜋0, 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵
• Pour déterminer la loi de la statistique de test sous l’hypothèse alternative, il faudra le plus
souvent faire des hypothèses supplémentaires (cf calcul de puissance plus tard)

Question 3

construction de la statistique de test

Answer 3

 A partir de l’observation d’un 𝑛-échantillon, on souhaite construire une statistique (= fonction des
observations), dont la loi sous l’hypothèse nulle est connue et simple
 En pratique, la loi en question sera très souvent :
• La loi 𝑁(0,1)
• Une loi du 𝜒² à 𝑘 degrés de libertés, 𝑘 étant fixé par les conditions de l’expérience
 Cela nécessitera souvent l’application du TCL, donc des conditions de validités à vérifier
• Rappel : 𝑛 ≥ 30 ou 𝑛𝜋 ≥ 5 et 𝑛(1 − 𝜋) ≥ 5

Question 4

construction de la statistique de test 2

zone rejet

Answer 4

 La connaissance de la loi sous 𝑯𝟎 de la statistique de test permet de définir une zone de rejet.
 On se donne 𝛼 ∈ [0,1], appelé « risque de première espèce » ou « erreur de type 1 » ou « risque
alpha »
• Habituellement, 𝛼=5% dans la recherche biomédicale
• Mais rien n’interdit de choisir une autre valeur dans un exercice…
 On choisit la zone de rejet de sorte que sa probabilité sous 𝑯𝟎 soit égale à 𝛼. Son complémentaire est
donc un intervalle de pari de niveau 1 − 𝛼
 On décide de rejeter l’hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test est dans la zone de
rejet.

Question 5

erreur de type II et puissance

Answer 5

 On suppose maintenant que c’est l’hypothèse alternative 𝐻1 qui est vraie.
 La probabilité que la statistique de test tombe dans la zone de rejet (et donc que l’hypothèse nulle soit
rejetée) s’appelle puissance et se note 1 − 𝛽
• On souhaite que cette quantité soit la plus grande possible !
 La probabilité complémentaire se note 𝛽 et s’appelle « risque de deuxième espèce », « risque bêta »
ou « erreur de type II ».
• C’est la probabilité de ne pas rejeter de l’hypothèse nulle alors qu’elle était fausse
• On la souhaite la plus petite possible !

Question 6

puissance augmente si

Answer 6

– augmenter la taille de l’échantillon

– changer H1

Question 7

conclusion d’un test statistique

Answer 7

 Un test statistique peut avoir uniquement deux conclusions :
 Si la statistique observée tombe dans la zone de rejet pour 𝛼 = 5%, alors la conclusion est :
• On rejette l’hypothèse nulle au risque 5%
Cela ne signifie pas que l’hypothèse nulle est fausse car on a pu commettre une erreur de type I
 Si la statistique observée tombe en dehors de la zone de rejet pour 𝛼 = 5%, alors la conclusion est :
• On ne peut pas rejeter l’hypothèse nulle au risque 5%
Cela ne signifie pas que l’hypothèse nulle est vraie car on a pu commettre une erreur de type II
 En particulier, on « n’accepte » jamais l’hypothèse nulle car le test est fait pour la rejeter, et qu’il a pu
manquer de puissance.
Ne pas parvenir à prouver qu’un traitement est efficace, ce n’est pas la même chose que prouver qu’il
est inefficace

Question 8

degres de signification

Answer 8

 En cas de rejet de l’hypothèse nulle (et seulement dans ce cas), on peut s’intéresser au risque alpha
le plus petit que l’on aurait pu prendre tout en continuant à rejeter 𝐻0
• Rappel : la puissance diminue lorsque 𝛼 diminue
• En baissant 𝛼, on va donc finir par ne plus rejeter 𝐻0
 Cette valeur se note 𝑝 et s’appelle degré de signification. Plus il est petit, et plus les observations
sont extrêmes, si l’on fait l’hypothèse que 𝐻0 est vraie.
 Le degré de signification est donc calculé a posteriori
en cas de rejet de 𝐻0. Il est nécessairement plus petit que
le risque alpha.
Pour le déterminer, on lit les tables « à l’envers » :
On part de la statistique observée Z et on remonte
au niveau 𝛼
• Cela fournit le plus souvent un encadrement de 𝑝

Question 9

test parametrique

Answer 9

– utilise la loi de distribution de la statistique
étudiée
• loi normale de la proportion ou de la moyenne
observée
– suppose que les conditions de validité du
théorème central limite sont vérifiées
• implique « grand(s) » échantillons

Question 10

conclu risque associe a un test

Answer 10

• a : risque de première espèce (erreur de type I)
– P(rejet H0 / H0 vraie)
• b : risque de deuxième espèce (erreur de type II)
ou manque de puissance
– P(non rejet H0 / H0 fausse)
– 1 - b : puissance du test

Question 11

si non rejet Ho

Answer 11

– ou H0 est vraie
– ou H0 est fausse mais on n’a pas pu le mettre en
évidence
• erreur de deuxième espèce (b)
• manque de puissance : effectifs trop faibles ?
– le risque de deuxième espèce n’est pas contrôlé
on ne peut pas « accepter » H0
les observations sont « compatibles » avec H0

Question 12

si rejet Ho

Answer 12

– ou H0 est vraie et on a observé un échantillon peu
probable (risque de premier espèce « limité » à 5 %)
– ou H0 est fausse

Question 13

TEST DE COMPARAISON D’UNE
MOYENNE A UNE NORME
base

Answer 13

• Test de comparaison d’une moyenne observée
à une moyenne théorique ou « norme »
• On s’intéresse à une variable X continue
• On observe, à partir d’un échantillon de n
valeurs xi, une moyenne expérimentale m
• X a une moyenne théorique m = E(X)
• Hypothèses :
– H0 : m = m0
– H1 : m  m0
• Grand échantillon : n  30

Question 14

TEST DE COMPARAISON D’UNE
MOYENNE A UNE NORME
Construction du test

Answer 14

• Conditions de validité
– n  30
• Sous H0 : m = m0
– donc M ~ N(m0 ;s2 /n)
– on estime s2 par s2
• Soit
Z = M-uo / racine (s^2/n)
Z suit une loi normale car M suit une loi normale

Question 15

TEST DE COMPARAISON D’UNE
MOYENNE A UNE NORME
puissance du test

Answer 15

Calcul de puissance
on va mettre un u qui n’est pas egal a uo
P(rejet H0 / H1 vraie )= P ( | Z ’| > 1,96 / u = u1)
• Z’ = M -uo / racine (s^2/n)
Z’ ~ N(u-uo ; 1)

Question 16

TEST DE COMPARAISON DE DEUX
MOYENNES AVEC ECHANTILLONS
INDEPENDANTS

Answer 16

• XA et XB deux v. a. indépendantes
– E(XA) = mA , E(XB) = mB
– Var (XA) = sigA^2 , Var (XB) = sigB^2
• Soit deux échantillons indépendants :
– nA valeurs de XA et nB valeurs de XB
– moyennes expérimentales : mA et mB
– différence des moyennes : d = mA - mB
• Fluctuations d’échantillonnage de d
– dépendent des lois de MA et MB
– D = MA - MB
– E(D) = E(MA - MB) = mA - mB
– Var (D) = siga^2 /na + sigb^2 /nb

Question 17

TEST DE COMPARAISON DE DEUX
MOYENNES AVEC ECHANTILLONS
INDEPENDANTS
construction test 
test rejet

Answer 17

1er test 
Z = Ma-Mb / racine (siga^2/na + sigb^2/nb)
Z ~ N(0;1)
• Zone de rejet du test : | z | > 1,96
• Conditions de validité du test
– nA ≥ 30 et nB ≥ 30

Question 18

TEST DE COMPARAISON DE DEUX
MOYENNES AVEC ECHANTILLONS
INDEPENDANTS
construction test 
test puissance

Answer 18

La puissance est la probabilité de détecter que
les moyennes de A et B sont différentes si
elles le sont
• C’est la probabilité que |z| > 1,96 quand A et B
sont différents (mA ≠ mB)
• Soit delta = mA - mB
• La puissance dépend d’une hypothèse
alternative spécifique
– dépend de la valeur (non nulle) pour delta
- sd^2 = sA^2 / nA + sB^2 / nB
alors Z = (MA – MB)/ sd

Sous H1 : D ≠ 0
E(Z') = delta /sd 
Var(Z') = 1 
– calcul de la puissance pour différentes
valeurs de delta