Chapter 5 - Matrix algebra

Question 1

In a square matrix of order n, what is the diagonal containing the elements a₁₁, a₂₂, a₃₃, …, a_nn called?

Answer 1

It’s called the principal/main/leading diagonal

Question 2

What is the trace of a square matrix?

Answer 2

The trace of a square matrix is the sum of the elements of the leading diagonal.

Question 3

What is a unit matrix?

Answer 3

A unit matrix is a square matrix where every element is zero, except for the leading diagonal, where the elements are 1.

Question 4

What is a transposed matrix?

Answer 4

A transposed matrix is the matrix with elements b_ij = a_ji

See picture

Question 5

How do you add/subtract two matrices? Are there any rules for when matrices can be added/subtracted?

Answer 5

You sum two matrices by adding/subtracting their relative elements. Only matrices of the same dimension can be added/subtracted.

Question 6

How do you multiply a matrix with a scalar?

Answer 6

You multiply every element in the matrix with the scalar.

Question 7

Multiplying two matrices together?

Answer 7

Question 8

Consider the two matrices A, with dimension m x p, and B, with dimension p x n.

What is the dimension of the matrix that is the product of A * B?

In general, what is the condition for products of matrix multiplications to be defined?

Answer 8

A * B produces a matrix with the dimension m x n.

For the product of A * B to be defined, the number of columns in A must equal the number of rows in B.

E.g:

A_2x3 * B_3x3 is defined

(but B * A is not defined)

C_2x3 * D_2x3 is not defined

E_3x2 * F_3x2 is not defined

Question 9

Hva er Gauss-Jordan-eliminasjon? Hvilke tre regler brukes?

Answer 9

Gauss-Jordan-eliminasjon er en regnemåte for å løse ligningssystemer. De tre reglene:

1. Vi kan multiplisere en ligning med et tall ulikt null.
2. Vi kan bytte om på to ligninger
3. Vi kan ta et multiplum av en ligning og legge til en annen ligning.

Question 10

Hvilken metode kan vi bruke for å løse ligningssystemet i bildet?

Answer 10

Gauss-Jordan-eliminasjon

Question 11

Gitt ligningsystemet

x + 2y = 4

3x - y = 5

Hva er koeffisientmatrisa?

Answer 11

Koeffisientmatrisa er gitt av koeffisientene til variablene på venstre side av ligningen:

1 2

3 -1

Question 12

Hvis determinanten til koeffisientmatrisa til et ligningssystem er ulik null, hva sier det om ligningssystemet?

Hva hvis determinanten er lik null?

Answer 12

Hvis determinanten er ulik null har ligningssystemet nøyaktig én løsning. Hvis lik null, har den enten ingen løsning eller uendelig med løsninger.

Question 13

Hva er betingelsen for at en matrise skal være invertérbar?

Answer 13

Determinanten til matrisa (til koeffisientmatrisa) må være forskjellig fra null.

Question 14

Hva er formelen for å finne den inverse matrisa til 2x2-matrisa A?

Answer 14

Question 15

Hvordan finner man den inverse til 3x3-matrisa A?

Answer 15

To metoder:

1. Gauss-Jordan:

Vi setter opp en 3x6-matrise, der venstre halvdel er den originale matrisa, og høyre halvdel er enhetsmatrisa. Målet er å “flytte enhetsmatrisa” over på venstre side. Når venstre halvdel er lik enhetsmatrisa er høyre halvdel den inverse av den originale matrisa.

2. “Matrix of minors”:

Finn “the matrix of minors”

Summér disse determinantene

Konverter ved “the cofactor matrix”:

+ - +

• • -

+ - +

Transponér denne matrisen

Gang den transponerte matrisen med 1/det(A)

Svaret er den inverse matrisa A^-1