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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle > Chapitre 5 - Vecteurs du plan > Flashcards

Chapitre 5 - Vecteurs du plan Flashcards

Note : tous les vecteurs présentés dans ce chapitre sont des vecteurs du plan (R²).

1
Q

Quelles caractéristiques possèdent un vecteur géométrique du plan (R²) (4) ?

A
  • un module (une norme)
  • une direction
  • une origine
  • une extrémité
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Q

Comment se note la norme du vecteur v du plan?

A

||v||

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3
Q

À quoi correspond la norme d’un vecteur?

A

C’est la distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur.

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4
Q

VRAI ou FAUX? La direction du vecteur v est donnée par l’angle θ mesuré dans le sens antihoraire situé entre le vecteur et la partie positive de l’axe des x.

A

VRAI

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5
Q

Quelles sont les deux conditions afin d’avoir deux vecteurs égaux?

A
  • même longueur (norme)

- même direction

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6
Q

Quelles sont les caractéristiques du vecteur nul (2) ?

A
  • la longueur est de 0

- la direction n’est pas définie

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7
Q

Comment note-t-on le vecteur nul?

A

Le vecteur O

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8
Q

Quelles sont les caractéristiques d’un vecteur unitaire (2) ?

A
  • la longueur est de 1

- la direction peut prendre n’importe quelle valeur

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9
Q

Comment détermine-t-on l’angle entre deux vecteurs?

A

1) Ramener les deux vecteurs à la même origine

2) Déterminer l’angle entre les deux vecteurs en mesurant le plus petit angle positif entre les deux vecteurs

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10
Q

VRAI ou FAUX? L’angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0 et 180° (0 et π rad).

A

VRAI

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11
Q

Si l’angle entre deux vecteurs θ = 0° alors les vecteurs sont…

A
  • parallèles

- de même direction

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12
Q

Si l’angle entre deux vecteurs θ = 180° alors les vecteurs sont…

A
  • parallèles

- de direction opposée

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13
Q

Quelles sont les deux méthodes de faire l’addition de deux vecteurs géométriques?

A
  • Méthode du parallélogramme

- Méthode du triangle

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14
Q

Quelles sont les étapes (2) et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du parallélogramme?

A

Étapes :

1) Placer les deux vecteurs à la même origine
2) Compléter le parallélogramme

Résultat :
3) Le vecteur somme u+v est le vecteur sur la diagonale, issu de l’origine.

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15
Q

Quelle est l’étape et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du triangle?

A

Étape :
1) Placer les vecteurs bout à bout

Résultat :
2) Le vecteur somme u+v a la même origine que celle du vecteur de départ et son extrémité est située à l’extrémité du dernier vecteur de la construction.

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16
Q

VRAI ou FAUX? L’addition de deux vecteurs peut donner un scalaire ou un vecteur.

A

FAUX. L’addition de deux vecteurs donne toujours un vecteur.

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17
Q

VRAI ou FAUX? L’ordre des vecteurs de change rien dans le résultat de l’addition de n vecteurs géométriques.

A

VRAI

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18
Q

u+v est…

A

un vecteur

fermeture

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19
Q

u + v =

A

v + u

commutativité

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20
Q

u + (v + w) =

A

(u + v) + w

associativité

21
Q

u + O =

A

u

élément neutre

22
Q

ku est…

A

un vecteur (puisque k est un scalaire non nul et u un vecteur)

23
Q

||ku|| =

A

|k| • ||u||

24
Q

VRAI ou FAUX? La norme d’un vecteur doit toujours être positive?

A

VRAI

25
Q

1) Quelle est la relation entre le vecteur ku et le vecteur u?
2) Si k > 0 alors les vecteurs sont…
3) Si k < 0 alors les vecteurs sont…

A

1) Ils sont parallèles.
2) de même direction
3) de direction opposée

26
Q

Il est possible de conclure que deux vecteurs u et v sont parallèles si et seulement si…

A

l’un est un multiple de l’autre.

u = kv ⇔ u et v parallèles

où k ∈ R\｛0｝

27
Q

1u =

A

u

28
Q

-1u =

A

-u

29
Q

Quelles sont les caractéristiques du vecteur opposé de u (-u)?

A
  • de même longueur que u

- de direction opposée de u

30
Q

aO =

A

O

31
Q

(ab)u =

A

a(bu)

32
Q

(a + b)u =

A

au + bu

distributivité

33
Q

a(u + v) =

A

au + av

34
Q

Si u ≠ O, quel est le vecteur 1/||u|| ∙ u ?

A

C’est un vecteur unitaire.

35
Q

Comment définit-on la soustraction de vecteurs géométriques?

A

Cela revient à l’addition d’un vecteur géométrique avec l’opposé d’un autre.

Alors la méthode du parallèlogramme et celle du triangle peuvent être appliquée à la soustraction de vecteurs géométriques.

36
Q

u - v =

A

u + (-v)

37
Q

Que permet la règle de Chasles?

A

Elle permet la simplification d’une expression de vecteurs entre deux points additionnés ensemble.

Voir exemple pages 6 et 7 du cahier du Bloc 2.

38
Q

AB + BC =

A

AC

règle de Chasles

39
Q

Comment note-t-on le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?

A

u ∙ v

40
Q

Quelle est l’expression qui définit le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?

A

u ∙ v = ||u|| ||v|| cosθ

où θ est l’angle entre les deux vecteurs

41
Q

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]

Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle aigu, alors le produit scalaire est…

A

positif

u ∙ v > 0

42
Q

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]

Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle droit, alors le produit scalaire est…

A

nul

u ∙ v = 0

(deux vecteurs orthogonaux/perpendiculaires)

43
Q

[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]

Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle obtus, alors le produit scalaire est…

A

négatif

u ∙ v < 0

44
Q

u ∙ v =

A

v ∙ u

commutativité

45
Q

u ∙ (v + w) =

A

u ∙ v + u ∙ w

distributivité

46
Q

a(u ∙ v) =

A

(au) ∙ v ET u ∙ (av)

associativité

47
Q

u ∙ u =

A

||u|| ||u|| cos0 = ||u||²

48
Q

Quelle est la particularité du produit scalaire entre deux vecteurs géométriques identiques, soit u et u?

A

Il est défini par le carré de la norme du vecteur u, soit ||u||², puisque l’angle entre les deux vecteurs est de 0 et cos0 = 1.

49
Q

Deux vecteurs géométriques sont perpendiculaires si et seulement si…

A

Leur produit scalaire vaut 0.

u ∙ v = 0 ⇔ vecteurs u et v sont perpenduculaires

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle (7 decks)

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