Chapitre 5 - Vecteurs du plan Flashcards
Note : tous les vecteurs présentés dans ce chapitre sont des vecteurs du plan (R²).
Quelles caractéristiques possèdent un vecteur géométrique du plan (R²) (4) ?
- un module (une norme)
- une direction
- une origine
- une extrémité
Comment se note la norme du vecteur v du plan?
||v||
À quoi correspond la norme d’un vecteur?
C’est la distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur.
VRAI ou FAUX? La direction du vecteur v est donnée par l’angle θ mesuré dans le sens antihoraire situé entre le vecteur et la partie positive de l’axe des x.
VRAI
Quelles sont les deux conditions afin d’avoir deux vecteurs égaux?
- même longueur (norme)
- même direction
Quelles sont les caractéristiques du vecteur nul (2) ?
- la longueur est de 0
- la direction n’est pas définie
Comment note-t-on le vecteur nul?
Le vecteur O
Quelles sont les caractéristiques d’un vecteur unitaire (2) ?
- la longueur est de 1
- la direction peut prendre n’importe quelle valeur
Comment détermine-t-on l’angle entre deux vecteurs?
1) Ramener les deux vecteurs à la même origine
2) Déterminer l’angle entre les deux vecteurs en mesurant le plus petit angle positif entre les deux vecteurs
VRAI ou FAUX? L’angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0 et 180° (0 et π rad).
VRAI
Si l’angle entre deux vecteurs θ = 0° alors les vecteurs sont…
- parallèles
- de même direction
Si l’angle entre deux vecteurs θ = 180° alors les vecteurs sont…
- parallèles
- de direction opposée
Quelles sont les deux méthodes de faire l’addition de deux vecteurs géométriques?
- Méthode du parallélogramme
- Méthode du triangle
Quelles sont les étapes (2) et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du parallélogramme?
Étapes :
1) Placer les deux vecteurs à la même origine
2) Compléter le parallélogramme
Résultat :
3) Le vecteur somme u+v est le vecteur sur la diagonale, issu de l’origine.
Quelle est l’étape et le résultat de l’addition de deux vecteurs géométriques par la méthode du triangle?
Étape :
1) Placer les vecteurs bout à bout
Résultat :
2) Le vecteur somme u+v a la même origine que celle du vecteur de départ et son extrémité est située à l’extrémité du dernier vecteur de la construction.
VRAI ou FAUX? L’addition de deux vecteurs peut donner un scalaire ou un vecteur.
FAUX. L’addition de deux vecteurs donne toujours un vecteur.
VRAI ou FAUX? L’ordre des vecteurs de change rien dans le résultat de l’addition de n vecteurs géométriques.
VRAI
u+v est…
un vecteur
fermeture
u + v =
v + u
commutativité
u + (v + w) =
(u + v) + w
associativité
u + O =
u
élément neutre
ku est…
un vecteur (puisque k est un scalaire non nul et u un vecteur)
||ku|| =
|k| • ||u||
VRAI ou FAUX? La norme d’un vecteur doit toujours être positive?
VRAI
1) Quelle est la relation entre le vecteur ku et le vecteur u?
2) Si k > 0 alors les vecteurs sont…
3) Si k < 0 alors les vecteurs sont…
1) Ils sont parallèles.
2) de même direction
3) de direction opposée
Il est possible de conclure que deux vecteurs u et v sont parallèles si et seulement si…
l’un est un multiple de l’autre.
u = kv ⇔ u et v parallèles
où k ∈ R\｛0｝
1u =
u
-1u =
-u
Quelles sont les caractéristiques du vecteur opposé de u (-u)?
- de même longueur que u
- de direction opposée de u
aO =
O
(ab)u =
a(bu)
(a + b)u =
au + bu
distributivité
a(u + v) =
au + av
Si u ≠ O, quel est le vecteur 1/||u|| ∙ u ?
C’est un vecteur unitaire.
Comment définit-on la soustraction de vecteurs géométriques?
Cela revient à l’addition d’un vecteur géométrique avec l’opposé d’un autre.
Alors la méthode du parallèlogramme et celle du triangle peuvent être appliquée à la soustraction de vecteurs géométriques.
u - v =
u + (-v)
Que permet la règle de Chasles?
Elle permet la simplification d’une expression de vecteurs entre deux points additionnés ensemble.
Voir exemple pages 6 et 7 du cahier du Bloc 2.
AB + BC =
AC
règle de Chasles
Comment note-t-on le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?
u ∙ v
Quelle est l’expression qui définit le produit scalaire entre deux vecteurs géométriques (u et v) ?
u ∙ v = ||u|| ||v|| cosθ
où θ est l’angle entre les deux vecteurs
[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]
Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle aigu, alors le produit scalaire est…
positif
u ∙ v > 0
[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]
Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle droit, alors le produit scalaire est…
nul
u ∙ v = 0
(deux vecteurs orthogonaux/perpendiculaires)
[produit scalaire entre des vecteurs géométriques]
Si l’angle θ entre les deux vecteurs est un angle obtus, alors le produit scalaire est…
négatif
u ∙ v < 0
u ∙ v =
v ∙ u
commutativité
u ∙ (v + w) =
u ∙ v + u ∙ w
distributivité
a(u ∙ v) =
(au) ∙ v ET u ∙ (av)
associativité
u ∙ u =
||u|| ||u|| cos0 = ||u||²
Quelle est la particularité du produit scalaire entre deux vecteurs géométriques identiques, soit u et u?
Il est défini par le carré de la norme du vecteur u, soit ||u||², puisque l’angle entre les deux vecteurs est de 0 et cos0 = 1.
Deux vecteurs géométriques sont perpendiculaires si et seulement si…
Leur produit scalaire vaut 0.
u ∙ v = 0 ⇔ vecteurs u et v sont perpenduculaires
