Chapitre 1 - Les matrices

Question 1

Quelle est l’adresse d’un élément?

Answer 1

L’endroit où se trouve l’élément dans la matrice

Question 2

À quoi correspond l’élément aij?

Answer 2

L’élément qui se trouve à la ligne i et à la colonne j

Question 3

À quoi correspond la matrice Amxn?

Answer 3

À la matrice de dimension m lignes et n colonnes

Question 4

Qu’est-ce que le pivot d’une ligne?

Answer 4

Le pivot d’une ligne est le premier élément non-nul de cette ligne.

Question 5

Qu’est-ce qu’une matrice échelonnée?

Answer 5

• Le pivot de chaque ligne est situé à droite du pivot de la ligne précédente.
• Si la matrice possède des lignes nulles, elles doivent se situer sous les lignes non nulles.

Question 6

Qu’est-ce qu’une matrice échelonnée réduite?

Answer 6

• C’est une matrice échelonnée.
• Chaque pivot vaut obligatoirement 1.
• Tous les éléments d’une colonne contenant un pivot sont nuls (excluant le pivot).

Question 7

Qu’est-ce qu’une matrice ligne?

Answer 7

Une matrice ligne est une matrice ne comportant qu’une ligne, donc de format 1xn.

Question 8

Qu’est-ce qu’une matrice colonne?

Answer 8

Une matrice colonne est une matrice ne comportant qu’une colonne, donc de format mx1.

Question 9

Qu’est-ce qu’une matrice carrée?

Answer 9

Une matrice carrée est unematrice qui comporte le même nombre de lignes et de colonnes.

Une matrice carrée de format nxn est dite d’ordre n.

Question 10

À quoi correspond la diagonale principale?

Answer 10

La diagonale principale d’une matrice carrée A d’ordre n est formée des éléments aii.

Question 11

Qu’est-ce que la trace d’une matrice?

Answer 11

La trace d’une matrice carrée A d’ordre n, noté Tr(A) est la somme des éléments de la diagonale principale (aii).

Question 12

Quels sont les deux critères pour montrer l’égalité entre deux matrices?

Answer 12

1) Elles sont de même format (m=p et n=q)

2) Leurs éléments correspondants sont égaux (aij = bij pour tout i et tout j)

Question 13

Qu’est-ce qu’une matrice nulle?

Answer 13

Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont des “0”.

Question 14

Quelle est la notation de la matrice nulle de format mxn?

Answer 14

Omxn

Question 15

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire supérieure?

Answer 15

Matrice carrée dont tous les éléments situés en-dessous de la diagonale principale sont nuls (A = [aij]nxn où aij = 0 pour tout i > j).

Question 16

Qu’est-ce qu’une matrice triangulaire inférieure?

Answer 16

Matrice carrée dont tous les éléments situés en-dessus de la diagonale principale sont nuls (A = [aij]nxn où aij = 0 pour tout i < j).

Question 17

Qu’est-ce qu’une matrice diagonale?

Answer 17

Matrice carrée dont tous les éléments qui ne sont pas situés sur la diagonale principale sont nuls.

A = [aij]nxn où aij=ki si i=j ET aij=0 si i≠j

Question 18

Qu’est-ce qu’une matrice scalaire?

Answer 18

Matrice diagonale dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux.

A = [aij]nxn où aij=k si i=j ET aij=0 si i≠j

Question 19

Qu’est-ce qu’une matrice identité?

Answer 19

Matrice scalaire dont tous les éléments de la diagonale principale sont des “1”.

In = [δij]nxn où δij=1 si i=j ET δij=0 si i≠j

Question 20

Quelle est la notation d’une matrice identité de format nxn?

Answer 20

Iₙ

Question 21

Qu’est-ce qu’une matrice symétrique?

Answer 21

Matrice carrée telle que les éléments sysmétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux.

aij = aji pour tout i et tout j

Question 22

Qu’est-ce qu’une matrice antisymétrique?

Answer 22

Matrice carrée telle que les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux mais de sugnes opposés.

aij = -aji pour tout i et tout j

Question 23

Quelle est la caractéristique de la diagonale principale des matrices antisymétriques?

Answer 23

Elle est composée de “0” seulement. Puisque seulement 0 = -0.

Si i = j aii = -aii

Question 24

Pour montrer qu’un énoncé est VRAI, il faut faire une démonstration (une preuve). Quelles sont les trois (3) étapes dont sont constituées les démonstrations?

Answer 24

1) Hypothèse(s) - Ce qu’on peut prendre pour acquis.
2) Conclusion(s) - Ce qu’on doit démontrer.
3) Preuve - Arguments mathématiques clairs et justifiés permettant de valider la ou les conclusions.

Question 25

Que doit-on faire pour montrer qu’un énoncé est FAUX?

Answer 25

Il est suffisant de trouver un contre-exemple; c’est-à-dire un exemple pour lequel l’énoncé est faux.

Question 26

Comment pouvons-nous vérifier qu’une matrice est symétrique?

Answer 26

Une matrice est symétrique si et seulement si :

A = Aᵗ

( A est symétrique ⇔ A = Aᵗ )

Question 27

Comment pouvons-nous vérifier qu’une matrice est antisymétrique?

Answer 27

Une matrice est antisymétrique si et seulement si :

A = -Aᵗ
Aᵗ = -A

( A est antisymétrique ⇔ A = -Aᵗ , Aᵗ = -A )