Chapitre 3 - Déterminants et inversion de matrices Flashcards
Comment nomme-t-on une matrice qui a un determinant différent de zéro?
Une matrice régulière
det (A) ≠ 0
Comment nomme-t-on une matrice qui a un determinant égale à zéro?
Une matrice singulière
det (A) = 0
À quoi est égale le déterminant lorsque 2 équations et 2 inconnues?
det (A) = ad - bc
Comment appelle-t-on le sous-déterminant d’une matrice obtenu en supprimant la iᵉ ligne et la jᵉ colonne?
Le mineur, noté Mij
À quoi correspond le cofacteur?
Il correspond au mineur + le terme définissant la matrice des signes.
Que fait l’inversion de deux lignes (ou de deux colonnes) dans une matrice carée?
Une changement de signe dans le déterminant
À quoi est égal le déterminant d’une matrice triangulaire?
Au produit des éléments de sa diagonale principale
det (Aᵗ) = ?
det (A)
Si une matrice comporte une ligne ou une colonne contenant seulement des 0, que sait-on sur son déterminant?
Il vaut 0.
Si on multiplie une ligne ou une colonne par une constante, le déterminant de cette matrice sera…
également multiplié par cette constante.
Si on multiplie une matrice carrée par une constante, le déterminant sera…
multiplié par cette constante “expposant le nombre de lignes”.
det (cA) = cᵑ det (A)
Combien vaut le déterminant d’une matrice qui contient deux lignes ou deux colonnes identiques?
Il vaut 0.
Combien vaut le déterminant d’une matrice qui contient deux lignes ou deux colonnes dont l’une est un multiple de l’autre?
Il vaut 0.
det (AB) = ?
det (A) det (B)
det (A + B) = ?
det (A + B)
Puisque ne peut se séparer comme la multiplication. Alors n’égale pas det (A) + det (B).
Comment nomme-t-on une matrice inverse?
A⁻ᶥ
Toujours juste carrée
Quelle est la caractéristique d’une matrice inversible?
La matrice doit être régulière.
Alors : det (A) ≠ 0
Quelle est la caractéristique d’une matrice non inversible?
La matrice est singulière.
Alors : det (A) = 0
Comment note-t-on la matrice des cofacteurs?
cof (A)
Comment note-t-on la matrice adjointe?
adj (A)
À quoi correspond la matrice adjointe?
À la transposée de la matrice des cofacteurs
Quel est le théorème de la matrice inverse (version 1)?
A⁻ᶥ = 1/det(A) * adj(A)
Quelles sont les étapes pour calculer une matrice inverse?
1) Calculer le déterminant
2) Calculer la matrice des cofacteurs
3) Calculer la matrice adjointe
4) Calculer la matrice inverse
( A⁻ᶥ = 1/det(A) * adj(A) )
Si AC = Iₙ et que AD = Iₙ , est-ce que C = D?
Oui
det (A⁻ᶥ) = ?
1 / det(A)
(A⁻ᶥ)⁻ᶥ = ?
A
(AB)⁻ᶥ = ?
B⁻ᶥ A⁻ᶥ
B⁻ᶥ A⁻ᶥ = ?
(AB)⁻ᶥ
(Aᵗ)⁻ᶥ = ?
(A⁻ᶥ)ᵗ
(A⁻ᶥ)ᵗ = ?
(Aᵗ)⁻ᶥ
(kA)⁻ᶥ = ?
k⁻ᶥ A⁻ᶥ = (1/k) A⁻ᶥ
On peut sortir les constantes.
Quelles sont les étapes pour résoudre un Système d’Équations Linéaires à l’aide de la méthode de la matrice inverse?
1) Calculer la matrice inverse (4 étapes)
2) Résoudre le SEL avec X = A⁻ᶥ B
(Puisque A X = B)
Comment nomme-t-on un SEL qui n’admet aucune solution?
Ce SEL est dit incompatible.
Comment nomme-t-on un SEL qui admet une solution unique ou une infinité de solutions?
Ce SEL est dit compatible.
Un SEL admet une solution unique si et seulement si…
det (A) ≠ 0
SEL carré solution unique ⇔ det (A) ≠ 0
