Chapitre 3 - Déterminants et inversion de matrices

Question 1

Comment nomme-t-on une matrice qui a un determinant différent de zéro?

Answer 1

Une matrice régulière

det (A) ≠ 0

Question 2

Comment nomme-t-on une matrice qui a un determinant égale à zéro?

Answer 2

Une matrice singulière

det (A) = 0

Question 3

À quoi est égale le déterminant lorsque 2 équations et 2 inconnues?

Answer 3

det (A) = ad - bc

Question 4

Comment appelle-t-on le sous-déterminant d’une matrice obtenu en supprimant la iᵉ ligne et la jᵉ colonne?

Answer 4

Le mineur, noté Mij

Question 5

À quoi correspond le cofacteur?

Answer 5

Il correspond au mineur + le terme définissant la matrice des signes.

Question 6

Que fait l’inversion de deux lignes (ou de deux colonnes) dans une matrice carée?

Answer 6

Une changement de signe dans le déterminant

Question 7

À quoi est égal le déterminant d’une matrice triangulaire?

Answer 7

Au produit des éléments de sa diagonale principale

Question 8

det (Aᵗ) = ?

Answer 8

det (A)

Question 9

Si une matrice comporte une ligne ou une colonne contenant seulement des 0, que sait-on sur son déterminant?

Answer 9

Il vaut 0.

Question 10

Si on multiplie une ligne ou une colonne par une constante, le déterminant de cette matrice sera…

Answer 10

également multiplié par cette constante.

Question 11

Si on multiplie une matrice carrée par une constante, le déterminant sera…

Answer 11

multiplié par cette constante “expposant le nombre de lignes”.

det (cA) = cᵑ det (A)

Question 12

Combien vaut le déterminant d’une matrice qui contient deux lignes ou deux colonnes identiques?

Answer 12

Il vaut 0.

Question 13

Combien vaut le déterminant d’une matrice qui contient deux lignes ou deux colonnes dont l’une est un multiple de l’autre?

Answer 13

Il vaut 0.

Question 14

det (AB) = ?

Answer 14

det (A) det (B)

Question 15

det (A + B) = ?

Answer 15

det (A + B)

Puisque ne peut se séparer comme la multiplication. Alors n’égale pas det (A) + det (B).

Question 16

Comment nomme-t-on une matrice inverse?

Answer 16

A⁻ᶥ

Toujours juste carrée

Question 17

Quelle est la caractéristique d’une matrice inversible?

Answer 17

La matrice doit être régulière.

Alors : det (A) ≠ 0

Question 18

Quelle est la caractéristique d’une matrice non inversible?

Answer 18

La matrice est singulière.

Alors : det (A) = 0

Question 19

Comment note-t-on la matrice des cofacteurs?

Answer 19

cof (A)

Question 20

Comment note-t-on la matrice adjointe?

Answer 20

adj (A)

Question 21

À quoi correspond la matrice adjointe?

Answer 21

À la transposée de la matrice des cofacteurs

Question 22

Quel est le théorème de la matrice inverse (version 1)?

Answer 22

A⁻ᶥ = 1/det(A) * adj(A)

Question 23

Quelles sont les étapes pour calculer une matrice inverse?

Answer 23

1) Calculer le déterminant
2) Calculer la matrice des cofacteurs
3) Calculer la matrice adjointe
4) Calculer la matrice inverse

( A⁻ᶥ = 1/det(A) * adj(A) )

Question 24

Si AC = Iₙ et que AD = Iₙ , est-ce que C = D?

Answer 24

Oui

Question 25

det (A⁻ᶥ) = ?

Answer 25

1 / det(A)

Question 26

(A⁻ᶥ)⁻ᶥ = ?

Answer 26

A

Question 27

(AB)⁻ᶥ = ?

Answer 27

B⁻ᶥ A⁻ᶥ

Question 28

B⁻ᶥ A⁻ᶥ = ?

Answer 28

(AB)⁻ᶥ

Question 29

(Aᵗ)⁻ᶥ = ?

Answer 29

(A⁻ᶥ)ᵗ

Question 30

(A⁻ᶥ)ᵗ = ?

Answer 30

(Aᵗ)⁻ᶥ

Question 31

(kA)⁻ᶥ = ?

Answer 31

k⁻ᶥ A⁻ᶥ = (1/k) A⁻ᶥ

On peut sortir les constantes.

Question 32

Quelles sont les étapes pour résoudre un Système d’Équations Linéaires à l’aide de la méthode de la matrice inverse?

Answer 32

1) Calculer la matrice inverse (4 étapes)
2) Résoudre le SEL avec X = A⁻ᶥ B

(Puisque A X = B)

Question 33

Comment nomme-t-on un SEL qui n’admet aucune solution?

Answer 33

Ce SEL est dit incompatible.

Question 34

Comment nomme-t-on un SEL qui admet une solution unique ou une infinité de solutions?

Answer 34

Ce SEL est dit compatible.

Question 35

Un SEL admet une solution unique si et seulement si…

Answer 35

det (A) ≠ 0

SEL carré solution unique ⇔ det (A) ≠ 0