Chapitre 5: Problèmes direct et indirect sur l’ellipsoïde Flashcards
enregistrement #3 à partir de minutes 106:00
enregistrement #3 à partir de minutes 106:00
On va passer des coordonnées de projection vers ellipsoide souvent ce qui se passe c’est qu’on travaille dans SCOPQ
PROBLÈME DIRECT dans projection
cas ou on cherche Xb,Yb
on connait Xa, Ya, d et gis
Xb: Xa + d sin gis
Yb: Ya + d cos gis
Toujours même cas dans la projection on cherche cette fois-ci gisement et distance entre 2 points Connus P1 et P2
PROBLÈME INDIRECT dans projection
on cherche: gis et d
on connait: Xa,Ya,Xb,Yb
gis = atan (delta_y/delta_x)
d = sqrt (delta_x^2 + delta_y^2)
on retrouve également ce genre de problème mais sur l’ellipsoide
de nos jours, si on est avec GPS celui-ci nous fournie:
des coordonnées cartésiennes géocentrique équatoriaux
PROBLÈME DIRECT ELLIPSOIDE
on connait: latitude_A, Longitude_A, d, azimut_AB
on cherche: Latitude_B, Longitude_B
La direction normal OA va intersecter l’axe Z à un point différent de la direction normale OB sur ELLIPSOIDE
SUR LA SPHÈRE, le poit OA et OB sont identique et passent par l’origine, il n’y a qu’un seul plan avec A, B et leur direction normale
sur ELLIPSOIDE; on peut choisir de travailler avec le plan OA_A_B et négliger la normale OB, ou aller avec le plan OB_A_B et négliger la direction normale de OA
courbe géodésique: courbe la plus courte allant du point A vers le point B
Voir figure 5.1
premier système:
système géocentrique équatorial (origine au centre de masse de la Terre) (X vers Greenwich et Z avec axe de rotation de la Terre)
deuxièmes systèmes: système topocentrique (son centre se situe sur le point A ou B) géodésique (Axe Z dans la même direction que la directio normale à ce point) horizontal local (x direction sud placé sur le méridien local): système topocentrique géodésique horizontal local.
en posant le système géocentrique équatorial avec son axe X dans la même direction que le meridien local au point A cela nous donne:
118:01
pour le système topocentrique horiz géodésique
XA = RNA cos phi_A, ici cos 0=1 (pcq longitude=0) YA = 0 , pcq perpendiculaire à axe X ZA = RNA(1 − e^2) sin phi_A
pas besoin de faire intervenir la longitude à partir de Greenwich pcq mnt sur méridien local A
POUR LE POINT B, la longitude va intervenir
∆λ: Longitude_B - Longitude_A
XB = RNB cos phi_B cos ∆λ YB = RNB cos phi_B sin ∆λ ZB = RNB(1 − e^2) sin phi_B
Impact du changement de système géocentrique équatorial avec axe X vers méridien local
pour passer d’un système géocentrique équatorial il faut procéder à 2 rotations, soit la rotation autour de l’axe Z pour bien situer l’axe X sur le méridien et une rotation autour de l’axe Y pour bien situer le Z dans une direction horizontale.
DANS NOTRE CAS, on a pas besoin de faire une rotation autour de l’axe Z puisque le X est déjà sur le méridien local, donc seulement axe de rotation autour de l’axe Y pour orienter Z dans direction horizontale.
la rotation RY revient donc à être:
Ry =
cos colat_A 0 − sin colat_A
0 1 0
sin Colat_A 0 cos Colat_A
=
sin Lattitude_A 0 − cos Latitude_A
0 1 0
cos Latitude_A 0 sin Latitude_A
Solution du problème direct selon Vincenty
problème direct, on cherche latitude_b, Longitude_B
on connait: Latitude_A, Longitude_A, d, azimut_AB, besoin de trouver u (angle de depression) grace à routine.
PROBLÈME INDIRECT
1:45
On connait latitude_a, Longitude_A, Latitude_b, Longitude_B, on suppose que hauteur_A ellipsoidale=0 et que hauteur_B ellipsoidale = 0
On cherche: Azimut_AB, d
étape 1: passer de coordonnées géocentrique (lat,long,h) aux coordonnées x,y,z
ou r correspond soit à RN_a ou RN_B ou R moyen
x = r cos latitude cos longitude y = r cos latitude sin longitude z = r sin latitude
ou , pour faire plus vite
∆X = RNB cos latitude_B cos ∆λ − RNA cos latitude_A
∆Y = RNB cos latitude_B sin ∆λ
∆Z=RNB(1 − e^2)sinlatitude_B −RNA(1 − e^2)sin latitudeA
étape 2: calcul du vecteur DELTA_XAB= XB-XA
ou
∆X = RNB cos latitude_B cos ∆λ − RNA cos latitude_A
∆Y = RNB cos latitude_B sin ∆λ
∆Z=RNB(1 − e^2)sinlatitude_B −RNA(1 − e^2)sin latitudeA
(avec ∆λ = λB − λA)
faire XB-XA
Étape 3: rotation dans le système local au point A
en supposant que le système géocentrique est déjà avec axe X sur Greenwich, donc rotation juste autour de RY
petit_delta_XAB= R (DELTA_XAB)
et la rotation correspond à:
R = Ry( colat_A)Rz(Longitude_A)
faire attention si on enlève rotation Rz ou non.
Étape 4: conversion en coordonnées sphériques (toujours sur ellipsoide)
petit_delta_XAB vers (d, az, el)
Az = arctan (∆y/−∆x)
le signe negatif c’est pour trouver l’AZIMUT NORD, sans quoi on trouverai l’AZIMUT SUD
ou
prendre résultat et faire AZNord= 180 - Az
et de façon explicite:
tan AzA→B =
RNB cos ϕB sin ∆λ/
RNB(cos ϕA sin ϕB − sin ϕA cos ϕB cos ∆λ) + e^2 cos ϕA(RNA sin ϕA − RNB sin ϕB)
tan AzB→A =
−RNA cos ϕA sin ∆λ/
RNA(cos ϕB sin ϕA − sin ϕB cos ϕA cos ∆λ) + e^2 cos ϕB(RNB sin ϕB − RNA sin ϕA)
d=sqrt(∆X^2 + ∆Y^2 + ∆Z^2) =sqrt(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)
µ = −el = − arcsin(∆z/d)
ici on se rappelle que u va dans le sens positif vers le bas pour faciliter les calculs
étape 4: mais avec cas sphère
e=0
e=0
e=0
RN_A=R
RN_B=R
tan AzA→B =
cos ϕB sin ∆λ/
cos ϕA sin ϕB − sin ϕA cos ϕB cos ∆λ
tan AzB→A =
− cos ϕA sin ∆λ/
cos ϕB sin ϕA − sin ϕB cos ϕA cos ∆λ
