Chapitre 4: réduction des distances Flashcards
Enregistrement #3
Réduction des distances
Les mesures effectués avec distances mètres est toujours en?
Toujours en pente, entre le distancemètre et le réflecteur.
Si on veut utiliser cette mesure dans une projection il faut?
Il faut appliquer des réductions
différentes procédures selon ce qu’on veut comme résultat final
on veut une distance sur l’ellipsoïde ou sur la projection?
Dans ce chapitre on suppose qu’on est sur une sphère (même si c’est écris ellipsoïde dans les notes)
on utilise cette approximation en raison qu’on utilise un seul et même rayon R
- 1er réduction en pente
trouver le distance en pente D1 (entre A1_B1) en mettant en évidence cos(alpha)
(on connait la distance D2, et donc cos(alpha) pour le triangle A2_O_B2)
Réduction A2_B2 vers A1_B1 en pente aussi, ces deux points se situent sur la même verticale (l’un au dessus de l’autre)
Principe de la méthode: grace aux triangles A2_O_B2 et A1_O_B1 on veut trouver angle alpha (entre les 2 rayon) en utilisant la lois du cosinus pour les deux triangles en mettant en évidence le terme “Cos (alpha)”
On substitue les équations de façon à trouver la distance D1 (la distance entre A1_B1) obtenant ainsi la distance en pente de ce point.
Dans le cas si haut, on peut jouer avec les hauteurs HA1 et HB1
Si on pose les hauteurs HA1 et HB1 =0 , elle va être au niveau de l’ellipsoïde.
la distance trouvée avec la procédure ** 1. 1er réduction en pente** nous donne la distance D1 qui est la distance le LONG DE LA CORDE ENTRE DEUX POINTS SUR L’ELLIPSOIDE.
On a les formules
D2^2 = (R+hA2)^2 + (R + hB2)^2− 2(R + hA2)(R + hB2)
cos α
D1^2= (R + hA1)^2 + (R + hB1)^2 − 2(R + hA1)(R + hB1) cos α
- Réduction à une distance sur l’ellipsoïde (formule
compacte)
on cherche DE qui est la corde (segment de droite) qui relie point A0 et B0 au niveau de l’ellipsoïde.
on obtient DE, distance sur l’ellipsoïde en fonction des distance HA, HB et du rayon R de la Terre.
Dans cette équation le rayon R est une approximation sphérique, c’est la valeur moyenne du Rayon terrestre.
Il est la rayon de courbure normale de l’ellipsoïde dans la direction correspondante (direction de A sur B). Il se calcule à l’aide du théorème d’Euler sur les courbures (voir notes de cours de GMT2050).
RÉDUCTION d’une distance en pente vers une distance sur l’ellipsoïde.
DE se retrouve sur la surface de la sphère/ellipsoïde à partir de distance en pente D entre HA et HB (on peut inclure dans leur hauteur la hauteur de l’instrument et l’hauteur du réflecteur, hauteur depuis l’ellipsoïde).
Lois du cosinus pour mettre en évidence Cos(alpha) dans les 2 triangles et résoudre pour triangle
A_O_B puisqu’on connait D
On trouve DE maintenant qu’on connait cos(alpha)
on a les formules:
D^2 = rA^2 + rB^2 − 2rArB cos α
où
rA= R + Ha
rB= R + HB
et
DE^2 = R^2 + R^2 − 2 R R cos α
Si on utilise les hauteurs orthométriques au lieu des hauteurs ellipsoïdiques, on introduit une erreur qui dépend de l’ondulation du géoïde.
donc dans ces cas si on utilise les HAUTEURS ELLIPSOIDIQUES.
l’erreur va dépendre de la différence d’hauteur entre les hauteurs orthométriques et les hauteur ellipsoidique, donc elle va dépendre de l’ondulation du géoïde.
Si on a des coordonnées SCOPQ par rayonnement
il faut passer des coordonnées sur l’ellipsoïde à une distance sur l’ellipsoïde et appliquer un facteur échelle pour entrer dans la projection.
3.Réduction à une distance sur l’ellipsoïde (en étapes)
section 4.3
passage d’une distance en pente à une distance horizontale À UNE HAUTEUR MOYENNE (toujours au dessus de l’ellipsoïde)
où Hm= (HA+HB)/2
on obtient un
Rm= Hm + R
on cherche Dh
avec la norme euclédienne on obtient
Dh= sqrt(D^2 - Delta_h^2)
Dh est une distance horizontale à la hauteur du TERRAIN
où
Delta_H= HB - HA
on place cette distance où? à la hauteur Hm
Réduction pour effet de la hauteur:
formule:
DE/R =dh/(R + hm)
ce qui devient:
DE = (1 − (hm/R)) + dh
IMPORTANT ** Si on utilise hauteur orthométriques au lieu d’hauteur ellipsoidique** .
il y a une erreur qui s’introduit, elle depend de l’ondulation moyenne à cet endroit
On remplace Hm par N dans la formule ci-haut
DE = (1 − (hm/R)) + dh
∆d = (N/R) d
Demande clarification ici
discussion de DE = (1 − (hm/R)) + dh
(1 − (hm/R)) agit comme un facteur échelle,
il y a un négatif demander au prof aussi signification avec hauteur ellipsoidique.
- Différence entre la corde et l’arc
section 4.4
ation 4.15), on obtient l’expression suivante :
∆ = d3/24 R2
où
d: distance le long de la corde (DE) ou distance le long de l’arc (s)
42:00
- Réduction à une distance dans la projection
Réduction d’une distance sur l’ellipsoide le long de l’arc à une distance sur une projection conforme avec Xp,Yp et Dp.
Dp= sqrt (delta_Xp^2 + delta_Yp^2)
