Chap. 7 Espaces euclidiens Flashcards
Comment trouver/Qu’est-ce que
le produit scalaire des vecteurs u et v?
((u,v)) = u^T * v
Comment trouver la longueur d’un vecteur u?
||u|| = √((u,u))
Un vecteur de de longueur 1 est dit…
unitaire
Un vecteur unitaire est un vecteur…
de longueur 1
Comment calculer la distance entre u et v (aussi notée d(u,v))?
||u − v||
Comment trouver l’angle non orienté entre u et v?
En calculant le
cosθ = ((u,v)) / ( ||u|| * ||v|| )
Si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, ceux-ci sont…
orthogonaux
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux (u ⊥ v) si…
leur produit scalaire est égal à 0
((u,v)) = 0
Si deux vecteurs sont orthogonaux, l’angle entre ces deux vecteurs est…
π/2
Si F est un sous-espace vectoriel, qu’est-ce que l’orthogonale de F?
F⊥ est l’ensemble des vecteurs u tel que u est orthogonal à v qui appartient à F.
F⊥ = {u ∈ Rn | u ⊥ v, pour tout v ∈ F}
Si F est un sous-espace vectoriel de Rn, quelle est la dimension de F⊥?
dim(F⊥) = n - dim(F)
Qu’est-ce qu’une famille orthogonale?
Une famille dont le produit scalaire d’un vecteur avec un autre est toujours 0.
Qu’est-ce qu’Une famille orthonormée?
Une famille orthogonale de vecteurs unitaires.
Une famille d’un seule vecteur est…
automatiquement orthogonale
{A1,…An} est orthogonale si et seulement si…
ATA est diagonale
{A1,…An} est orthonormée si et seulement si…
ATA est In
Comment obtenir une famille orthonormée à partir d’une famille orthogonale?
Diviser chaque vecteur de la famille par sa longueur pour obtenir des vecteurs unitaires.
Est-ce qu’une famille orthogonale est nécessairement libre?
Non, un vecteur peut être le double de l’autre. Tandis que pour une famille orthonormée, chaque vecteur doit avoir la même longueur (1) donc une famille orthonormée est nécessairement libre.
Comment obtenir une base orthonormée d’une droite vectorielle D de Rn engendrée par un vecteur u?
En divisant le vecteur u par sa longueur.
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn, comment trouver la projection orthogonale de v sur F?
On doit avoir {u1, …, ur} qui est une base orthonormée de F. Ensuite on calcule la
projFv = ((u1,v))u1 + … + ((ur,v))ur
Soit D une droite vectorielle de Rn engendré par un vecteur u. Comment calculer la projection de v sur D?
projDv = [((u,v)) / ((u,u))] * u
Soit F un sous-espace vectoriel, alors v ∈ F si et seulement si…
v = projFv = ((u1,v))u1 + … + ((ur,v))ur
Comment obtenir une base orthogonale à partir d’une base quelconque?
En utilisant le procédé de Gram-Schmidt
(Gram-Schmidt) v1 =
u1
(Gram-Schmidt) v2 =
u2 - [((v1,u2))/((v1,v1))]v1
(Gram-Schmidt) v3 =
u3 - [((v1,u3))/((v1,v1))]v1 - [((v2,u3))/((v2,v2))]v2
Comment trouver les coordonnées de v dans la base orthonormée {u1,u2} de R2?
En applicant la même règle que pour trouver la projection orthogonale de v dans un sous-espace vectoriel.
v = projR2v = ((u1,v))u1 + ((u2,v))u2
Les coordonnées de v dans {u1,u2} seront donc
((u1,v)) et ((u2,v))
Qu’est-ce que le procédé de Gram-Schmidt nous permet d’obtenir?
Une base orthogonale
Comment obtenir une base orthonormée après avoir appliqué Gram-Schmidt?
Diviser chaque vecteur obtenu par sa longueur pour passer d’une base orthogonale à une base orthonormée.
Comment obtenir une représentation QR d’une matrice A?
On doit commencer par trouver une base orthogonale de A avec GS. On doit ensuite la transformer en base orthonormée.
Finalement:
Q est formée des vecteurs de la base orthonormée
R est égal à Q^T * A car
Q^T * Q = I donc Q^T * A = Q^T * Q * R Q^T * A = I * R Q^T * A = R
Soit P un plan vectoriel, qu’est-ce qu’un vecteur normal à P?
Un vecteur non-nul orthogonal à P.
Soit P un plan vectoriel, comment appelle-t-on un vecteur non-nul orthogonal à P?
Un vecteur normal à P
Comment calculer le produit vectoriel des vecteurs u et v ?
En calculant le déterminant suivant:
u ∧ v =
| u1 v1 e1 |
| u2 v2 e2 |
| u3 v3 e3 |
ATTETION! e1, e2 et e3 ici ne sont qu’une notation!
Soit P un plan vectoriel engendré par u et v, comment trouver un vecteur normal au plan P ?
En calculant le produit vectoriel u ∧ v
-(v ∧ u) = _____
(u ∧ v)
Comment trouver une équation du plan vectoriel P engendré par u et v?
En calculant le produit vectoriel u ∧ v de P, les termes du vecteur résultant correspondent aux coefficient des variables x, y, z.
L’équation sera de la forme
_x + _y +_z = 0
Soit L une droite vectorielle engendrée par u. Si v ∈ R3 et ((u,v))=0, comment trouver une base orthogonale de L^T?
En trouvant un deuxième vecteur (w) orthogonal à u en calculant le produit vectoriel u ∧ v.
Soit L une droite vectorielle engendrée par u. Comment trouver une base orthogonale de R3?
En trouvant les solutions non-nulles du système homogène représenté par le seul vecteur que nous avons. Ex (1 1 1)
x + y + z = 0
Posons y = 1, z = 0 ….
Comment trouver l’angle orienté de u à v par w = u ∧ v?
cosθ = ((u,v)) / ( ||u|| * ||v|| ) sinθ = det(u v w) / ( ||u|| * ||v|| * ||w|| )
Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale?
Une matrice orthogonale est une matrice dont les vecteurs colonnes forment une base orthonormée.
Quel est l’inverse d’une matrice orthogonale?
L’inverse d’une matrice orthogonale est sa transposée.
Soit A une matrice orthogonale, que vaut A^T * A
La matrice identité
Si A et B sont orthogonales, AB est…
orthogonale
Si la matrice de passage P est orthogonale, son inverse est…
sa transposée
Si A est symétrique, comment donner une décomposition A = PDP^T ?
On commence par trouver le polynôme caractéristique de A.
On trouve ensuite les valeurs propres.
Pour chaque valeur propre, on trouve une base orthonormée. (Si on a 2 vecteurs propres pour une même valeur propre, on doit appliquer GS, si on a 1 seul vecteur, on a déjà une base orthogonale, donc on peut simplement diviser le vecteur par sa longueur)
On peut ensuite construire la matrice P à partir des vecteurs des bases orthonormées trouvées.
Comme P est orthogonale, P^-1 = P^T
Qu’est-ce qu’une transformation orthogonale?
Une transformation linéaire où pour tous u, v ∈ Rn
(T(u),T(v))) = ((u,v)
Dans une transformation orthogonale, qu’advient-il de la distance et de l’angle entre deux vecteurs?
Ils restent les mêmes
||T(u)|| = ||u||
d(T(u), T(v)) = d(u, v)
l’angle non orienté entre T(u) et T(v) reste le même que celui entre u et v
Une transformation orthogonale est un _____
automorphisme
Toute rotation de R3 est ___
orthogonale
Quelle est la condition pour que
[ρθu]{u_,u_,u_} =
| 1 0 0 |
| 0 cosθ - sinθ |
| 0 sinθ cosθ |det(u, v, w) > 0
Comment calculer une rotation de R3?
- On trouve un vecteur v ∈ R3 avec ((u,v)) = 0
- On calcule w = u ∧ v
- On obtient la base orthonormée {u1,u2,u3} (en divisant les trois vecteurs précédents par leur longueur)
- On a donc maintenant [ρ]{u1,u2,u3} := A
- Comme P = (u1 u2 u3) est orthogonal, on peut obtenir
[ρ]{e1,e2,e3} = PAP^T
Soit M un objet situé à la position [ a b c ] dans un repère caméra initial de R3, comment obtenir sa position dans le nouveau repère caméra après une rotation θ autour d’un vecteur non nul u?
B^T * [ a b c ]
