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S2 MAT193 > Chap. 7 Espaces euclidiens > Flashcards

Chap. 7 Espaces euclidiens Flashcards

1
Q

Comment trouver/Qu’est-ce que

le produit scalaire des vecteurs u et v?

A

((u,v)) = u^T * v

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Q

Comment trouver la longueur d’un vecteur u?

A

||u|| = √((u,u))

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3
Q

Un vecteur de de longueur 1 est dit…

A

unitaire

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4
Q

Un vecteur unitaire est un vecteur…

A

de longueur 1

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5
Q

Comment calculer la distance entre u et v (aussi notée d(u,v))?

A

||u − v||

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6
Q

Comment trouver l’angle non orienté entre u et v?

A

En calculant le

cosθ = ((u,v)) / ( ||u|| * ||v|| )

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7
Q

Si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, ceux-ci sont…

A

orthogonaux

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8
Q

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux (u ⊥ v) si…

A

leur produit scalaire est égal à 0

((u,v)) = 0

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9
Q

Si deux vecteurs sont orthogonaux, l’angle entre ces deux vecteurs est…

A

π/2

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10
Q

Si F est un sous-espace vectoriel, qu’est-ce que l’orthogonale de F?

A

F⊥ est l’ensemble des vecteurs u tel que u est orthogonal à v qui appartient à F.
F⊥ = {u ∈ Rn | u ⊥ v, pour tout v ∈ F}

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11
Q

Si F est un sous-espace vectoriel de Rn, quelle est la dimension de F⊥?

A

dim(F⊥) = n - dim(F)

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12
Q

Qu’est-ce qu’une famille orthogonale?

A

Une famille dont le produit scalaire d’un vecteur avec un autre est toujours 0.

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13
Q

Qu’est-ce qu’Une famille orthonormée?

A

Une famille orthogonale de vecteurs unitaires.

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14
Q

Une famille d’un seule vecteur est…

A

automatiquement orthogonale

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15
Q

{A1,…An} est orthogonale si et seulement si…

A

ATA est diagonale

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16
Q

{A1,…An} est orthonormée si et seulement si…

A

ATA est In

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17
Q

Comment obtenir une famille orthonormée à partir d’une famille orthogonale?

A

Diviser chaque vecteur de la famille par sa longueur pour obtenir des vecteurs unitaires.

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18
Q

Est-ce qu’une famille orthogonale est nécessairement libre?

A

Non, un vecteur peut être le double de l’autre. Tandis que pour une famille orthonormée, chaque vecteur doit avoir la même longueur (1) donc une famille orthonormée est nécessairement libre.

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19
Q

Comment obtenir une base orthonormée d’une droite vectorielle D de Rn engendrée par un vecteur u?

A

En divisant le vecteur u par sa longueur.

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20
Q

Soit F un sous-espace vectoriel de Rn, comment trouver la projection orthogonale de v sur F?

A

On doit avoir {u1, …, ur} qui est une base orthonormée de F. Ensuite on calcule la
projFv = ((u1,v))u1 + … + ((ur,v))ur

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21
Q

Soit D une droite vectorielle de Rn engendré par un vecteur u. Comment calculer la projection de v sur D?

A

projDv = [((u,v)) / ((u,u))] * u

22
Q

Soit F un sous-espace vectoriel, alors v ∈ F si et seulement si…

A

v = projFv = ((u1,v))u1 + … + ((ur,v))ur

23
Q

Comment obtenir une base orthogonale à partir d’une base quelconque?

A

En utilisant le procédé de Gram-Schmidt

24
Q

(Gram-Schmidt) v1 =

A

u1

25
Q

(Gram-Schmidt) v2 =

A

u2 - [((v1,u2))/((v1,v1))]v1

26
Q

(Gram-Schmidt) v3 =

A

u3 - [((v1,u3))/((v1,v1))]v1 - [((v2,u3))/((v2,v2))]v2

27
Q

Comment trouver les coordonnées de v dans la base orthonormée {u1,u2} de R2?

A

En applicant la même règle que pour trouver la projection orthogonale de v dans un sous-espace vectoriel.
v = projR2v = ((u1,v))u1 + ((u2,v))u2
Les coordonnées de v dans {u1,u2} seront donc
((u1,v)) et ((u2,v))

28
Q

Qu’est-ce que le procédé de Gram-Schmidt nous permet d’obtenir?

A

Une base orthogonale

29
Q

Comment obtenir une base orthonormée après avoir appliqué Gram-Schmidt?

A

Diviser chaque vecteur obtenu par sa longueur pour passer d’une base orthogonale à une base orthonormée.

30
Q

Comment obtenir une représentation QR d’une matrice A?

A

On doit commencer par trouver une base orthogonale de A avec GS. On doit ensuite la transformer en base orthonormée.

Finalement:
Q est formée des vecteurs de la base orthonormée
R est égal à Q^T * A car

Q^T * Q = I
donc
Q^T * A = Q^T * Q * R
Q^T * A = I * R
Q^T * A = R
31
Q

Soit P un plan vectoriel, qu’est-ce qu’un vecteur normal à P?

A

Un vecteur non-nul orthogonal à P.

32
Q

Soit P un plan vectoriel, comment appelle-t-on un vecteur non-nul orthogonal à P?

A

Un vecteur normal à P

33
Q

Comment calculer le produit vectoriel des vecteurs u et v ?

A

En calculant le déterminant suivant:

u ∧ v =
| u1 v1 e1 |
| u2 v2 e2 |
| u3 v3 e3 |

ATTETION! e1, e2 et e3 ici ne sont qu’une notation!

34
Q

Soit P un plan vectoriel engendré par u et v, comment trouver un vecteur normal au plan P ?

A

En calculant le produit vectoriel u ∧ v

35
Q

-(v ∧ u) = _____

A

(u ∧ v)

36
Q

Comment trouver une équation du plan vectoriel P engendré par u et v?

A

En calculant le produit vectoriel u ∧ v de P, les termes du vecteur résultant correspondent aux coefficient des variables x, y, z.

L’équation sera de la forme
_x + _y +_z = 0

37
Q

Soit L une droite vectorielle engendrée par u. Si v ∈ R3 et ((u,v))=0, comment trouver une base orthogonale de L^T?

A

En trouvant un deuxième vecteur (w) orthogonal à u en calculant le produit vectoriel u ∧ v.

38
Q

Soit L une droite vectorielle engendrée par u. Comment trouver une base orthogonale de R3?

A

En trouvant les solutions non-nulles du système homogène représenté par le seul vecteur que nous avons. Ex (1 1 1)
x + y + z = 0
Posons y = 1, z = 0 ….

39
Q

Comment trouver l’angle orienté de u à v par w = u ∧ v?

A 
cosθ = ((u,v)) /  ( ||u|| * ||v|| )
sinθ = det(u v w) / ( ||u|| * ||v|| * ||w|| )
40
Q

Qu’est-ce qu’une matrice orthogonale?

A

Une matrice orthogonale est une matrice dont les vecteurs colonnes forment une base orthonormée.

41
Q

Quel est l’inverse d’une matrice orthogonale?

A

L’inverse d’une matrice orthogonale est sa transposée.

42
Q

Soit A une matrice orthogonale, que vaut A^T * A

A

La matrice identité

43
Q

Si A et B sont orthogonales, AB est…

A

orthogonale

44
Q

Si la matrice de passage P est orthogonale, son inverse est…

A

sa transposée

45
Q

Si A est symétrique, comment donner une décomposition A = PDP^T ?

A

On commence par trouver le polynôme caractéristique de A.
On trouve ensuite les valeurs propres.
Pour chaque valeur propre, on trouve une base orthonormée. (Si on a 2 vecteurs propres pour une même valeur propre, on doit appliquer GS, si on a 1 seul vecteur, on a déjà une base orthogonale, donc on peut simplement diviser le vecteur par sa longueur)
On peut ensuite construire la matrice P à partir des vecteurs des bases orthonormées trouvées.
Comme P est orthogonale, P^-1 = P^T

46
Q

Qu’est-ce qu’une transformation orthogonale?

A

Une transformation linéaire où pour tous u, v ∈ Rn

(T(u),T(v))) = ((u,v)

47
Q

Dans une transformation orthogonale, qu’advient-il de la distance et de l’angle entre deux vecteurs?

A

Ils restent les mêmes
||T(u)|| = ||u||
d(T(u), T(v)) = d(u, v)
l’angle non orienté entre T(u) et T(v) reste le même que celui entre u et v

48
Q

Une transformation orthogonale est un _____

A

automorphisme

49
Q

Toute rotation de R3 est ___

A

orthogonale

50
Q 
Quelle est la condition pour que
[ρθu]{u_,u_,u_} = 
| 1 0 0 |
| 0 cosθ - sinθ |
| 0 sinθ cosθ |
A

det(u, v, w) > 0

51
Q

Comment calculer une rotation de R3?

A
  1. On trouve un vecteur v ∈ R3 avec ((u,v)) = 0
  2. On calcule w = u ∧ v
  3. On obtient la base orthonormée {u1,u2,u3} (en divisant les trois vecteurs précédents par leur longueur)
  4. On a donc maintenant [ρ]{u1,u2,u3} := A
  5. Comme P = (u1 u2 u3) est orthogonal, on peut obtenir
    [ρ]{e1,e2,e3} = PAP^T
52
Q

Soit M un objet situé à la position [ a b c ] dans un repère caméra initial de R3, comment obtenir sa position dans le nouveau repère caméra après une rotation θ autour d’un vecteur non nul u?

A

B^T * [ a b c ]

S2 MAT193 (5 decks)

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