Chap. 6 Diagonalisation Flashcards
Une matrice A ∈ Mn(R) est dite diagonalisable si…
s’il existe une matrice inversible P ∈ Mn(R) telle que P−1AP est diagonale.
Comment trouver le polynôme caractéristique de A?
χA(λ) = det(A − λIn)
Qu’est-ce que les racines?
Les racines sont les valeurs pour lesquelles le polynôme est égal à 0. a est une racine si f(a) = 0
Comment trouver les valeurs propres de A?
En calculant le polynôme caractéristique de A et en trouvant ses racines.
Comment trouver les racines d’un polynôme de degré n où n est plus grand ou égal à 3?
Trouver un diviseur x de c pour qui f(λ) = 0, diviser le polynôme de degré n par (λ - x) pour obtenir un polynôme de degré n-1, puis répéter le processus jusqu'à obtenir un polynôme de degré 2. Ex: f(λ) = λ^3 − 4λ^2 + λ + 6... f(-1) = 0 donc f(λ) = (λ + 1)(λ^2 − 5λ + 6) devient f(λ) = (λ + 1)(λ − 2)(λ − 3)
Comment trouver les vecteurs propres associés à une valeur propre?
En trouvant les solutions non nulles du système homogène (A − λ0In)X = 0
Comment appelle-t-on N(A − λ0In)?
L’espace propre de A associé à λ0
Comment appelle-t-on dim N(A−λ0In)
La multiplicité géométrique de λ0, noté mg(λ0)
Qu’est-ce que représente la mg(λ0)?
Le plus grand nombre de vecteurs propres linéairement indépendants de A associés à λ0.
Qu’est-ce qu’une base de N(A − λ0In)
Une famille libre MAXIMALE de vecteurs propres de A associés à λ0.
Que forment les vecteurs propres associés aux valeurs propres d’un polynôme?
Une matrice inversible P tel que P^-1AP = D.
De quoi est formé la matrice diagonale D?
Des valeurs propres associées aux vecteurs propres.
Quel autre nom porte une transformation linéaire diagonalisable?
Un changement d’échelle.
Qu’est-ce qui définit si une transformation linéaire est diagonalisable?
Une transformation linéaire est diagonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice de transformation est diagonale.
Comment représenter un réseau de n pages web?
En créant un graphe où les pages sont représentées par les entiers 1, 2, …, n et où un lien de la page i vers j est représenté par une flèche.
