Chap. 4 Espaces vectoriels Flashcards
Qu’est-ce qu’un sous-espace vectoriel?
Un sous-ensemble non vide F de E s’appelle sous-space vectoriel si les conditions suivantes sont vérifiées.
(1) Si u ∈ F et a ∈ R, alors au ∈ F.
(2) Si u, v ∈ F, alors u + v ∈ F.
Quels sont les sous-espaces vectoriels triviaux de E?
{0E} et E
Un sous-espace vectoriel de dimension 1 est…
une droite vectorielle
Un sous-espace vectoriel de dimension 2 est…
un plan vectoriel
Soit F un sous-espace vectoriel de E engendré par u1, …, ur, alors {u1, …, ur} est une base de F ssi…
{u1, …, ur} est libre
Comment se nomme le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de A?
L’espace-colonne de A, noté C(A)
Soit A ∈ Mm×n(R) de colonnes A1, . . . , An. Les conditions suivantes sont équivalentes
(1) A1, . . . , An forment une base de C(A).
(2) _______
(3) _______
(2) A1, . . . , An sont linéairement indépendantes.
(3) rg(A) = n, le nombre de colonnes de A.
Comment trouver une base d’un sous-espace vectoriel engendré par X vecteurs?
- Construire la matrice A à partir des X vecteurs
- L’échelonner
- Trouver dans quelles colonnes se trouvent les pivots
- Prendre les colonnes qui contenaient les pivots et former la base.
dim C(A) = ____
rg(A)
N (A) := ____
{u ∈ Rn | Au = 0}
l’ensemble des solutions du système homogène
espace-solution du système homogène AX = 0
Si AX=0 n’a aucune inconnue libre, N(A) = ?
null, et a pour base l’ensemble vide
Si AX=0 a s inconnues libres, combien de vecteurs comportera N(A) et comment les obtenir?
Il comportera s vecteurs et on les obtient en assignant la valeur 1 à une 1 inconnue libre et 0 aux autres, s fois.
Qu’est-ce qu’un vecteur de coordonnées homogènes?
Un vecteur dont le dernier élément agit comme diviseur des autres éléments pour obtenir le vecteur en question.
Qu’est-ce qu’un vecteur de coordonnées homogènes normalisé?
Un vecteur de coordonnées homogènes dont le dernier élément (diviseur) est 1.
Deux vecteurs sont affinement indépendants si…
leurs vecteurs de coordonnées homogènes normalisés sont linéairement indépendants.
Une famille affinement libre de Rn contient combien de vecteur au maximum?
n+1 vecteurs
Un vecteur u est un barycentre de u1, . . . , ur dans Rn
si, et seulement si…
…le vecteur û est une combinaison linéaire de û1, . . . , ûr dans Rn+1.
Quelle est la différence entre une droite affine et un segment?
Dans un segment, la valeur de t doit être entre 0 et 1.
Quelle est la formule, par compréhension, de la droite affine D(u1,u2)?
D(u1,u2) = {(1 − t)u1 + tu2 | t ∈ R}
Quelle est la formule, par compréhension, du segment δ(u1, u2)?
δ(u1, u2) = {(1 − t)u1 + tu2 | 0 ≤ t ≤ 1}
Comment obtenir une équation affine d’une droite affine D?
En posant un vecteur quelconque
u ∈ D si, et seulement si
u est un barycentre de u1, u2 si, et seulement si,
û est une combinaison linéaire de û1, û2 si, et seulement si,
rg( û1 û2) = rg( û1 û2 | û)
L’équation obtenue en bas à droite est l’équation affine. (p. 66)
Comment obtenir les équations paramétriques d’une droite affine D?
En isolant x et y dans la formule
u = tu1 + (1 − t)u2
(p. 66)
Quelle est la forme des équations paramétriques?
x = \_\_\_\_\_\_\_ y = \_\_\_\_\_\_\_ z = \_\_\_\_\_\_\_
Quelle est la différence entre un plan affine et un triangle de sommets u1, u2, u3?
0 ≤ s, t, s + t ≤ 1
Quelle est la formule, par compréhension, du plan affine P(u1, u2, u3)?
P(u1, u2, u3) = {(1 − s − t)u1 + su2 + tu3 | s, t ∈ R}
Quelle est la formule, par compréhension, du triangle ∆(u1, u2, u3)?
∆(u1, u2, u3 = {(1 − s − t)u1 + su2 + tu3 | 0 ≤ s, t, s + t ≤ 1}
Comment obtenir une équation affine d’un plan affine P?
En posant un vecteur quelconque
u ∈ P si, et seulement si
u est un barycentre de u1, u2, u3 si, et seulement si,
û est une combinaison linéaire de û1, û2, û3 si, et seulement si,
rg( û1 û2 û3) = rg( û1 û2 û3 | û)
L’équation obtenue en bas à droite est l’équation affine.
Comment obtenir les équations paramétriques d’un plan affine?
En isolant x, y et z dans la formule
u = (1 − s − t)u1 + su2 + tu3
Que signifie “Décrire le plan affine passant par u1, u2, u3” ?
Trouver les équations paramétriques
Soit ∆ un triangle coloré de sommets u1, u2, u3 auxquels les couleurs sont C1, C2, C3 respectivement. Si u ∈ ∆ dont les coordonnées barycentriques dans {u1, u2, u3}
sont a1, a2, a3 respectivement, alors quelle sera la couleur C à u?
C = a1C1 + a2C2 + a3C3
