Chap. 4 Espaces vectoriels

Question 1

Qu’est-ce qu’un sous-espace vectoriel?

Answer 1

Un sous-ensemble non vide F de E s’appelle sous-space vectoriel si les conditions suivantes sont vérifiées.

(1) Si u ∈ F et a ∈ R, alors au ∈ F.
(2) Si u, v ∈ F, alors u + v ∈ F.

Question 2

Quels sont les sous-espaces vectoriels triviaux de E?

Answer 2

{0E} et E

Question 3

Un sous-espace vectoriel de dimension 1 est…

Answer 3

une droite vectorielle

Question 4

Un sous-espace vectoriel de dimension 2 est…

Answer 4

un plan vectoriel

Question 5

Soit F un sous-espace vectoriel de E engendré par u1, …, ur, alors {u1, …, ur} est une base de F ssi…

Answer 5

{u1, …, ur} est libre

Question 6

Comment se nomme le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de A?

Answer 6

L’espace-colonne de A, noté C(A)

Question 7

Soit A ∈ Mm×n(R) de colonnes A1, . . . , An. Les conditions suivantes sont équivalentes

(1) A1, . . . , An forment une base de C(A).
(2) _______
(3) _______

Answer 7

(2) A1, . . . , An sont linéairement indépendantes.

(3) rg(A) = n, le nombre de colonnes de A.

Question 8

Comment trouver une base d’un sous-espace vectoriel engendré par X vecteurs?

Answer 8

1. Construire la matrice A à partir des X vecteurs
2. L’échelonner
3. Trouver dans quelles colonnes se trouvent les pivots
4. Prendre les colonnes qui contenaient les pivots et former la base.

Question 9

dim C(A) = ____

Answer 9

rg(A)

Question 10

N (A) := ____

Answer 10

{u ∈ Rn | Au = 0}
l’ensemble des solutions du système homogène
espace-solution du système homogène AX = 0

Question 11

Si AX=0 n’a aucune inconnue libre, N(A) = ?

Answer 11

null, et a pour base l’ensemble vide

Question 12

Si AX=0 a s inconnues libres, combien de vecteurs comportera N(A) et comment les obtenir?

Answer 12

Il comportera s vecteurs et on les obtient en assignant la valeur 1 à une 1 inconnue libre et 0 aux autres, s fois.

Question 13

Qu’est-ce qu’un vecteur de coordonnées homogènes?

Answer 13

Un vecteur dont le dernier élément agit comme diviseur des autres éléments pour obtenir le vecteur en question.

Question 14

Qu’est-ce qu’un vecteur de coordonnées homogènes normalisé?

Answer 14

Un vecteur de coordonnées homogènes dont le dernier élément (diviseur) est 1.

Question 15

Deux vecteurs sont affinement indépendants si…

Answer 15

leurs vecteurs de coordonnées homogènes normalisés sont linéairement indépendants.

Question 16

Une famille affinement libre de Rn contient combien de vecteur au maximum?

Answer 16

n+1 vecteurs

Question 17

Un vecteur u est un barycentre de u1, . . . , ur dans Rn

si, et seulement si…

Answer 17

…le vecteur û est une combinaison linéaire de û1, . . . , ûr dans Rn+1.

Question 18

Quelle est la différence entre une droite affine et un segment?

Answer 18

Dans un segment, la valeur de t doit être entre 0 et 1.

Question 19

Quelle est la formule, par compréhension, de la droite affine D(u1,u2)?

Answer 19

D(u1,u2) = {(1 − t)u1 + tu2 | t ∈ R}

Question 20

Quelle est la formule, par compréhension, du segment δ(u1, u2)?

Answer 20

δ(u1, u2) = {(1 − t)u1 + tu2 | 0 ≤ t ≤ 1}

Question 21

Comment obtenir une équation affine d’une droite affine D?

Answer 21

En posant un vecteur quelconque
u ∈ D si, et seulement si
u est un barycentre de u1, u2 si, et seulement si,
û est une combinaison linéaire de û1, û2 si, et seulement si,
rg( û1 û2) = rg( û1 û2 | û)

L’équation obtenue en bas à droite est l’équation affine. (p. 66)

Question 22

Comment obtenir les équations paramétriques d’une droite affine D?

Answer 22

En isolant x et y dans la formule
u = tu1 + (1 − t)u2
(p. 66)

Question 23

Quelle est la forme des équations paramétriques?

Answer 23

x = \_\_\_\_\_\_\_
y = \_\_\_\_\_\_\_
z = \_\_\_\_\_\_\_

Question 24

Quelle est la différence entre un plan affine et un triangle de sommets u1, u2, u3?

Answer 24

0 ≤ s, t, s + t ≤ 1

Question 25

Quelle est la formule, par compréhension, du plan affine P(u1, u2, u3)?

Answer 25

P(u1, u2, u3) = {(1 − s − t)u1 + su2 + tu3 | s, t ∈ R}

Question 26

Quelle est la formule, par compréhension, du triangle ∆(u1, u2, u3)?

Answer 26

∆(u1, u2, u3 = {(1 − s − t)u1 + su2 + tu3 | 0 ≤ s, t, s + t ≤ 1}

Question 27

Comment obtenir une équation affine d’un plan affine P?

Answer 27

En posant un vecteur quelconque
u ∈ P si, et seulement si
u est un barycentre de u1, u2, u3 si, et seulement si,
û est une combinaison linéaire de û1, û2, û3 si, et seulement si,
rg( û1 û2 û3) = rg( û1 û2 û3 | û)

L’équation obtenue en bas à droite est l’équation affine.

Question 28

Comment obtenir les équations paramétriques d’un plan affine?

Answer 28

En isolant x, y et z dans la formule

u = (1 − s − t)u1 + su2 + tu3

Question 29

Que signifie “Décrire le plan affine passant par u1, u2, u3” ?

Answer 29

Trouver les équations paramétriques

Question 30

Soit ∆ un triangle coloré de sommets u1, u2, u3 auxquels les couleurs sont C1, C2, C3 respectivement. Si u ∈ ∆ dont les coordonnées barycentriques dans {u1, u2, u3}
sont a1, a2, a3 respectivement, alors quelle sera la couleur C à u?

Answer 30

C = a1C1 + a2C2 + a3C3