Chap. 5 Applications linéaires

Question 1

T est surjective si et seulement si…

Answer 1

…rg(A) = dimension de l’ensemble d’arrivée

Question 2

T est injective si et seulement si…

Answer 2

…rg(A) = dimension de l’ensemble de départ

Question 3

Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet au plus une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…

Answer 3

injective

Question 4

Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet au moins une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…

Answer 4

surjective

Question 5

Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet EXACTEMENT une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…

Answer 5

bijective (donc injective ET surjective)

Question 6

S ◦ T : X → Z : ________.

Answer 6

x → S(T(x))

Question 7

On peut trouver l’inverse d’une application si celle-ci est

Answer 7

bijective

Question 8

Si T est bijective, alors T−1 ◦ T = ___

Answer 8

1le (Relation d’identité)

Question 9

Une application T : E → F est dite linéaire si, pour tous u, v ∈ E et a ∈ R, les conditions suivantes sont vérifiées:

Answer 9

T(u + v) = T(u) + T(v);

T(au) = a T(u).

Question 10

Une application T : R^n → R^m est linéaire si, et seulement si, T est définie par…

Answer 10

une matrice A ∈ Mm×n(R), c’est-à-dire, T est de la forme

T : R^n → R^m : u → Au

Question 11

Comment se nomme cette formule?

T : R^n → R^m : u → Au

Answer 11

La formule en coordonnées canoniques de T

Question 12

Si T et S sont deux applications linéaires, comment calculer rapidement S ◦ T?

Answer 12

En multipliant B et A, ex:
S ◦ T : Rn → Rp: u → (BA)u.
où B est la matrice définissant S
et A est la matrice définissant T

Question 13

Qu’est-ce qu’une transformation linéaire?

Answer 13

C’est une application linéaire dont l’ensemble de départ et d’arrivée est le même.

Question 14

Comment s’appelle une transformation linéaire bijective de l’ensemble quelconque E?

Answer 14

Un automorphisme (matrice de coordonnées est inversible)

Question 15

Soit T une transformation linéaire E. Soit {u1, . . . , un} une base de E. Comme T(u1), . . . , T(un) ∈ E, on obtient…

Answer 15

{T(u1),…,T(un)}
P
{u1,…,un}

:=

[T]{u1,…,un}

Question 16

Qu’arrive-t-il à la matrice de transformation linéaire si on change la base?

Answer 16

Elle change (Chaque base a sa propre matrice de transformation linéaire)

Question 17

Comment trouver la matrice de transformation linéaire de E dans une base à partir d’une autre?

Answer 17

Dans l’ensemble, on doit trouver la matrice de passage de la première base à la seconde (très facile si la première base est la base canonique), puis on multiplie les matrices correctement. FAIRE LE PETIT DESSIN!

Question 18

Comment trouver l’inverse d’une transformation linéaire?

Answer 18

Inverser sa matrice de coordonnées

Question 19

cos(0)

Answer 19

1

Question 20

cos(π/6)

Answer 20

√3 / 2

Question 21

cos(π/4)

Answer 21

√2 / 2

Question 22

cos(π/3)

Answer 22

1/2

Question 23

cos(π/2)

Answer 23

0

Question 24

sin(0)

Answer 24

0

Question 25

sin(π/6)

Answer 25

1/2

Question 26

sin(π/4)

Answer 26

√2 / 2

Question 27

sin(π/3)

Answer 27

√3 / 2

Question 28

sin(π/2)

Answer 28

1

Question 29

cos(2π + θ) = ____

Answer 29

cos(θ)

Question 30

sin(2π + θ) = ____

Answer 30

sin(θ)

Question 31

cos2(θ) + sin2(θ) = ____

Answer 31

1

Question 32

cos(π - θ)

Answer 32

-cos(θ)

Question 33

cos(π + θ)

Answer 33

-cos(θ)

Question 34

cos(-θ)

Answer 34

cos(θ)

Question 35

sin(π - θ)

Answer 35

sin(θ)

Question 36

sin(π + θ)

Answer 36

-sin(θ)

Question 37

sin(-θ)

Answer 37

-sin(θ)

Question 38

Quelle est la forme de l’automorphisme de la rotation du plan par un angle θ?

Answer 38

ρθ: R2 → R2 : (x y) →
cos(θ) -sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
(x y)

Question 39

Quelle est la forme de l’inverse de l’automorphisme de la rotation du plan par un angle θ?

Answer 39

ρθ-1: R2 → R2 : (x y) →
cos(θ) sin(θ)
-sin(θ) cos(θ)
(x y)

Question 40

Qu’est-ce qu’une transformation affine?

Answer 40

La transformation affine est le composé de la transformation linéaire par A et la translation de vecteur B.

Si A = In, alors T est la translation du vecteur B.
Si B est nul, alors T est la transformation linéaire par A.

Question 41

Comment construire la matrice en coordonnées homogènes de la transformation affine T ?

 = …

Answer 41

( A B )
( 0 1 )

Prendre la matrice A et y ajouter la colonne B. Sous les colonnes de A, ajouter des 0, et sous la colonne de B, ajouter un 1.

Question 42

Comment trouver la matrice en coordonnées homogènes de la projection perspective Pn où n != 0 ?

Answer 42

En construisant la matrice de la forme
( 1    0    0     0 )
( 0    1    0     0 )
( 0    0    1     0 )
( 0    0    1/n  0 )

Question 43

Comment trouver l’image, par une projection perspective, d’un vecteur u?

Answer 43

Multiplier la matrice en coordonnées homogènes de la projection perspective par le vecteur de coordonnées homogènes normalisées du vecteur u. Ensuite, on doit diviser chaque élément du vecteur résultant par le dernier élément pour obtenir le vecteur désiré.