Chap. 5 Applications linéaires Flashcards
T est surjective si et seulement si…
…rg(A) = dimension de l’ensemble d’arrivée
T est injective si et seulement si…
…rg(A) = dimension de l’ensemble de départ
Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet au plus une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…
injective
Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet au moins une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…
surjective
Soit T : X → Y
Si tout y ∈ Y admet EXACTEMENT une pré-image x ∈ X;
Cette application est dite…
bijective (donc injective ET surjective)
S ◦ T : X → Z : ________.
x → S(T(x))
On peut trouver l’inverse d’une application si celle-ci est
bijective
Si T est bijective, alors T−1 ◦ T = ___
1le (Relation d’identité)
Une application T : E → F est dite linéaire si, pour tous u, v ∈ E et a ∈ R, les conditions suivantes sont vérifiées:
T(u + v) = T(u) + T(v);
T(au) = a T(u).
Une application T : R^n → R^m est linéaire si, et seulement si, T est définie par…
une matrice A ∈ Mm×n(R), c’est-à-dire, T est de la forme
T : R^n → R^m : u → Au
Comment se nomme cette formule?
T : R^n → R^m : u → Au
La formule en coordonnées canoniques de T
Si T et S sont deux applications linéaires, comment calculer rapidement S ◦ T?
En multipliant B et A, ex:
S ◦ T : Rn → Rp: u → (BA)u.
où B est la matrice définissant S
et A est la matrice définissant T
Qu’est-ce qu’une transformation linéaire?
C’est une application linéaire dont l’ensemble de départ et d’arrivée est le même.
Comment s’appelle une transformation linéaire bijective de l’ensemble quelconque E?
Un automorphisme (matrice de coordonnées est inversible)
Soit T une transformation linéaire E. Soit {u1, . . . , un} une base de E. Comme T(u1), . . . , T(un) ∈ E, on obtient…
{T(u1),…,T(un)}
P
{u1,…,un}
:=
[T]{u1,…,un}
Qu’arrive-t-il à la matrice de transformation linéaire si on change la base?
Elle change (Chaque base a sa propre matrice de transformation linéaire)
Comment trouver la matrice de transformation linéaire de E dans une base à partir d’une autre?
Dans l’ensemble, on doit trouver la matrice de passage de la première base à la seconde (très facile si la première base est la base canonique), puis on multiplie les matrices correctement. FAIRE LE PETIT DESSIN!
Comment trouver l’inverse d’une transformation linéaire?
Inverser sa matrice de coordonnées
cos(0)
1
cos(π/6)
√3 / 2
cos(π/4)
√2 / 2
cos(π/3)
1/2
cos(π/2)
0
sin(0)
0
sin(π/6)
1/2
sin(π/4)
√2 / 2
sin(π/3)
√3 / 2
sin(π/2)
1
cos(2π + θ) = ____
cos(θ)
sin(2π + θ) = ____
sin(θ)
cos2(θ) + sin2(θ) = ____
1
cos(π - θ)
-cos(θ)
cos(π + θ)
-cos(θ)
cos(-θ)
cos(θ)
sin(π - θ)
sin(θ)
sin(π + θ)
-sin(θ)
sin(-θ)
-sin(θ)
Quelle est la forme de l’automorphisme de la rotation du plan par un angle θ?
ρθ: R2 → R2 : (x y) →
cos(θ) -sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
(x y)
Quelle est la forme de l’inverse de l’automorphisme de la rotation du plan par un angle θ?
ρθ-1: R2 → R2 : (x y) →
cos(θ) sin(θ)
-sin(θ) cos(θ)
(x y)
Qu’est-ce qu’une transformation affine?
La transformation affine est le composé de la transformation linéaire par A et la translation de vecteur B.
Si A = In, alors T est la translation du vecteur B.
Si B est nul, alors T est la transformation linéaire par A.
Comment construire la matrice en coordonnées homogènes de la transformation affine T ?
 = …
( A B )
( 0 1 )
Prendre la matrice A et y ajouter la colonne B. Sous les colonnes de A, ajouter des 0, et sous la colonne de B, ajouter un 1.
Comment trouver la matrice en coordonnées homogènes de la projection perspective Pn où n != 0 ?
En construisant la matrice de la forme ( 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 ) ( 0 0 1/n 0 )
Comment trouver l’image, par une projection perspective, d’un vecteur u?
Multiplier la matrice en coordonnées homogènes de la projection perspective par le vecteur de coordonnées homogènes normalisées du vecteur u. Ensuite, on doit diviser chaque élément du vecteur résultant par le dernier élément pour obtenir le vecteur désiré.
