AG2 Flashcards
cosa sono i sistemi lineari?
equazioni lineari ( composto con combinazioni lineari)
come si presenta un sistema indeterminato; determinato, impossibile, sovradeterminato, sottodeterminato, omogeneo?
fare esempi
come si calcola GDL?
n variabili - n pivot/vincoli
cos’è un vettore?
in algebra serve definire tramite l’operazione che può compiere, lo possono essere i polinomi e le funzioni continue, poichè appartengono ad uno spazio vettoriale
cos’è uno spazio vettoriale?
insieme di oggetti in cui sono definite le combinazioni lineari ( somma e prodotto per scalare) , infatti è algebricamente chiuso per le combinazioni lineari ( il risultato è ancora all’interno dello spazio)
definire un sottospazio vettoriale
inclusione di tipo anche algebrico, anch’esso chiuso rispetto combinazioni lineari, da dimostrare se si vuole dismostrare che sia un sottospazio vettoriale
provare a definire che W e sottospazio di R3
W composta da x, y, z c R3 tale che x+2y-z=0
fare calcoli
tutte le rette sono sottaspazi vettoriali di R2?
no, non lo sono quelle che non passano per l origine
quali sono i sottospazi vettoriali di R3?
piani e rette passanti per origine, R3, origine
definire l.d. e l.i.
definire
se compare vettore nullo: S è l.d o l.i.?
l.d. perche?
la proprietà di lineare dipendenza si trasferisce a un sottoinsieme?
no
cosa significa geometricamente che una terna è l.d.?
che i tre vettori sono complanari
definizione di span
il piu piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene tutti i vettori di S, che sono vettori generatori
definizione di base
due proprità: generativa ( span di S ipotizzata base, è uguale a V) e dunque l’insieme S è un insieme di generatori di V.
minimalità: l.i
definizione di dimensione
il numero di vettori di cui è composta una base ( tutte le basi hanno lo stesso numero) e le basi sono infinite
per trovare una base dato x+2y-z=0 cosa si fa?
si mette x+2y = z e si assegna 0 e 1 a x e y per ottenere z, e si ottiene una base fatta di due vettori, dimensione dunque 2
scrivere la dimostrazione del teorema di caratterizzazione delle basi di V in termini di unicità
teorema e dimostrazioni nei due versi
quali sono le possibilità di mutua posizione ( intersezione) per due piani che passano per l origine in R5?
origine, retta, coincidono
fornire esempi di spazi vettoriali con dimensione infinita
P insieme di tutti i polinomi, e C°(R) poichè P è contenuto in C°(R)
l’intersezione di sottospazi vettoriali è ancora un sottospazio vettoriale? e l’unione?
si per intersezione e no per unione, provare a dimostrare ( anche se tu hai visto solo una dimostrazione per ‘appartenenza’).
l’unione può essere sottospazio vettoriale solo se un’insieme contiene banalmente l’altro
le matrici sono spazi vettoriali?
si, per esempio indicare base e dimensione di matrice 3x3
qual è la condizione di compatibilità per il prodotto tra matrici? è un’operazione commutativa? che ‘dimensione’ ha il risultato?
è commutativa se è quadrata?
non è commutativo nemmeno se qudrata e la condizione è che il numero di colonne della prima deve esere lo stesso del numero di righe della seconda. il risultato ha righe quante la prima e colonne quante la seconda. come si calcola operativamente: indicare sommatoria
(A•B)^T (trasposto) a cosa è uguale ?
solo ed esclusivamente a (B^T)•(A^T) in questo ordine
quando una matrice è simmetrica?
quando A= A^T
come si caratterizza una matrice triangolare inferiore? e superiore? e diagonale?
aij=0 dove j>i, aij=0 dove i>j, aij=0 dove j>i e i>j ( si escude dunque solo la diagonale)
come si ‘crea’ la sottomatrice estratta Aij?
rimuovendo riga i e colonna j da matrice quadrata
che dimensione hanno le matrici M(n)?
n^2
che dimensione hanno le matrici simmetriche S(n)? e antisimmetriche AS(n)?
simm: (n(n+1))/2 antisimm: (n(n-1))/2
se si indica V=span(x, y), (x, y) è base di V?
SOLO se x e y sono l.i.
esprimere la formula di grassmann
dim(X+Y)= dim(X) + dim(Y) - dim(X intersecato Y)
ricordare la condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un insieme sia sottospazio vettoriale
l’origine, lo zero, deve appartenere a all’insieme
definizione di cofattore
numero che viene associato ad ogni elemento di una matrice, indicare come si calcola la matrice dei cofattori
determinante di una 2x2
ad-cb
determinante di una 3x3
sarrus .. scriverlo
come si calcola il determinante di una qualsiasi matrice? è valido per tutte le righe e le colonne?
spiegare e sì è valido per ogni colonna o riga, scegliere furbamente quella con maggior numeri di zero. scrivere sommatoria per i esima riga e j esima colonna
se righe e colonne della matrice sono l.d, come risulta il determinante? e l.i.?
l. d. > detA= 0
l. i. > detA NON è zero
cosa significa che il determinante è una funzione alternante?
il numero di scambi tra righe e colonne all’interno di una matrice ne determina il segno del determinante.
scambi di numero dispari > detA=-detB,
scambi di numero pari > detA=detB
data A cosa succede al determinante se si costituisce una matrice fatta da C che ha la prima riga(o colonna) formata dalla somma delle prime due di A e le altre tutte come A ?
detA=detC
vale per tutte le righe e le colonne
data A cosa succede al determinante se si costituisce una matrice fatta da C che ha la prima riga(o colonna) moltiplicata per uno scalare k e le altre tutte come A ?
detA=k•detC
det(kA)=k^n•detC
come si trova la base dell intersezione di due insiemi?
si prende il generico elemento di un insieme e si osserva quando questo appartiene al secondo insieme e se ne trovano i vettori indipendenti che formano la base
cosa afferma il teorema di binet? (proprietà)
che il det(A•B) = det(A)•det(B)
definizione di matrice inversa. è unica? come si calcola?
dal calcolo si deduce che la matrice di partenza deve essere singolare o no? perchè?
quale altro metodo si può utilizzare per calcolare un’inversa?
si è unica. def: data A, la matrice inversa A^-1 è tale se A•A^-1 = I (matrice identità)
e A^-1•A= I (matrice identità).
si calcola 1/detA• (A*)^T (trasposta)
dato il determinante al denominatore, la matrice deve essere con det disuguale da zero per esistere e dunque non singolare.
l’invesa si può anche calcolare affiancando alla matrice A la matrice identità e procedendo con eliminazione gaussiana si cerca di far diventare A la matrice identità, allora a desta comparirà A^-1
cosa caratterizza una matrice singolare?
detA=0 e dunque vettori l.d.
scrivere la formula per trovare la matrice inversa di una 2x2
scriverla ricavandola
cosa esprime la formula di leibnitz?
scrivere formulazione. vale sia per matrici singolari che non (bho) ?
cosa è il rango?
il numero di colonne o righe l.i. in una matrice
solo in quale caso il rango è zero?
solo in una matrice di zeri
come si trova il rango? e con quale algoritmo?
con l algoritmo di kronecker tale per cui si ricerca la piu grande sottomatrice non singolare ( det≠0 e l.i) orlando mano a mano e partendo da una 2x2. infatti la sottomatrice quadrata trovata ( la più grande) possiede n colonne e righe che corrispondono al rango stesso.
la sottomatrice che determina il rango è unica? e dunque quale connesione vi è tra rango e sottomatrice/i?
no, ogni sottomatrice che determina il rango è una base e dunque si puo dire che il rango corrisponde alla dimensione dello span della matrice. lo span contiene vettori l.i. di numero pari al rango
enunciare e dimostrare il teorema di cramer
dato un sistema lineare Ax=b, quadrato e non singolare, ammette soluzione unica x*=A^-1•b ( dimostrare questa formula) e dimostrare l unicità per assurdo
spiegare la regola di cramer e indicare quando è applicabile
applicabile in un sistema quadrato e non singolare. si usa per definire la i esima componente della soluzione calcolata con detAi/detA dove Ai è la matrice composta da A a cui la colonna i esima è stata sostituita con b
enunciare e dimostrare nei due versi Rouchè-Capelli. per quali sistemi e risolubile?
il sistema Ax=b è risolubile se e solo se rango di A è uguale al rango di A orlato b ovvero la matrice completa. risolubili per tutti anche non quadrati.
argomentare la condizione di compatibilità: il rango di una matrice, pari a quello della matrice completa
se è così significa che è possibile una soluzione e che vi è compatibilità, se in invece il rango della matrice orlata aumenta, allora il sist. è impossibile e non rispetta la condizione della matrice A.
regoletta per comprendere i parametri da cui dipende una soluzione di R-C
N, numero di variabili libere meno il rango (di un sistema risolubile) è il numero di parametri o gradi di libertà. la soluzione è un punto se la differenza è zero; una retta se 1; un piano se 2..
questo si può esprimere anche con la simbologia dell’infinito elevato alle n-r infinite soluzioni
come si determina il numero delle matrici che si orlano, gli orlati, per calcolare det nell’argoritmo di kronecker?
data una matrice (m,p) e la sottomatrice (n)
il numero delle matrici orlate da scrivere sono: (m-n)(p-n)
definizione di trasformazione lineare tra spazi vettoriali
esprimere il teorema e dimostrarlo nei due versi
è una funzione che ha due proprietà, addittività e omogeneità. scrivere queste due proprietà.
teo: una trasformazione è lineare (omogenea e additiva) se e solo se conserva le combinazioni lineari
scrivere un esempio di trasformazione lineare e dimostrarlo per: da R a R, da R2 a R, da R3 a R, da R3 a R2.
scrivere esempi
la derivata è una trasformazione lineare?
si, dimostralo nello spazio vettoriale di C infinito (R): funzioni derivabili infinite volte con derivate continue
teorema di rappresentazione (matrice che rappresenta la trasformazione)
dati gli spazi vettoriali Rn e Rm, i vettori e le basi, f è lineare se e solo se f(v) =A•v, ovvero se e solo se esiste un unica matrice A che rappresenta la trasformazione.
dimostrare entrambi i versi.
a cosa è uguale il det(kA)?
k^n•det(A) dove A=M(n)
come si definisce l’immagine di f, trasformazione lineare . Im(f)
perchè è importante che siano sottospazi vettoriali?
dato un vettore w del codominio, esiste un vettore v del dominio a cui la trasformazione f(v) associa w. Im(f) appartiene a W, codominio ed è sottospazio vettoriale di W. dimostrare che è sottospazio (lezione e esercitazione).
se f è lineare, allora il ker è sottospazio vettoriale
come si definisce kernel di f, trasformazione lineare. ker(f)
perchè è importante che sia sottospazi vettoriali?
dato un vettore v appartenente al dominio, f(v) è il kernel se è pari al vettore nullo di w.
ker(f) appartiene al dominio V ed è sottospazio vettoriale di V. dimostrare che è sottospazio (lezione e esercitazione)
se f è lineare, allora im(f) è sottospazio vettoriale
caratterizzazione di iniettivita, suriettività e ker(f), Im(f)
f è suriettiva se e solo se Im(f) =W
per definizione di suriettività.
f è iniettiva se e solo se ker(f) = {o}.
dimostralo nei due versi
cosa sono le colonne della matrice di rappresentazione?
le colonne rappresentano le immagini tramite f, ovvero i vettori della base canonica del dominio
esiste la matrice rappresentativa di un dominio o codominio che ha dimensione infinita?
no
dare definizioni negli spazi euclidei di funzione iniettiva e suriettiva
si preservano elementi distinti;
se l immagine invade il codominio , coincide con il codominio. fare esempio
come si chiamo dimensione di ker e immagine
e cosa dice il teorema della loro somma
se f è lineare, allora nullità + rango = n con n pari alla dimensione del dominio.
dimostrarlo
ricordare che il rango è pari al rango di A se si sta parlando di spazi vettoriali per V e W.
cos’è un endomorfismo?
è una trasformazione lineare di una stazio vettoriale in se stesso poichè dominio e codominio coincidono. la matrice A è dunque sempre quadrata.
in un endomorfismo come si caratterizza iniettività a suriettività?
se A è singolare ( detA=0) allora non sarà nè iniettiva, nè suriettiva perchè il rrango sarà sicuramente minore di quello di A, poichè il vettore nullo è l.d. e di conseguenza la nullità non puo risultare zero.
se A invece è non singolare, sarà garantita biettività, iniettività e suriettività, perchè il rango di A corrisponderà alla dimenzione dell’immagine e la nullità pari a zero.
all’interno degli endomordismi/ automorfisi come si possono definire gli autovettori:
e dunque un sistema: omogeneo o no?
la matrice dei coef deve essere singolare? perchè?
cosa risulta dal calcolo del determinante?
e cosa sono gli autovalori ? quanti sono ?
sono direzioni privilegiate che possono dilatarsi, ma non ruotare. esiste v tale che, diverso da zero, f(v)=lambda v e dunque Av=lambdav. tale sistema deve esere omogeneo e si puo riscrivere esplicitando la matrice dei coeficienti, il cui det deve risultare zero ( deve essere singolare) per non avere risultati banali .
il det calcola un polinomio e rispettiva equazione caratteristica di f rappresentata dalla matrice che posside in lambda grano n=dimensione di V. le soluzioni dell’equazione caratteristica si chiamano autovalori, e sono di numero n, per il teorema fondamentale dell’algebra
nel calcolo degli autovalori, quali caratteristica hanno le matrici triagolari ?
il valore degli autovalori s trovano sulla diagonale
enunciare il teorema relativo agli autospazi
ad ogni autovalore, vi è un insime di autovettori (compreso il vettor nullo) che è un sotttospazio vettoriale di Rn, detto autospazio. dimostrarlo
definire molteplicità geometrica. qual è il valore minimo? e algebrica. come si definisce l’autovalore se uguale a uno?
a cosa sono riferiti?
sono riferite agli autovalori, la geometrica corrisponde alla dimensione dell’autospazio associato e il minimo è 1, invece l’algebrica si riferisce al numero di volte che l’autovalore compare come soluzione. l’autovalore viene detto semplice se l’algebrica è uguale a uno.
quando un autovalore è regolare?
quando molteplicità geometrica e algebrica coincidono
cosa hanno in comune autospazi di autovettori diversi?
solo l’origine
dimostrare che autovettori di auvalori diversi sono l.i.
dimostrare per assurdo
come sono le soluzioni del polinomio caratteristico se complesse?
sono coniugate!
come varia la rappresentazione di autovettori complessi? e la molteplicità geometrica?
non si può rapppresentare sul piano reale e quindinon esiste propriamente una molteplicità geometrica. in generale, la retta non è fissa ma ruota
qual’è l’autospazio di lambda=0?
è il ker(f)
come si imposta un problema in cui viene chiesto al variare di k, una base costituita da autovettori?
trovati gli autovalori bisogna scegliere il parametro k per fare in modo che esista una base di autovettori. potrebbe non esistere perche gli autovettori sono complessi oppure perchè si è di fronte a un difetto di molteplicità
considerando una matrice come si definisce la traccia di A? Qual è la relazione con gli autovalori?
tr(A) è la somma degli elementi sulla diagonale e la somma degli autovalori
considerando una matrice qual è la relazione tra il determinante e con gli autovalori?
det A è il prodotto degli autovalori
definire la similitudine tra matrici
è una proprietà simmetrica?
simili se esiste una terza matrice P non singolare di cui esiste quindi l inversa tale che P^-1 •A•P = B
ed è simmetrica: perche?
se A e B sono simili, allora?
hanno gli autovalori uguali. dimostrarlo
quando un amatrice è diagonalizzabile? qual’è la condizione necesaria. e suffici?
è diagonalizzabile quando è simile ad una matrice diagonale. condizione è che esistano n autovettori l.i. di A, dimostare entrambi i versi
spiegare il cambiamento di base, tra vettori e poi tra trasformazioni
uso delle matrici per cambiare sist di riferimento
quale particolarità possiedono gli autospazi delle matrici simmetriche?
sono ortogonali
scrivere e dimostrare velocemente la proprietà che lega moltoplicazioni tra vettori colonne e matrici con trasfposti
estendere poi al caso di matrice simmetrica
enunciale il teorema spettrale e dimostrare delle tre implicazioni, la prima e la terza
se una matrice è simmetrica, allora
- possiede autovalori reali
- possiede autovalori regolari ( non ha difetti di molt. e si può diagonalizzare)
- possiede autospazi ortogonali
quando una matrice è ortogolale?
se U^-1 è U^T.
come si chiama e cosa esprime la matrice delle derivate seconde?
hessiana, il segno degli autovalori di questa matrice simmetrica insica la concavità di una superficie non lineare
come si può riformulare il teorema spettrale?
ogni matrice simmetrica è ortogolanmente diagonalizzabile con un amatrice reale ( scriverlo in linguaggio matematic)
se una matrice è ortogolanmente diagonalizzabile, allora?
è simmetrica. dimostrarlo
dimostrare per induzione la serie geometrica
su su
dimostrare la seconda implicazione del teorema spettrale per induzione
scrivere per bene
cosa sono e come si costruiscono le forme quadratiche nel campo della non linearità
sono plinomi in Rn dove ogni addendo è quadratico e sono funzioni non lineari
quando una forma quadratica è definita positiva, quando negativa, quando indefinita, quando è semidefinita positiva e quando semi definita negativa? definizioni
- quando tutte le valutazioni sono positive tranne origine
- quando sono negative
- quando ci sono entrambe le valutazioni
- quando almeno un autovalore è zero e gli altri posiviti
- e gli altri negativi
come si rappresenta la forma quadratica in termini matriciali?
q(v) = v^T•A•v con A pari ai coefficienti
dimostrarlo
enunciare il teorema e la dimostrazione del legame tra segno della forma quadratica e autovalori
data la forma quadratica, il segno dipende dagli autovalori della matrice
- tutti positivi, è definita positiva
- tutti negativi è def negativa
- entrambi: indefinita
per sapere se una forma quadratica è definita +, -, indefinita, è necesssario risolvere equazione caratteristica? in caso n=2 o superiori?
no, se n = 2, si osserva la traccia e il determinante
- entrambi positivi: è def +
- det positivo e traccia negativa: è def -
- det negativo: indefinita.
per n>2 invece si usa la regola di Silvester per cui si calcolano i determinanti dei minori di nord-ovest.
- tutti positivi: def positiva
- segno alternato e il primo negativo: è def negativa
