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INGEGNERIA > AG2 > Flashcards

AG2 Flashcards

1
Q

cosa sono i sistemi lineari?

A

equazioni lineari ( composto con combinazioni lineari)

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2
Q

come si presenta un sistema indeterminato; determinato, impossibile, sovradeterminato, sottodeterminato, omogeneo?

A

fare esempi

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3
Q

come si calcola GDL?

A

n variabili - n pivot/vincoli

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4
Q

cos’è un vettore?

A

in algebra serve definire tramite l’operazione che può compiere, lo possono essere i polinomi e le funzioni continue, poichè appartengono ad uno spazio vettoriale

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5
Q

cos’è uno spazio vettoriale?

A

insieme di oggetti in cui sono definite le combinazioni lineari ( somma e prodotto per scalare) , infatti è algebricamente chiuso per le combinazioni lineari ( il risultato è ancora all’interno dello spazio)

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6
Q

definire un sottospazio vettoriale

A

inclusione di tipo anche algebrico, anch’esso chiuso rispetto combinazioni lineari, da dimostrare se si vuole dismostrare che sia un sottospazio vettoriale

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7
Q

provare a definire che W e sottospazio di R3

W composta da x, y, z c R3 tale che x+2y-z=0

A

fare calcoli

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8
Q

tutte le rette sono sottaspazi vettoriali di R2?

A

no, non lo sono quelle che non passano per l origine

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9
Q

quali sono i sottospazi vettoriali di R3?

A

piani e rette passanti per origine, R3, origine

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10
Q

definire l.d. e l.i.

A

definire

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11
Q

se compare vettore nullo: S è l.d o l.i.?

A

l.d. perche?

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12
Q

la proprietà di lineare dipendenza si trasferisce a un sottoinsieme?

A

no

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13
Q

cosa significa geometricamente che una terna è l.d.?

A

che i tre vettori sono complanari

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14
Q

definizione di span

A

il piu piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene tutti i vettori di S, che sono vettori generatori

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15
Q

definizione di base

A

due proprità: generativa ( span di S ipotizzata base, è uguale a V) e dunque l’insieme S è un insieme di generatori di V.
minimalità: l.i

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16
Q

definizione di dimensione

A

il numero di vettori di cui è composta una base ( tutte le basi hanno lo stesso numero) e le basi sono infinite

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17
Q

per trovare una base dato x+2y-z=0 cosa si fa?

A

si mette x+2y = z e si assegna 0 e 1 a x e y per ottenere z, e si ottiene una base fatta di due vettori, dimensione dunque 2

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18
Q

scrivere la dimostrazione del teorema di caratterizzazione delle basi di V in termini di unicità

A

teorema e dimostrazioni nei due versi

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19
Q

quali sono le possibilità di mutua posizione ( intersezione) per due piani che passano per l origine in R5?

A

origine, retta, coincidono

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20
Q

fornire esempi di spazi vettoriali con dimensione infinita

A

P insieme di tutti i polinomi, e C°(R) poichè P è contenuto in C°(R)

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21
Q

l’intersezione di sottospazi vettoriali è ancora un sottospazio vettoriale? e l’unione?

A

si per intersezione e no per unione, provare a dimostrare ( anche se tu hai visto solo una dimostrazione per ‘appartenenza’).
l’unione può essere sottospazio vettoriale solo se un’insieme contiene banalmente l’altro

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22
Q

le matrici sono spazi vettoriali?

A

si, per esempio indicare base e dimensione di matrice 3x3

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23
Q

qual è la condizione di compatibilità per il prodotto tra matrici? è un’operazione commutativa? che ‘dimensione’ ha il risultato?
è commutativa se è quadrata?

A

non è commutativo nemmeno se qudrata e la condizione è che il numero di colonne della prima deve esere lo stesso del numero di righe della seconda. il risultato ha righe quante la prima e colonne quante la seconda. come si calcola operativamente: indicare sommatoria

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24
Q

(A•B)^T (trasposto) a cosa è uguale ?

A

solo ed esclusivamente a (B^T)•(A^T) in questo ordine

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25
Q

quando una matrice è simmetrica?

A

quando A= A^T

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26
Q

come si caratterizza una matrice triangolare inferiore? e superiore? e diagonale?

A

aij=0 dove j>i, aij=0 dove i>j, aij=0 dove j>i e i>j ( si escude dunque solo la diagonale)

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27
Q

come si ‘crea’ la sottomatrice estratta Aij?

A

rimuovendo riga i e colonna j da matrice quadrata

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28
Q

che dimensione hanno le matrici M(n)?

A

n^2

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29
Q

che dimensione hanno le matrici simmetriche S(n)? e antisimmetriche AS(n)?

A

simm: (n(n+1))/2 antisimm: (n(n-1))/2

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30
Q

se si indica V=span(x, y), (x, y) è base di V?

A

SOLO se x e y sono l.i.

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31
Q

esprimere la formula di grassmann

A

dim(X+Y)= dim(X) + dim(Y) - dim(X intersecato Y)

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32
Q

ricordare la condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un insieme sia sottospazio vettoriale

A

l’origine, lo zero, deve appartenere a all’insieme

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33
Q

definizione di cofattore

A

numero che viene associato ad ogni elemento di una matrice, indicare come si calcola la matrice dei cofattori

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34
Q

determinante di una 2x2

A

ad-cb

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35
Q

determinante di una 3x3

A

sarrus .. scriverlo

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36
Q

come si calcola il determinante di una qualsiasi matrice? è valido per tutte le righe e le colonne?

A

spiegare e sì è valido per ogni colonna o riga, scegliere furbamente quella con maggior numeri di zero. scrivere sommatoria per i esima riga e j esima colonna

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37
Q

se righe e colonne della matrice sono l.d, come risulta il determinante? e l.i.?

A

l. d. > detA= 0

l. i. > detA NON è zero

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38
Q

cosa significa che il determinante è una funzione alternante?

A

il numero di scambi tra righe e colonne all’interno di una matrice ne determina il segno del determinante.
scambi di numero dispari > detA=-detB,
scambi di numero pari > detA=detB

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39
Q

data A cosa succede al determinante se si costituisce una matrice fatta da C che ha la prima riga(o colonna) formata dalla somma delle prime due di A e le altre tutte come A ?

A

detA=detC

vale per tutte le righe e le colonne

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40
Q

data A cosa succede al determinante se si costituisce una matrice fatta da C che ha la prima riga(o colonna) moltiplicata per uno scalare k e le altre tutte come A ?

A

detA=k•detC

det(kA)=k^n•detC

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41
Q

come si trova la base dell intersezione di due insiemi?

A

si prende il generico elemento di un insieme e si osserva quando questo appartiene al secondo insieme e se ne trovano i vettori indipendenti che formano la base

42
Q

cosa afferma il teorema di binet? (proprietà)

A

che il det(A•B) = det(A)•det(B)

43
Q

definizione di matrice inversa. è unica? come si calcola?
dal calcolo si deduce che la matrice di partenza deve essere singolare o no? perchè?
quale altro metodo si può utilizzare per calcolare un’inversa?

A

si è unica. def: data A, la matrice inversa A^-1 è tale se A•A^-1 = I (matrice identità)
e A^-1•A= I (matrice identità).
si calcola 1/detA• (A*)^T (trasposta)
dato il determinante al denominatore, la matrice deve essere con det disuguale da zero per esistere e dunque non singolare.
l’invesa si può anche calcolare affiancando alla matrice A la matrice identità e procedendo con eliminazione gaussiana si cerca di far diventare A la matrice identità, allora a desta comparirà A^-1

44
Q

cosa caratterizza una matrice singolare?

A

detA=0 e dunque vettori l.d.

45
Q

scrivere la formula per trovare la matrice inversa di una 2x2

A

scriverla ricavandola

46
Q

cosa esprime la formula di leibnitz?

A

scrivere formulazione. vale sia per matrici singolari che non (bho) ?

47
Q

cosa è il rango?

A

il numero di colonne o righe l.i. in una matrice

48
Q

solo in quale caso il rango è zero?

A

solo in una matrice di zeri

49
Q

come si trova il rango? e con quale algoritmo?

A

con l algoritmo di kronecker tale per cui si ricerca la piu grande sottomatrice non singolare ( det≠0 e l.i) orlando mano a mano e partendo da una 2x2. infatti la sottomatrice quadrata trovata ( la più grande) possiede n colonne e righe che corrispondono al rango stesso.

50
Q

la sottomatrice che determina il rango è unica? e dunque quale connesione vi è tra rango e sottomatrice/i?

A

no, ogni sottomatrice che determina il rango è una base e dunque si puo dire che il rango corrisponde alla dimensione dello span della matrice. lo span contiene vettori l.i. di numero pari al rango

51
Q

enunciare e dimostrare il teorema di cramer

A

dato un sistema lineare Ax=b, quadrato e non singolare, ammette soluzione unica x*=A^-1•b ( dimostrare questa formula) e dimostrare l unicità per assurdo

52
Q

spiegare la regola di cramer e indicare quando è applicabile

A

applicabile in un sistema quadrato e non singolare. si usa per definire la i esima componente della soluzione calcolata con detAi/detA dove Ai è la matrice composta da A a cui la colonna i esima è stata sostituita con b

53
Q

enunciare e dimostrare nei due versi Rouchè-Capelli. per quali sistemi e risolubile?

A

il sistema Ax=b è risolubile se e solo se rango di A è uguale al rango di A orlato b ovvero la matrice completa. risolubili per tutti anche non quadrati.

54
Q

argomentare la condizione di compatibilità: il rango di una matrice, pari a quello della matrice completa

A

se è così significa che è possibile una soluzione e che vi è compatibilità, se in invece il rango della matrice orlata aumenta, allora il sist. è impossibile e non rispetta la condizione della matrice A.

55
Q

regoletta per comprendere i parametri da cui dipende una soluzione di R-C

A

N, numero di variabili libere meno il rango (di un sistema risolubile) è il numero di parametri o gradi di libertà. la soluzione è un punto se la differenza è zero; una retta se 1; un piano se 2..
questo si può esprimere anche con la simbologia dell’infinito elevato alle n-r infinite soluzioni

56
Q

come si determina il numero delle matrici che si orlano, gli orlati, per calcolare det nell’argoritmo di kronecker?

A

data una matrice (m,p) e la sottomatrice (n)

il numero delle matrici orlate da scrivere sono: (m-n)(p-n)

57
Q

definizione di trasformazione lineare tra spazi vettoriali

esprimere il teorema e dimostrarlo nei due versi

A

è una funzione che ha due proprietà, addittività e omogeneità. scrivere queste due proprietà.
teo: una trasformazione è lineare (omogenea e additiva) se e solo se conserva le combinazioni lineari

58
Q 
scrivere un esempio di trasformazione lineare e dimostrarlo per:
da R a R,
da R2 a R, 
da R3 a R,
da R3 a R2.
A

scrivere esempi

59
Q

la derivata è una trasformazione lineare?

A

si, dimostralo nello spazio vettoriale di C infinito (R): funzioni derivabili infinite volte con derivate continue

60
Q

teorema di rappresentazione (matrice che rappresenta la trasformazione)

A

dati gli spazi vettoriali Rn e Rm, i vettori e le basi, f è lineare se e solo se f(v) =A•v, ovvero se e solo se esiste un unica matrice A che rappresenta la trasformazione.
dimostrare entrambi i versi.

61
Q

a cosa è uguale il det(kA)?

A

k^n•det(A) dove A=M(n)

62
Q

come si definisce l’immagine di f, trasformazione lineare . Im(f)
perchè è importante che siano sottospazi vettoriali?

A

dato un vettore w del codominio, esiste un vettore v del dominio a cui la trasformazione f(v) associa w. Im(f) appartiene a W, codominio ed è sottospazio vettoriale di W. dimostrare che è sottospazio (lezione e esercitazione).
se f è lineare, allora il ker è sottospazio vettoriale

63
Q

come si definisce kernel di f, trasformazione lineare. ker(f)
perchè è importante che sia sottospazi vettoriali?

A

dato un vettore v appartenente al dominio, f(v) è il kernel se è pari al vettore nullo di w.
ker(f) appartiene al dominio V ed è sottospazio vettoriale di V. dimostrare che è sottospazio (lezione e esercitazione)
se f è lineare, allora im(f) è sottospazio vettoriale

64
Q

caratterizzazione di iniettivita, suriettività e ker(f), Im(f)

A

f è suriettiva se e solo se Im(f) =W
per definizione di suriettività.
f è iniettiva se e solo se ker(f) = {o}.
dimostralo nei due versi

65
Q

cosa sono le colonne della matrice di rappresentazione?

A

le colonne rappresentano le immagini tramite f, ovvero i vettori della base canonica del dominio

66
Q

esiste la matrice rappresentativa di un dominio o codominio che ha dimensione infinita?

A

no

67
Q

dare definizioni negli spazi euclidei di funzione iniettiva e suriettiva

A

si preservano elementi distinti;

se l immagine invade il codominio , coincide con il codominio. fare esempio

68
Q

come si chiamo dimensione di ker e immagine

e cosa dice il teorema della loro somma

A

se f è lineare, allora nullità + rango = n con n pari alla dimensione del dominio.
dimostrarlo
ricordare che il rango è pari al rango di A se si sta parlando di spazi vettoriali per V e W.

69
Q

cos’è un endomorfismo?

A

è una trasformazione lineare di una stazio vettoriale in se stesso poichè dominio e codominio coincidono. la matrice A è dunque sempre quadrata.

70
Q

in un endomorfismo come si caratterizza iniettività a suriettività?

A

se A è singolare ( detA=0) allora non sarà nè iniettiva, nè suriettiva perchè il rrango sarà sicuramente minore di quello di A, poichè il vettore nullo è l.d. e di conseguenza la nullità non puo risultare zero.
se A invece è non singolare, sarà garantita biettività, iniettività e suriettività, perchè il rango di A corrisponderà alla dimenzione dell’immagine e la nullità pari a zero.

71
Q

all’interno degli endomordismi/ automorfisi come si possono definire gli autovettori:
e dunque un sistema: omogeneo o no?
la matrice dei coef deve essere singolare? perchè?
cosa risulta dal calcolo del determinante?
e cosa sono gli autovalori ? quanti sono ?

A

sono direzioni privilegiate che possono dilatarsi, ma non ruotare. esiste v tale che, diverso da zero, f(v)=lambda v e dunque Av=lambdav. tale sistema deve esere omogeneo e si puo riscrivere esplicitando la matrice dei coeficienti, il cui det deve risultare zero ( deve essere singolare) per non avere risultati banali .
il det calcola un polinomio e rispettiva equazione caratteristica di f rappresentata dalla matrice che posside in lambda grano n=dimensione di V. le soluzioni dell’equazione caratteristica si chiamano autovalori, e sono di numero n, per il teorema fondamentale dell’algebra

72
Q

nel calcolo degli autovalori, quali caratteristica hanno le matrici triagolari ?

A

il valore degli autovalori s trovano sulla diagonale

73
Q

enunciare il teorema relativo agli autospazi

A

ad ogni autovalore, vi è un insime di autovettori (compreso il vettor nullo) che è un sotttospazio vettoriale di Rn, detto autospazio. dimostrarlo

74
Q

definire molteplicità geometrica. qual è il valore minimo? e algebrica. come si definisce l’autovalore se uguale a uno?
a cosa sono riferiti?

A

sono riferite agli autovalori, la geometrica corrisponde alla dimensione dell’autospazio associato e il minimo è 1, invece l’algebrica si riferisce al numero di volte che l’autovalore compare come soluzione. l’autovalore viene detto semplice se l’algebrica è uguale a uno.

75
Q

quando un autovalore è regolare?

A

quando molteplicità geometrica e algebrica coincidono

76
Q

cosa hanno in comune autospazi di autovettori diversi?

A

solo l’origine

77
Q

dimostrare che autovettori di auvalori diversi sono l.i.

A

dimostrare per assurdo

78
Q

come sono le soluzioni del polinomio caratteristico se complesse?

A

sono coniugate!

79
Q

come varia la rappresentazione di autovettori complessi? e la molteplicità geometrica?

A

non si può rapppresentare sul piano reale e quindinon esiste propriamente una molteplicità geometrica. in generale, la retta non è fissa ma ruota

80
Q

qual’è l’autospazio di lambda=0?

A

è il ker(f)

81
Q

come si imposta un problema in cui viene chiesto al variare di k, una base costituita da autovettori?

A

trovati gli autovalori bisogna scegliere il parametro k per fare in modo che esista una base di autovettori. potrebbe non esistere perche gli autovettori sono complessi oppure perchè si è di fronte a un difetto di molteplicità

82
Q

considerando una matrice come si definisce la traccia di A? Qual è la relazione con gli autovalori?

A

tr(A) è la somma degli elementi sulla diagonale e la somma degli autovalori

83
Q

considerando una matrice qual è la relazione tra il determinante e con gli autovalori?

A

det A è il prodotto degli autovalori

84
Q

definire la similitudine tra matrici

è una proprietà simmetrica?

A

simili se esiste una terza matrice P non singolare di cui esiste quindi l inversa tale che P^-1 •A•P = B
ed è simmetrica: perche?

85
Q

se A e B sono simili, allora?

A

hanno gli autovalori uguali. dimostrarlo

86
Q

quando un amatrice è diagonalizzabile? qual’è la condizione necesaria. e suffici?

A

è diagonalizzabile quando è simile ad una matrice diagonale. condizione è che esistano n autovettori l.i. di A, dimostare entrambi i versi

87
Q

spiegare il cambiamento di base, tra vettori e poi tra trasformazioni

A

uso delle matrici per cambiare sist di riferimento

88
Q

quale particolarità possiedono gli autospazi delle matrici simmetriche?

A

sono ortogonali

89
Q

scrivere e dimostrare velocemente la proprietà che lega moltoplicazioni tra vettori colonne e matrici con trasfposti

A

estendere poi al caso di matrice simmetrica

90
Q

enunciale il teorema spettrale e dimostrare delle tre implicazioni, la prima e la terza

A

se una matrice è simmetrica, allora

  1. possiede autovalori reali
  2. possiede autovalori regolari ( non ha difetti di molt. e si può diagonalizzare)
  3. possiede autospazi ortogonali
91
Q

quando una matrice è ortogolale?

A

se U^-1 è U^T.

92
Q

come si chiama e cosa esprime la matrice delle derivate seconde?

A

hessiana, il segno degli autovalori di questa matrice simmetrica insica la concavità di una superficie non lineare

93
Q

come si può riformulare il teorema spettrale?

A

ogni matrice simmetrica è ortogolanmente diagonalizzabile con un amatrice reale ( scriverlo in linguaggio matematic)

94
Q

se una matrice è ortogolanmente diagonalizzabile, allora?

A

è simmetrica. dimostrarlo

95
Q

dimostrare per induzione la serie geometrica

A

su su

96
Q

dimostrare la seconda implicazione del teorema spettrale per induzione

A

scrivere per bene

97
Q

cosa sono e come si costruiscono le forme quadratiche nel campo della non linearità

A

sono plinomi in Rn dove ogni addendo è quadratico e sono funzioni non lineari

98
Q

quando una forma quadratica è definita positiva, quando negativa, quando indefinita, quando è semidefinita positiva e quando semi definita negativa? definizioni

A
  1. quando tutte le valutazioni sono positive tranne origine
  2. quando sono negative
  3. quando ci sono entrambe le valutazioni
  4. quando almeno un autovalore è zero e gli altri posiviti
  5. e gli altri negativi
99
Q

come si rappresenta la forma quadratica in termini matriciali?

A

q(v) = v^T•A•v con A pari ai coefficienti

dimostrarlo

100
Q

enunciare il teorema e la dimostrazione del legame tra segno della forma quadratica e autovalori

A

data la forma quadratica, il segno dipende dagli autovalori della matrice

  1. tutti positivi, è definita positiva
  2. tutti negativi è def negativa
  3. entrambi: indefinita
101
Q

per sapere se una forma quadratica è definita +, -, indefinita, è necesssario risolvere equazione caratteristica? in caso n=2 o superiori?

A

no, se n = 2, si osserva la traccia e il determinante

  1. entrambi positivi: è def +
  2. det positivo e traccia negativa: è def -
  3. det negativo: indefinita.

per n>2 invece si usa la regola di Silvester per cui si calcolano i determinanti dei minori di nord-ovest.

  1. tutti positivi: def positiva
  2. segno alternato e il primo negativo: è def negativa

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