AG2 Flashcards
cosa sono i sistemi lineari?
equazioni lineari ( composto con combinazioni lineari)
come si presenta un sistema indeterminato; determinato, impossibile, sovradeterminato, sottodeterminato, omogeneo?
fare esempi
come si calcola GDL?
n variabili - n pivot/vincoli
cos’è un vettore?
in algebra serve definire tramite l’operazione che può compiere, lo possono essere i polinomi e le funzioni continue, poichè appartengono ad uno spazio vettoriale
cos’è uno spazio vettoriale?
insieme di oggetti in cui sono definite le combinazioni lineari ( somma e prodotto per scalare) , infatti è algebricamente chiuso per le combinazioni lineari ( il risultato è ancora all’interno dello spazio)
definire un sottospazio vettoriale
inclusione di tipo anche algebrico, anch’esso chiuso rispetto combinazioni lineari, da dimostrare se si vuole dismostrare che sia un sottospazio vettoriale
provare a definire che W e sottospazio di R3
W composta da x, y, z c R3 tale che x+2y-z=0
fare calcoli
tutte le rette sono sottaspazi vettoriali di R2?
no, non lo sono quelle che non passano per l origine
quali sono i sottospazi vettoriali di R3?
piani e rette passanti per origine, R3, origine
definire l.d. e l.i.
definire
se compare vettore nullo: S è l.d o l.i.?
l.d. perche?
la proprietà di lineare dipendenza si trasferisce a un sottoinsieme?
no
cosa significa geometricamente che una terna è l.d.?
che i tre vettori sono complanari
definizione di span
il piu piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene tutti i vettori di S, che sono vettori generatori
definizione di base
due proprità: generativa ( span di S ipotizzata base, è uguale a V) e dunque l’insieme S è un insieme di generatori di V.
minimalità: l.i
definizione di dimensione
il numero di vettori di cui è composta una base ( tutte le basi hanno lo stesso numero) e le basi sono infinite
per trovare una base dato x+2y-z=0 cosa si fa?
si mette x+2y = z e si assegna 0 e 1 a x e y per ottenere z, e si ottiene una base fatta di due vettori, dimensione dunque 2
scrivere la dimostrazione del teorema di caratterizzazione delle basi di V in termini di unicità
teorema e dimostrazioni nei due versi
quali sono le possibilità di mutua posizione ( intersezione) per due piani che passano per l origine in R5?
origine, retta, coincidono
fornire esempi di spazi vettoriali con dimensione infinita
P insieme di tutti i polinomi, e C°(R) poichè P è contenuto in C°(R)
l’intersezione di sottospazi vettoriali è ancora un sottospazio vettoriale? e l’unione?
si per intersezione e no per unione, provare a dimostrare ( anche se tu hai visto solo una dimostrazione per ‘appartenenza’).
l’unione può essere sottospazio vettoriale solo se un’insieme contiene banalmente l’altro
le matrici sono spazi vettoriali?
si, per esempio indicare base e dimensione di matrice 3x3
qual è la condizione di compatibilità per il prodotto tra matrici? è un’operazione commutativa? che ‘dimensione’ ha il risultato?
è commutativa se è quadrata?
non è commutativo nemmeno se qudrata e la condizione è che il numero di colonne della prima deve esere lo stesso del numero di righe della seconda. il risultato ha righe quante la prima e colonne quante la seconda. come si calcola operativamente: indicare sommatoria
(A•B)^T (trasposto) a cosa è uguale ?
solo ed esclusivamente a (B^T)•(A^T) in questo ordine