הרצאה 9-12 - תהליכים סטוכסטיים Flashcards
write the joint probability function for both a regular and a stationary independent stochastic process
וירוס מסוים יכול להתרבות או למות בהסתברות מסוימת. מסתכלים על כמות הוירוסים כפונקציה של הזמן בתור משתנה אקראי. האם זה תהליך מרקוב או לא
כן, זה תהליך מרקוב, כיוון שהמצב העתידי תלוי במצב הנוכחי, למשל אם אדם אחד חולה או 1000 התוצאה תהיה שונה
define a markov process. what is the condition for a markov process?
define a stationary process, and develop the expression for a stationary markov process
define a homogeneous process. is it the same as a stationary process?
תהליך הומוגני הוא תהליך בו הסתברות המעבר היא בלתי תלויה בזמן, כלומר
p( x1 , t1 + c | x2 , t2 + c ) = p( x1 , t1 | x2 , t2 )
ההבדל בין תהליך זה לתהליך סטציונרי היא שבתהליך סטציונרי מתקיימים הן התנאי הנ”ל והן התנאי שההסתברות האפריורי בלתי תלויה בזמן, כלומר
p( x1 , t1 + c ) = p( x1 , t1 ) = p( x1 )
ולכן תהליך סטציונרי הוא גם הומוגני, אך ההפך לא נכון בהכרח
name the two approaches for solving stochastic processes and the key parameter of each
develop and explain the chapman Kolmogorov equation
אפשר לחשוב על תהליך מרקוב כעל אוטומט, עבורו יש לנו מטריצת הסתברויות מעבר בין אתר לאתר. תארו את תכונות מטריצה זו
whats the difference between an irreducible and a reducible markov chain?
Irreducible = you can get from any vertex to any other vertex in a finite number of steps. In particular, all vertices must have an incoming and an outgoing probability.
as a result, for an irreducible markov chain, the transition matrix must have at least one off-diagonal non-zero value in every row and column
define a periodic state in a markov chain
periodic state__– A state in a Markov chain is periodic if the chain can return to the state only at multiples of some integer larger than 1. one can prove all states of an irreducible markov chain have the same period.
explain the frobenius perron theorem
A rat in a closed maze moves in a random direction at each intersection. The process is:
- Irreducible aperiodic
- Reducible aperiodic
- Irreducible periodic
- Reducible periodic
How would the answer change if we block of a section of the maze?
- Irreducible aperiodic
ניתן להגיע מכל צומת במבוך לכל צומת אחרת בכמות סופית של צעדים
אין מחזוריות מוגדרת
אם נחסום חלק מהמבוך אז התהליך ישתנה ויהפוך להיות
reducible
write the Fokker-Plank eq and show that the diffusion equation is a private case of it
write down and explain the master equation
we can look at the random walk problem as a markov chain. which of the following is true about the chain?
- Irreducible aperiodic
- Reducible aperiodic
- Irreducible periodic
- Reducible periodic
3. Irreducible periodic
ניתן להגיע מכל אתר לכל אתר אחר, וניתן להגיע לאתרים הזוגיים רק בצעדים זוגיים
Define the Transitional probability rate matrix Wnl. can its values be larger than one?
what are the starting conditions of the Master equation?
what is detailed balance. what is the further assumption that we can make for physical systems and what can we derive from it?
what is the kolmogorov criteria?
- True or false: A Markov chain with a symmetric transition matrix in not reversible (meaning there is no detailed balance)*
- what can we say about the stationary state of such a chain?*
לא נכון. עבור מטריצה סימטרית, ההסתברות לכל מסלול זהה עבור המסלול ההופכי , כלומר תנאי
קולמוגורוב מתקיים ולכן יש
detailed balance
נשים לב כי עבור מטריצת מעבר סימטרית המצב הסטציונרי מקיים שההסתברות להיות בכל אחד מהמצבים זהה
True - The transitions to D are irreversible since there is no way out of it, which means the chain can not be in detailed balance. The stationary state in this case is D. Also, we learn from this that if the chain is reducible, than we can’t have detailed balance
Develop the master equation for random walk in 1D. show that in the thermodynamic limit this reduces to the diffusion equation.
use the langevin approach to show that random walk acts according to the diffusion equation
In an absence of food gradient and E.Coli bacterium performs a jump of distance l in a random direction. When a food gradient is present (for example a linearly increasing food amount in a given direction) the bacterium has a statistical preference to go to higher food gradients. Is it true that the probability to find the bacterium at a late time, P(x,t) is well described by a Gaussian?
נתרגם את השאלה לקונטקסט שלנו. כשאין גרדיאנט של אוכל נקבל גאוסיאן. בהינתן הגרדיאנט, ישנה העדפה לכיוון מסוים, ולכן נקבל שהמומנט הראשון כבר לא יהיה אפס (כמו בתרגיל מהשיעורי בית שמקבלים גאוסיאן שנע ימינה), כלומר נקבל פונקציה עולה בזמן. אף על פי כן, הקורלציה (המומנט השני) תישאר זהה. המומנט השני סופי, וקיים המומנט הראשון, לכן מתקיימים התנאים למשפט הגבול המרכזי, ולכן נקבל התפלגות נורמלית.
Define the standard Langevin equation for a stochastic markov process. what are the assumptions that were made to recieve it? what do A and D represent
A (drift) represents the change in average value of X, while D represents the change in X’s variance.
show the diffrential form of the Langevin Equation. explain the physical meaning of the expression
True or False
A Process with D(X(t),t) = 0 is deterministic
נכון. המשמעות היא שהשונות של הצעדים שאנחנו עושים היא 0, כלומר בכל פרק זמן עושים צעד קבוע (או כזה שמשתנה בצורה קבועה), ולכן ניתן בעזרת המיקום ההתחלתי וגודל הצעד לחשב את המיקום של החלקיק בכל זמן שנרצה (כמו לפתור משוואת תנועה סטנדרטית).
- True or false*
- The random walk process / Weiner process is a stationary process*
- he process is not stationary since the variance is time dependant*
- Yvgeny’s answer:* The process is not stationary since it depends on t’
- True or false*
- Continuous Markov processes (described by general A, D) are time-reversal invariant. (Reminder: time-reversal invariance means that nothing changes after simultaneously changing the flow of time and flipping the velocities)*
False. Let us assume that A=0 and D>0. Then when we reverse the time and velocity, the L.H.S of the Fokker-Planck equation changes sign while the right side does not since D is positive by definition. An alternate explanation: the definition of a stationary state is that the system reaches it eventually regardless of the starting conditions, so if we reverse all the velocities, we will still reach the same stationary state (meaning the progression with regards to time does not flip sign). Thus, time reversal symmetry is broken. It’s the major difference between thermodynamics (where all states strive to the same equilibrium state) and statistical mechanics, which are generally time reversal invariant.
find the average values for the velocity and its square average value as well of the stationary state of the system
give an exmaple of fluctuation-dissipation relations for Brownian motion and explain its significance
