5 Samples and estimators

Question 1

(D) Standard-Schätzer (3)

Answer 1

1. arithmetisches Mittel
   X(n)– := 1/n ∑ Xi
2. empirical variance
   S(n)^2 := 1/(n-1) ∑ (Xi - X(n)–)^2
3. empirical CDF
   Fn(t; X1, …, Xn) := 1/n ∑ 1(-∞,t] º Xi

Question 2

(D) Momente der Standard-Schätzer (3)

Answer 2

1. arithmetisches Mittel X(n)–
   µ= E[X1], 𝜎n^2 = V[X1]/n
   (für E[X1^2]
2. empirical variance S(n)^2
   µ = Var[X1], n𝜎n^2 -> V[(X1 - E[X1])^2] as n->∞
   (für E[X1^4]
3. empirical CDF F(t;X1, …, Xn)
   µ= F(t), 𝜎n^2 = F(t) (1 - F(t))/n für Münzwurf

Question 3

(D) Verteilungen der Standard-Schätzer

Answer 3

1. 𝜎n^2 positiv und große n:
   Dann sind die Standard-Schätzer in guter Annäherung normalverteilt N(µ,𝜎^2).
2. Stichprobe normalverteilt nach N(µ,𝜎^2):
   Dann gilt X(n)– ~ N(µ,𝜎^2/n) und S(n)^2 ~X^2n-1.