16 Confidence intervals

Question 1

(D) Konfidenzintervall: Definition, Idee, konkretes KI (3)

Answer 1

X1, …, Xn sample from P𝜗 where 𝜗∈Θ, U=U(X1, …, Xn), O=O(X1, …, Xn) real RV’s.

1. [U, O] is called random interval of coverage probability P𝜗(𝜗 ∈ [U, O]) for 𝜗.
2. [U, O] is called (1-a) confidence interval for 𝜗 if
   P𝜗(𝜗 ∈ [U, O]) ≥ 1-a for all 𝜗∈Θ

–

3. Idee
   Ein Konfidenzintervall verwendet man, um anzugeben, wie genau die Schätzung ist, ohne den wahren Wert zu kennen.
   - In 95% aller Realisierungen x1, …, xn von X1, …, Xn liegt der wahre Wert im Intervall. Hat man nur eine Realisierung, kann man wenig/nichts aussagen.
4. Konkretes/zufälliges Konfidenzintervall
   Das konkrete Konfidenzintervall enthält die kleinen x (Realisierungen). Das zufällige Konfidenzintervall erhält die großen X (Zufallsvariablen).

Question 2

(A) Konfidenzintervalle (Monte-Carlo, µ/N/Vbek, µ/N/Vunbek/asympt, µ/N/Vunbek/exakt, µ/asympt, Var/asympt)
=CIP13 (1-6)

Answer 2

1. KI bei Monte-Carlo-Integration
   Für große n liegt der tatsächliche Wert des Integrals zu 95% im Intervall
   [mean(f(x)I - delta, mean(f(x)I + delta]
   mit delta = (2sd(f(x))I) / √n und I der Intervalllänge.
   - Schätzer mean(f(x)) für große n annähernd normalverteilt
2. KI für Erwartungswert bei Normalverteilung (Varianz bekannt)
   I(X1, …, Xn) = [X(n)– - z1-a/2 * 𝜎/√n, X(n)– + z1-a/2 * 𝜎/√n]
3. KI für Erwartungswert bei Normalverteilung (Varianz unbekannt, asymptotisch exakt)
   I(X1, …, Xn) = [X(n)– - z1-a/2 * S(n)/√n, X(n)– + z1-a/2 * S(n)/√n]
   - wobei S(n) die Wurzel aus der empirical variance S(n)^2 ist (für große n Schätzung sehr gut).
   - dieses KI nennt man asymptotisch exaktes KI, da Varianz geschätzt
4. KI für Erwartungswert bei Normalverteilung (Varianz unbekannt, exakt)
   I(X1, …, Xn) = [X(n)– - tn-1;1-a/2 * S(n)/√n, X(n)– + tn-1;1-a/2 * S(n)/√n]
   - erhält man in R durch
   n=50; x=rnorm(n,3,6); alpha=0.1
   t.test(x,conf.level=1-alpha)
5. asymptotisches KI für Erwartungswert (ohne Normalverteilung)
   - Annahme: Varianz \in (0, ∞)
   - gleiche KI wie oben; heißen dann aber “asymptotisch”, da X(n)– asymptotisch normalverteilt (CLT) und empirical variance gegen Varianz konvergiert (SLLN)
6. asymptotisches KI für Varianz

Question 3

(A) Unterschied exakte und asymptotische KI (2)

Answer 3

1. Für exakte Konfidenzintervalle gilt
   Pµ(µ ∈ I) = 1 - a
2. Für asymptotisch exakte Konfidenzintervalle gilt
   Pµ(µ ∈ I) -> 1 - a

Question 4

(A) Unterschied Annahmebereich und Konfidenzintervall (3)

Answer 4

1. Annahmebereich enthält die wahrscheinlichsten Werte der Teststatistik für P𝜗 (H0) gegeben
2. Konfidenzintervall enthält die wahrscheinlichsten Werte für 𝜗
3. t ∈ A𝜗 <==> 𝜗 ∈ CI(t)