4 Lógica de Primeira Ordem

Question 1

Símbolos e estruturas importantes em lógica de primeira ordem?

Answer 1

• Constantes: Representam objetos específicos. Ex: a, b, c.
  
  • Variáveis: Representam objetos genéricos que podem assumir diferentes valores. Ex: x, y, z.
  • Predicados: Expressam propriedades de objetos ou relações entre eles. Ex: P(x), A(x, y).
  • Funções: Mapeiam um objeto em outro. Ex: f(x).
  • Quantificadores: Indicam a quantidade de casos que deve ser considerada.
    ○ ∀ (universal): “Para todo(a)…”
    ○ ∃ (existencial): “Existe pelo menos um(a)…”

Question 2

O que é Lógica de Primeira Ordem?

Answer 2

Lógica de Primeira Ordem (LPO), também conhecida como lógica de predicados, é um sistema formal utilizado na matemática, filosofia, linguística e ciência da computação para expressar e analisar proposições no que diz respeito a objetos e suas relações.

Question 3

Palavras utilizadas com quantificadores em Lógica de Primeira Ordem:

Answer 3

○ ∀ (universal): Todo, qualquer
○ ∃ (existencial): Existe, pelo menos um, algum

Question 4

Definição das fórmulas e sentenças: Átomos, fórmulas atômicas e sentenças.

Answer 4

• Átomos: Fórmulas básicas formadas por predicados aplicados a constantes, variáveis ou funções.
  
  • Fórmulas Atômicas: Podem ser compostas usando conectivos lógicos (¬, ∧, ∨, →).
  • Sentenças: Fórmulas sem variáveis livres (todas as variáveis são quantificadas).

Question 5

Exemplos de fórmulas de Lógica de primeira ordem:

Answer 5

• ∀x P(x): Para todo x, P(x) é verdadeiro. (Ex: “Todos os humanos são mortais”)
  
  • ∃x Q(x): Existe pelo menos um x tal que Q(x) é verdadeiro. (Ex: “Existe pelo menos um humano que é mortal”)

Question 6

Qual é o uso da negação lógica?

Answer 6

A negação é usada para inverter a verdade de uma proposição.

Question 7

Nogeções lógicas básicas:

Answer 7

• Se temos uma proposição P(x), sua negação é escrita como ¬P(x).
  ○ Exemplo: Se P(x) é “x é um humano”, então ¬P(x) é “x não é um humano”.

Question 8

Negações lógicas com quantificadores:

Answer 8

Inverte-se o quantificador.
* Para o quantificador universal (∀):
○ A negação de ∀x P(x) é ∃x ¬P(x).
○ Exemplo: Se ∀x H(x) significa “Todos os gatos são felinos”, então ¬∀x H(x) (ou ∃x ¬H(x)) significa “Existe pelo menos um gato que não é felino”.
* Para o quantificador existencial (∃):
○ A negação de ∃x P(x) é ∀x ¬P(x).
○ Exemplo: Se ∃x B(x) significa “Existe pelo menos um livro na biblioteca”, então ¬∃x B(x) (ou ∀x ¬B(x)) significa “Nenhum livro está na biblioteca”.

Question 9

Exemplos de negação, regra de Morgan:

Answer 9

A regra de De Morgan é uma ferramenta útil para entender a negação de expressões lógicas complexas:
* ¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x ¬P(x)
¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x ¬P(x)