3 Lógica sentencial (ou proposicional). Flashcards
O que é lógica sentencial?
Também chamada de lógica proposicional, é um sistema formal que trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).
O que é a tabela verdade?
é uma ferramenta usada no estudo da lógica matemática para determinar se uma proposição é verdadeira ou falsa. Basicamente, ela ajuda a avaliar o valor lógico de uma sentença.
Qual é a utilidade de uma tabela verdade?
é especialmente útil para analisar proposições compostas, formadas por combinações de proposições simples. O valor lógico de uma proposição composta depende do valor de cada uma das proposições que a compõem.
Para combinar essas proposições simples e criar proposições compostas, utilizamos conectivos lógicos, sendo símbolos que representam operações lógicas.
Sobre a construção da tabela verdade:
Na tabela verdade são colocados os valores lógicos possíveis (verdadeiro ou falso) para cada uma das proposições simples que formam a proposição composta e a combinação destes.
Número de linhas na tabela verdade:
O número de linhas da tabela dependerá da quantidade de sentenças que compõem a proposição. A tabela verdade de uma proposição formada por n proposições simples terá 2n linhas.
Por exemplo, a tabela verdade da proposição “x é um número real e maior que 5 e menor que 10” terá 8 linhas, pois a sentença é formada por 3 proposições (n = 3).
Sendo 3 proposições simples, n = 3.
2 ao cubo igual a 8 espaço linhas
Número de colunas da tabela verdade:
Visando colocarmos todas as possibilidades de valores lógicos na tabela, devemos preencher cada coluna com 2n-k valores verdadeiros seguidos de 2n-k valores falsos, com k variando de 1 até n.
No exemplo com três proposições simples (n = 3):
Na primeiro coluna: 2 à potência de reto n menos reto k fim do exponencial igual a 2 à potência de 3 menos 1 fim do exponencial igual a 2 ao quadrado igual a 4
Assim, a primeira coluna é preenchida com quatro verdadeiros seguidos de quatro falsos.
Após preencher a tabela com os valores lógicos das proposições, devemos adicionar colunas relativas aos resultados das operações com os conectivos.
Passo a passo de como construir uma tabela verdade:
Passo 1: Identificar as proposições simples
Passo 2: Determinar o número de linhas da tabela
Passo 3: Preencher os valores lógicos das proposições simples
Passo 4: Aplicar os conectivos lógicos
Passo 5: Preencher a coluna da proposição composta
Passo 6: Analisar o resultado
A Tabela Verdade da Negação:
Os possíveis valores de verdade de uma negação são opostos aos possíveis valores de verdade da declaração que ela nega. Se p for verdadeiro, então ∼ p é falso. Se p for falso, então ∼ p é verdadeiro.
p ∼ p
E F
F E
A Tabela Verdade da Conjunção:
Uma conjunção p * q é verdadeira somente quando ambas as suas conjunções são verdadeiras. Ela é falsa em todos os outros três casos.
p q p^q
E E E
E F F
F F F
F F F
A Tabela Verdade da Disjunção:
Uma disjunção p ∨ q é falsa somente quando ambas as suas disjunções são falsas. Nos outros três casos, a disjunção é verdadeira.
p q pVq
E E E
E F E
F F E
F F F
A Tabela Verdade do Condicional:
Uma condicional é falsa somente quando seu antecedente é verdadeiro, mas seu consequente é falso. Isso ocorre porque p ⊃ q diz que p é uma condição suficiente de q . Agora, se p é verdadeiro, mas q é falso, então p não pode ser uma condição suficiente para q . Consequentemente, a condicional p ⊃ q seria falsa.
p q p⊃q
E E E
E F F
F F E
F F E
A Tabela Verdade do Bicondicional:
Um bicondicional p ≡ q é verdadeiro somente quando p e q compartilham o mesmo valor verdade. Se p e q têm valores verdade opostos, então o bicondicional é falso.
p q p≡q
E E E
E F F
F F F
F F E
O que é equivalência lógica?
é uma relação entre duas proposições que possuem o mesmo valor lógico ou a mesma informação, mesmo que de formas diferentes. Para indicar que duas proposições são equivalentes, usa-se a notação 𝐴⇔𝐵.
Como verificar equivalência lógica?
Para verificar se duas proposições são equivalentes, pode-se analisar as suas tabelas-verdade, que devem ser idênticas. As colunas com os valores das proposições devem ser iguais.
Alguns exemplos de equivalências lógicas são:
A dupla negação, ~(~p), é equivalente a p
A equivalência da condicional, 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒
A equivalência da disjunção, 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒑 → 𝒒
A equivalência da bicondicional, 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)
Equivalências Básicas
- p e p = p
Ex: André é inocente e inocente = André é inocente - p ou p = p
Ex: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema - p e q = q e p
Ex: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e forte - p ou q = q ou p
Ex: O carro é branco ou azul = O carro é azul ou branco - p ↔ q = q ↔ p
Ex: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo. - p ↔ q = (pq) e (qp)
Ex: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Equivalências da Condicional
1) Se p então q = Se não q então não p. (EQUIVALÊNCIA CONTRA-POSITIVA)
Ex: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove
2) Se p então q = Não p ou q.
Ex: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso
Equivalências com o Símbolo da Negação
Este tipo de equivalência já foi estudado. Trata-se, tão somente, das negações das
proposições compostas! Lembremos:
Negativa de (p e q) = ~p ou ~q
Negativa de (p ou q) = ~p e ~q
Negativa de (p > q) = p e ~q
Negativa de (p↔q) = [(p e ~q) ou (q e ~p)]
Equivalências com o Símbolo da Negação (BICONDICIONAL)
A BICONDICIONAL tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!
Para negar a bicondicional, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente.
E para negar uma conjunção, já sabemos, nega-se as duas partes e troca-se o E por OU.
Outras equivalências relevantes
1) p e (p ou q) = p
Ex: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista
2) p ou (p e q) = p
Ex: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista
Equivalências entre “Nenhum” e “Todo” (PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS)
1) Nenhum A é B = Todo A é não B
Ex: Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (= Todo médico não é louco)
2) Todo A é B = Nenhum A é não B
Ex: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)
Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação
Leis Associativas
(p e q) e s = p e (q e s)
(p ou q) ou s = p ou (q ou s)
Leis Distributivas
p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s)
p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)
Leis da Dupla Negação
~(~p) p
Leis de Morgan:
As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas
pelos conectivos “e” e “ou”.
Para negar “e”: negar ambas as proposições e trocar o conectivo por “ou”.
~ (p∧ q) ≡ ~p ∨~q
Para negar “ou”: negar ambas as proposições e trocar o conectivo por “e”.
~ (p∨q) ≡ ~p ∧~q
O que são driagramas lógicos?
Os diagramas lógicos são uma representação gráfica de proposições relacionadas a questões de raciocínio lógico. São muito cobrados em provas de concursos, principalmente em questões que envolvem os termos “todo”, “algum” e “nenhum”.
