3 Lógica sentencial (ou proposicional). Flashcards
O que é lógica sentencial?
Também chamada de lógica proposicional, é um sistema formal que trata do raciocínio expresso por sentenças, ou proposições, que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).
O que é a tabela verdade?
é uma ferramenta usada no estudo da lógica matemática para determinar se uma proposição é verdadeira ou falsa. Basicamente, ela ajuda a avaliar o valor lógico de uma sentença.
Qual é a utilidade de uma tabela verdade?
é especialmente útil para analisar proposições compostas, formadas por combinações de proposições simples. O valor lógico de uma proposição composta depende do valor de cada uma das proposições que a compõem.
Para combinar essas proposições simples e criar proposições compostas, utilizamos conectivos lógicos, sendo símbolos que representam operações lógicas.
Sobre a construção da tabela verdade:
Na tabela verdade são colocados os valores lógicos possíveis (verdadeiro ou falso) para cada uma das proposições simples que formam a proposição composta e a combinação destes.
Número de linhas na tabela verdade:
O número de linhas da tabela dependerá da quantidade de sentenças que compõem a proposição. A tabela verdade de uma proposição formada por n proposições simples terá 2n linhas.
Por exemplo, a tabela verdade da proposição “x é um número real e maior que 5 e menor que 10” terá 8 linhas, pois a sentença é formada por 3 proposições (n = 3).
Sendo 3 proposições simples, n = 3.
2 ao cubo igual a 8 espaço linhas
Número de colunas da tabela verdade:
Visando colocarmos todas as possibilidades de valores lógicos na tabela, devemos preencher cada coluna com 2n-k valores verdadeiros seguidos de 2n-k valores falsos, com k variando de 1 até n.
No exemplo com três proposições simples (n = 3):
Na primeiro coluna: 2 à potência de reto n menos reto k fim do exponencial igual a 2 à potência de 3 menos 1 fim do exponencial igual a 2 ao quadrado igual a 4
Assim, a primeira coluna é preenchida com quatro verdadeiros seguidos de quatro falsos.
Após preencher a tabela com os valores lógicos das proposições, devemos adicionar colunas relativas aos resultados das operações com os conectivos.
Passo a passo de como construir uma tabela verdade:
Passo 1: Identificar as proposições simples
Passo 2: Determinar o número de linhas da tabela
Passo 3: Preencher os valores lógicos das proposições simples
Passo 4: Aplicar os conectivos lógicos
Passo 5: Preencher a coluna da proposição composta
Passo 6: Analisar o resultado
A Tabela Verdade da Negação:
Os possíveis valores de verdade de uma negação são opostos aos possíveis valores de verdade da declaração que ela nega. Se p for verdadeiro, então ∼ p é falso. Se p for falso, então ∼ p é verdadeiro.
p ∼ p
E F
F E
A Tabela Verdade da Conjunção:
Uma conjunção p * q é verdadeira somente quando ambas as suas conjunções são verdadeiras. Ela é falsa em todos os outros três casos.
p q p^q
E E E
E F F
F F F
F F F
A Tabela Verdade da Disjunção:
Uma disjunção p ∨ q é falsa somente quando ambas as suas disjunções são falsas. Nos outros três casos, a disjunção é verdadeira.
p q pVq
E E E
E F E
F F E
F F F
A Tabela Verdade do Condicional:
Uma condicional é falsa somente quando seu antecedente é verdadeiro, mas seu consequente é falso. Isso ocorre porque p ⊃ q diz que p é uma condição suficiente de q . Agora, se p é verdadeiro, mas q é falso, então p não pode ser uma condição suficiente para q . Consequentemente, a condicional p ⊃ q seria falsa.
p q p⊃q
E E E
E F F
F F E
F F E
A Tabela Verdade do Bicondicional:
Um bicondicional p ≡ q é verdadeiro somente quando p e q compartilham o mesmo valor verdade. Se p e q têm valores verdade opostos, então o bicondicional é falso.
p q p≡q
E E E
E F F
F F F
F F E
O que é equivalência lógica?
é uma relação entre duas proposições que possuem o mesmo valor lógico ou a mesma informação, mesmo que de formas diferentes. Para indicar que duas proposições são equivalentes, usa-se a notação 𝐴⇔𝐵.
Como verificar equivalência lógica?
Para verificar se duas proposições são equivalentes, pode-se analisar as suas tabelas-verdade, que devem ser idênticas. As colunas com os valores das proposições devem ser iguais.
Alguns exemplos de equivalências lógicas são:
A dupla negação, ~(~p), é equivalente a p
A equivalência da condicional, 𝒑 → 𝒒 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒
A equivalência da disjunção, 𝒑 ∨ 𝒒 ⇔ ~𝒑 → 𝒒
A equivalência da bicondicional, 𝒑 ↔ 𝒒 ⇔ (𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → 𝒑)
Equivalências Básicas
- p e p = p
Ex: André é inocente e inocente = André é inocente - p ou p = p
Ex: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema - p e q = q e p
Ex: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e forte - p ou q = q ou p
Ex: O carro é branco ou azul = O carro é azul ou branco - p ↔ q = q ↔ p
Ex: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo. - p ↔ q = (pq) e (qp)
Ex: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Equivalências da Condicional
1) Se p então q = Se não q então não p. (EQUIVALÊNCIA CONTRA-POSITIVA)
Ex: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove
2) Se p então q = Não p ou q.
Ex: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso
Equivalências com o Símbolo da Negação
Este tipo de equivalência já foi estudado. Trata-se, tão somente, das negações das
proposições compostas! Lembremos:
Negativa de (p e q) = ~p ou ~q
Negativa de (p ou q) = ~p e ~q
Negativa de (p > q) = p e ~q
Negativa de (p↔q) = [(p e ~q) ou (q e ~p)]
Equivalências com o Símbolo da Negação (BICONDICIONAL)
A BICONDICIONAL tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!
Para negar a bicondicional, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente.
E para negar uma conjunção, já sabemos, nega-se as duas partes e troca-se o E por OU.
Outras equivalências relevantes
1) p e (p ou q) = p
Ex: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista
2) p ou (p e q) = p
Ex: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista
Equivalências entre “Nenhum” e “Todo” (PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS)
1) Nenhum A é B = Todo A é não B
Ex: Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (= Todo médico não é louco)
2) Todo A é B = Nenhum A é não B
Ex: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)
Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação
Leis Associativas
(p e q) e s = p e (q e s)
(p ou q) ou s = p ou (q ou s)
Leis Distributivas
p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s)
p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s)
Leis da Dupla Negação
~(~p) p
Leis de Morgan:
As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas
pelos conectivos “e” e “ou”.
Para negar “e”: negar ambas as proposições e trocar o conectivo por “ou”.
~ (p∧ q) ≡ ~p ∨~q
Para negar “ou”: negar ambas as proposições e trocar o conectivo por “e”.
~ (p∨q) ≡ ~p ∧~q
O que são driagramas lógicos?
Os diagramas lógicos são uma representação gráfica de proposições relacionadas a questões de raciocínio lógico. São muito cobrados em provas de concursos, principalmente em questões que envolvem os termos “todo”, “algum” e “nenhum”.
O que são diagramas lógicos?
São estruturas que vão nos auxiliar a pensar melhor. São muito mais uma ferramenta do que um conteúdo teórico propriamente dito. Eles desempenham um papel fundamental quando estamos estudando as proposições categóricas.
O que são proposições categóricas?
São proposições na forma “Todo A é B”, “Nenhum A é B”, “Algum A é B” ou “Algum A não é B”.
Exemplo para diagrama lógico: Todo engenheiro é responsável. (Todo A é B)
Com conjuntos, podemos representar os engenheiros como um círculo menor, que está dentro de outro círculo maior, ocírculo dos responsáveis. Formalmente, dizemos que os engenheiros são um subconjunto dosresponsáveis. O que eu gostaria que você prestasse atenção, é que quando falamos que “todoengenheiro é responsável”, NÃO é o mesmo que dizer que “todo responsável é engenheiro”.
Exemplo para diagrama lógico: Nenhum engenheiro é responsável. (Nenhum A é B)
Nesse caso, representamos os dois conjuntos totalmente separados entre si. Dessa forma, estamosmostrando que não há intersecção entre eles e que, portanto, não existe nenhum elemento de um queseja também elemento do outro. Quando existe um grupo de conjuntos que não possuem intersecçãoentre si, dizemos que esses conjuntos são disjuntos.
Exemplo para diagrama lógico: Algum engenheiro é responsável. (Algum A é B)
Esse tipo de proposição deve ser representado com um diagrama que mostre a intersecção entre os dois conjuntos. É exatamente essa intersecção que indicará que existe algum engenheiro que também é responsável, sendo ele, então, um elemento comum aos dois conjuntos.
Exemplo para diagrama lógico: Algum engenheiro não é responsável. (Algum A não é B)
É uma situação praticamente análoga à anterior. No entanto, a parte do diagrama que estaremos interessados será o conjunto dos engenheiros que não é responsável. Ou seja, a parte do conjunto que está fora da intersecção.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS
Todo A é B. = Todo cantor é famoso.
NEGAÇÃO
Algum A não é B. = Algum cantor não é famoso.
Nenhum A é B. = Nenhum baiano é carioca.
NEGAÇÃO
Algum A é B. = Algum baiano é carioca.
Algum A não é B. = Algum estudante não é dedicado.
NEGAÇÃO
Todo A é B. = Todo estudante é dedicado
Algum A é B. = Algum perito é auditor.
NEGAÇÃO
Nenhum A é B. = Nenhum perito é auditor.
