2000

Question 1

Krav for diagonaliserbar matrise?

Answer 1

Hvis og bare hvis det finnes basis av egenvektorer i R^n

Question 2

Definisjon diagbar

Answer 2

Betyr at det finnes en diagonalmatrise D og en invertibel matrise P slik at A=PDP^-1

Question 3

Diagbar: hvor mange ulike egenverdier må man ha?

Answer 3

2 eller 3

Question 4

Ved dobbelrot eller like egenverdier

Answer 4

kan man fortsatt finne lineært uavhengige egenvektorer som gjør den allikevel diagbar,

Question 5

Ekstramalpunkter-Nødvendig betingelse?

Answer 5

Nødv bet for lokal maks/min er at begge partiell deriverte i (a,b) = 0.
NB! Ikke sikkert at dette gir lokal maks/min kun en betingelse. Kan ha sadelpunkt.

Question 6

Finne lokal maks/min?

Answer 6

Må minst finne første ordens part deriv, sette de lik 0 og løse likningsystemet. Gir stasjonært punkt.

Question 7

Hva gjør jeg for å avgjøre om det stasjonære punktet er maks eller min?

Answer 7

Finn andre ordens partiell deriv. Bruker andrederivert testen for å finne determinanten.

Question 8

Andrederiverttesten:

Answer 8

H er absoluttverdi

Om det H er større en 0 og fxx er større enn 0 i punktet er punktet lokal min.

Question 9

Diagonalisering oppsett A=PDP^-1

Hva er A, P, D og P^-1 ?

Answer 9

A er matrisen
P er egenvektormatrisen (Pass på rekkefølgen)
D er diagonalmatrisen med egenverdiene i diagonalen
P^-1 er den inverse egenvektormatrisen.

Question 10

Hvis jeg har gradienten og ønsker å finne en retning hvor veksten er lik 0?

Answer 10

Setter gradienten ganget med en ukjent vektor a,b og løser likningene mhp 0.

Question 11

Hva skjer i motsatt retning av gradienten?

Answer 11

Veksten er minst.

Question 12

Mål- usikkerhet

Answer 12

Opprinnelig funksjonsverdi i det målte punktet +-målefeilen fra formel.

Question 13

Rekker-strategi

Answer 13

1. Divergenstest. hvis lim ikke er 0=divergens.
   2.Se om rekka likner p rekke, gjør isåfall sammenlikningstest eller grensesammenlikn test.
   3.

Question 14

eigenspace er?

Answer 14

eigenvector matrisen

Question 15

Når er matrise A invertibel?

Answer 15

tallet 0 er IKKE en egenverdi.

Determinanten til A er IKKE null.

Question 16

Dersom matrisa ikke er invertibel, hvilke løsninger har vi da?
Hva hvis den er invertibel?

Answer 16

Da har matrisa ikke triviell løsning, fordi den er lineært avhengig.
Dersom den er invertibel er eneste løsning den trivielle.

Question 17

5 egenskaper til determinanten

Answer 17

1)A er invertibel kun hvis det A IKKE = 0
2) det AB = (detA)(detB)
3) det A^t = det A
4)Hvis A er triangulær er det A produktet av verdiene på hoveddiagonalen til A.
5)Radoperasjoner forandrer ikke det A, kun fortegn.
6)Løsn til en matrise A er ikke-triviell(x ≠ 0) kun hvis Det A = 0.
Dersom Det A ≠0 er x=0 eneste løsn/kun den trivielle løsn. Altså er vektorene lineært uavhengige av hverandre.

Question 18

krav til diagonalisering:

Answer 18

Må ha en egenvektormatrise P.

Question 19

Vis at punktet (x,y,z) ligger på flaten: hvordan?

Answer 19

Sett inn x og y verdi i f(x), finn evt z verdi.

Question 20

Egenvektor egenskaper

Answer 20

En egenvektor til en nxn matrise er en ikke null vektor slik at Ax=λx.
Egenvektoren er bare en basis som kan strekkes/krympes til ønsket størrelse. Retningen er den samme.

Question 21

Egenverdier egenskaper

Answer 21

•Summen av egenverdiene er lik summen av elementene i hoveddiagonalen til A. Denne
summen kalles ofte trasen til A, forkortet tr(A).
•Produktet av egenverdiene er lik determinanten til A.
•A transponert har samme egenverdier som A.

Question 22

Egenskaper invertibel matrise

Answer 22

En matrise(A) nxn er invertibel kun hvis tallet 0 ikke er egenverdi til A og determinanten ikke =0.

Question 23

Er λ egenverdi?

Answer 23

For at λ skal være egenverdi må Ax=λx ha en ikke triviell løsning.
Dvs (A-λI)x=0, dersom dette gir kolonnevektorer som er multipler av hverandre(lineært avhengig) er λ egenverdi.

Question 24

Er x en egenvektor?

Answer 24

Kravet er at vektor x ganger matrise A = en ny vektor som er ett multiplum av egenvektor x.

Question 25

Egenverdier og egenvektorer:
Hvor mange løsninger har den karakteristiske likningen
det(M-λI)=0 ?

Answer 25

Uendelig mange

Question 26

Hva er egenrommet?

Answer 26

Egenrommet er mengden av alle løsninger(vektorer) av (A-λI)x=0 dvs den generelle løsningen.
Geometrisk sett er egenrommet en linje gjennom origo ved 1 fri variabel. Ved 2 eller flee fri variabler blir egenrommet større enn bare en linje, feks ett plan.

Question 27

Hvordan kan jeg sjekke at jeg har funnet riktige egenverdier til A?

Answer 27

Ved å kontrollere at produktet av egenverdiene= Determinanten til A

Question 28

Hvilke løsninger har en singulær og en ikke-singulær matrise? Og hva er determinanten?

Answer 28

Singulær matrise har uendelig mange løsninger og determinanten =0.

En ikke-singulær matrise har eneste løsning x=0, determinanten er ikke =0.

Question 29

En matrise er singulær hvis og kun hvis?

Answer 29

0 er en egenverdi