2000 Flashcards
Krav for diagonaliserbar matrise?
Hvis og bare hvis det finnes basis av egenvektorer i R^n
Definisjon diagbar
Betyr at det finnes en diagonalmatrise D og en invertibel matrise P slik at A=PDP^-1
Diagbar: hvor mange ulike egenverdier må man ha?
2 eller 3
Ved dobbelrot eller like egenverdier
kan man fortsatt finne lineært uavhengige egenvektorer som gjør den allikevel diagbar,
Ekstramalpunkter-Nødvendig betingelse?
Nødv bet for lokal maks/min er at begge partiell deriverte i (a,b) = 0.
NB! Ikke sikkert at dette gir lokal maks/min kun en betingelse. Kan ha sadelpunkt.
Finne lokal maks/min?
Må minst finne første ordens part deriv, sette de lik 0 og løse likningsystemet. Gir stasjonært punkt.
Hva gjør jeg for å avgjøre om det stasjonære punktet er maks eller min?
Finn andre ordens partiell deriv. Bruker andrederivert testen for å finne determinanten.
Andrederiverttesten:
H er absoluttverdi
Om det H er større en 0 og fxx er større enn 0 i punktet er punktet lokal min.
Diagonalisering oppsett A=PDP^-1
Hva er A, P, D og P^-1 ?
A er matrisen
P er egenvektormatrisen (Pass på rekkefølgen)
D er diagonalmatrisen med egenverdiene i diagonalen
P^-1 er den inverse egenvektormatrisen.
Hvis jeg har gradienten og ønsker å finne en retning hvor veksten er lik 0?
Setter gradienten ganget med en ukjent vektor a,b og løser likningene mhp 0.
Hva skjer i motsatt retning av gradienten?
Veksten er minst.
Mål- usikkerhet
Opprinnelig funksjonsverdi i det målte punktet +-målefeilen fra formel.
Rekker-strategi
- Divergenstest. hvis lim ikke er 0=divergens.
2.Se om rekka likner p rekke, gjør isåfall sammenlikningstest eller grensesammenlikn test.
3.
eigenspace er?
eigenvector matrisen
Når er matrise A invertibel?
tallet 0 er IKKE en egenverdi.
Determinanten til A er IKKE null.
Dersom matrisa ikke er invertibel, hvilke løsninger har vi da?
Hva hvis den er invertibel?
Da har matrisa ikke triviell løsning, fordi den er lineært avhengig.
Dersom den er invertibel er eneste løsning den trivielle.
5 egenskaper til determinanten
1)A er invertibel kun hvis det A IKKE = 0
2) det AB = (detA)(detB)
3) det A^t = det A
4)Hvis A er triangulær er det A produktet av verdiene på hoveddiagonalen til A.
5)Radoperasjoner forandrer ikke det A, kun fortegn.
6)Løsn til en matrise A er ikke-triviell(x ≠ 0) kun hvis Det A = 0.
Dersom Det A ≠0 er x=0 eneste løsn/kun den trivielle løsn. Altså er vektorene lineært uavhengige av hverandre.
krav til diagonalisering:
Må ha en egenvektormatrise P.
Vis at punktet (x,y,z) ligger på flaten: hvordan?
Sett inn x og y verdi i f(x), finn evt z verdi.
Egenvektor egenskaper
En egenvektor til en nxn matrise er en ikke null vektor slik at Ax=λx.
Egenvektoren er bare en basis som kan strekkes/krympes til ønsket størrelse. Retningen er den samme.
Egenverdier egenskaper
•Summen av egenverdiene er lik summen av elementene i hoveddiagonalen til A. Denne
summen kalles ofte trasen til A, forkortet tr(A).
•Produktet av egenverdiene er lik determinanten til A.
•A transponert har samme egenverdier som A.
Egenskaper invertibel matrise
En matrise(A) nxn er invertibel kun hvis tallet 0 ikke er egenverdi til A og determinanten ikke =0.
Er λ egenverdi?
For at λ skal være egenverdi må Ax=λx ha en ikke triviell løsning.
Dvs (A-λI)x=0, dersom dette gir kolonnevektorer som er multipler av hverandre(lineært avhengig) er λ egenverdi.
Er x en egenvektor?
Kravet er at vektor x ganger matrise A = en ny vektor som er ett multiplum av egenvektor x.
Egenverdier og egenvektorer:
Hvor mange løsninger har den karakteristiske likningen
det(M-λI)=0 ?
Uendelig mange
Hva er egenrommet?
Egenrommet er mengden av alle løsninger(vektorer) av (A-λI)x=0 dvs den generelle løsningen.
Geometrisk sett er egenrommet en linje gjennom origo ved 1 fri variabel. Ved 2 eller flee fri variabler blir egenrommet større enn bare en linje, feks ett plan.
Hvordan kan jeg sjekke at jeg har funnet riktige egenverdier til A?
Ved å kontrollere at produktet av egenverdiene= Determinanten til A
Hvilke løsninger har en singulær og en ikke-singulær matrise? Og hva er determinanten?
Singulær matrise har uendelig mange løsninger og determinanten =0.
En ikke-singulær matrise har eneste løsning x=0, determinanten er ikke =0.
En matrise er singulær hvis og kun hvis?
0 er en egenverdi
