1 Axiomatická definícia pravdepodobnosti

Question 1

definuj sigma algebru

Answer 1

str. 9

Question 2

Daj príklad na sigma algebru

Answer 2

str. 9

Question 3

Dokáž uzavretosť sigma algebry na spočítateľné prieniky

Answer 3

str. 9

Question 4

Dokáž Uzavretosť 𝜎-algebry vzhľadom na množinový rozdiel

Answer 4

Ak 𝐴1, 𝐴2 ∈ S, tak podľa vlastnosti 2) definície 1.1 platí Ω∖𝐴1 ∈ S. Teda podľa vety 1.4 obsahuje systém S aj množinu 𝐴2 ∩ (Ω ∖ 𝐴1) = 𝐴2 ∖ 𝐴1.

Question 5

Definuj výberový priestor, elementárne výsledky a náhodné udalosti

Answer 5

Nech S je 𝜎-algebra udalostí na množine Ω. V pravdepodobnostných aplikáciách nazývame množinu Ω výberový priestor, prvky množiny Ω nazveme elementárne výsledky a podmnožiny Ω patriace do S nazývame náhodné udalosti.

Question 6

Opíš príklad “Jednoduchý náhodný výber bez návratu”

Answer 6

Príklad 1.12 str. 11

Question 7

Dokáž lemu 1.14

Answer 7

str. 11

Question 8

Definuj 𝜎-algebru podmnožín množiny Ω generovanú systémom množín F, alebo tiež minimálnu 𝜎-algebra

Answer 8

Definícia 1.15 str. 12

Question 9

Definuj 𝜎-algebru borelovských podmnožín R^m

Answer 9

str. 12

Question 10

Vyslov a dokáž vetu o Základných borelovských podmnožinách množiny

Answer 10

veta 1.20 str. 13

Question 11

vyslov a dokáž lemu o zúžení 𝜎-algebry

Answer 11

Lema 1.22 str. 13

Question 12

Daj príklad na zúženie 𝜎-algebry

Answer 12

str. 13

Question 13

Definuj Pravdepodobnostnú miera

Answer 13

str. 15 hore

Question 14

Definuj pravdepodobnostný priestor

Answer 14

Nech S je 𝜎-algebra udalostí na výberovom priestore Ω a nech 𝑃 je pravdepodobnostná miera na S. Potom to je trojica (Ω, S, 𝑃 )

Question 15

Vyslov a dokáž vetu o rozdielovosti a monostónnosti

Answer 15

Veta 1.38, str. 19

Question 16

Vyslov a dokáž vetu o pravdepodobnosti doplnku

Answer 16

veta 1.39, str. 19

Question 17

Vyslov a dokáž vetu o pravdepodobnosti zjednotenia dvoch udalostí

Answer 17

str. 19 veta 1.41

Question 18

Vyslov a dokáž vetu o princípe zapojenia a vypojenia

Answer 18

Veta 1.42, str. 20

Question 19

Vyslov a dokáž lemu o Spojitosti pravdepodobnosti zdola

Answer 19

Lema 1.47, str. 21

Question 20

Vyslov a dokáž vetu o Spojitosti pravdepodobnosti zhora

Answer 20

Lema 1.48, str. 21