וקטורים עצמיים ערכים עצמיים וז'ורדן

Question 1

השלימו:

הריבוי הגיאומטרי של סקלר למדא ביחס לאופרטור f מוגדר להיות…

Answer 1

Question 2

השלימו:

הריבוי האלגברי של סקלר למדא ביחס לאופרטור f מוגדר להיות המספר הטבעי…

Answer 2

Question 3

מה יותר גדול, הריבוי הגיאומטרי או הריבוי האלגברי?

למה?

Answer 3

הריבוי האלגברי גדול שווה לריבוי הגיאומטרי.

Question 4

מה היחס בין הערכים העצמיים של מטריצות דומות?

Answer 4

למטריצות דומות אותם ערכים עצמיים.

Question 5

הגדירו “מטריצה נילפוטנטית” בעזרת הפולנום האופייני.

Answer 5

מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא Xⁿ.

משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים, וכל הערכים העצמיים הם אפס.

Question 6

יהי V מרחב וקטורי סוף־מימדי מעל F ויהי V → V : f אופרטור כלשהו.

יהי B בסיס אשר ביחס אליו המטריצה _[f_[B היא בצורת ז׳ורדן.

איך נראה הפולינום האופייני של f?

Answer 6

הפולינום האופייני של f מתפרק בהכרח למכפלה של גורמים לינאריים.

Question 7

יהי V מרחב וקטורי סוף־מימדי מעל F ויהי V → V : f אופרטור כלשהו.

יהי B בסיס אשר ביחס אליו המטריצה _[f_[B היא בצורת ז׳ורדן.

מה מייצג הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי?

Answer 7

הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לגודל של בלוק הז׳ורדן שמתאים לאותו ערך עצמי.

Question 8

נניח שהפולינום האופייני של f מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. איך נראית המטריצה _[f_[B?

Answer 8

משפט ז’ורדן

יהי V מרחב וקטורי סוף־מימדי מעל F ויהי V → V : f אופרטור. נניח כי הפולינום האופייני של f מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים מעל F .אזי קיים בסיס סדור B ל־ V אשר ביחס אליו המטריצה _[f_[B היא בצורת ז׳ורדן עם בלוקי ז׳ורדן שמתאימים לערכים העצמיים השונים λ₁, . . . , λ_k של f.

Question 9

הגדר:

המרחב העצמי המוכלל של f המתאים לערך העצמי λ.

Answer 9

Question 10

נניח ש0 איננו ערך עצמי של מטריצה. מה ניתן לומר על המטריצה?

Answer 10

מטריצה היא הפיכה אם ורק אם 0 איננו ערך עצמי של המטריצה.

Question 11

האם מטריצת ה0 היא הפיכה?

Answer 11

מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא מטריצת היחידה.

Question 12

אילו שני דברים מתקיימים בתנאים הבאים?

Answer 12

Question 13

בתנאים הבאים,

למה שווה V ^̂_λi ?

Answer 13

Question 14

הגדירו:

תמ”ו U₁,…,U_n נמצאים בסכום ישר

Answer 14

Question 15

הגדירו:

מטריצה אלכסונית

Answer 15

מטריצה היא אלכסונית אם כל האיברים שלא באלכסון הם 0.

Question 16

תהי f]_B] המטריצה האלכסונית שבתמונה.

מה היחס בין a_i לb_i?

Answer 16

b_i וקטור עצמי של f השייך לערך העצמי a_i.

Question 17

הגדירו:

אופרטור ניתן ללכסון

Answer 17

Question 18

משפט:

אופרטור f ניתן לליכסון אם ורק אם: ?

Answer 18

קיים בסיס לV של וקטורים עצמיים של f.

Question 19

Answer 19

Question 20

איך ניתן להראות ש f לכסין תוך היעזרות בערכים העצמיים של f?

Answer 20

Question 21

Answer 21

Question 22

הגדירו:

A מטריצה לכסינה.

Answer 22

A לכסינה -

כלומר קיימת מטריצה אלכסונית D, ומטריצה הפיכה P, כך ש:

A = P^-1DP.

Question 23

תהי A מטריצה לכסינה.

למה שווה Aⁿ?

Answer 23

Aⁿ = P^-1DⁿP

Question 24

תהי A מטריצה לכסינה.

איך נמצא את המטריצה האלכסונית שA דומה לה?

כלומר, איך נמצא את P^-1DP?

Answer 24

D היא המטריצה האלכסונית עם הערכים העצמיים של A על האלכסון.

P היא המטריצה שעמודותיה הן הוקטורים העצמיים של A.

P^-1 היא המטריצה ההופכית לP שנמצא על ידי הנוסחה למציאת מטריצה הופכית.

Question 25

למה שווה:

(X_f(f?

Answer 25

Question 26

איך מחשבים את הדטרמיננטה של מטריצת בלוקים?

Answer 26

דטרמיננטה כזו שווה למכפלת דטרמיננטות הבלוקים

Question 27

איך ניתן לדעת אם אופרטור f ניתן ללכסון בעזרת הפולינום האופייני, והריבויים האלגברי והגיאומטרי?

Answer 27

Question 28

הגדירו:

אופרטור f הוא נילפוטנטי.

Answer 28

Question 29

נניח שלמדא ערך עצמי של אופרטור נילפוטנטי.

אילו ערכים למדא יכול להיות?

Answer 29

Question 30

יהי f אופרטור נילפוטנטי.

מהו הבסיס ל (Z(f,v?

Answer 30

Question 31

איך נדע אם מטריצה A היא נילפוטנטית?

(שתי דרכים)

Answer 31

1. נכפיל את המטריצה בעצמה פעם אחר פעם כדי לבדוק אם נגיע למטריצת האפס.
2. נבדוק אם הפולינום האופייני של המטריצה שווה לXⁿ, (ואז ממשפט קיילי המילטון: Aⁿ=0).

Question 32

איך נמצא בסיס שרשראות לV (מרחב וקטורי ממימד n) כאשר f אופרטור לינארי נילפוטנטי מאינדקס נילפוטנטיות n?

איך ייראה בלוק הז’ורדן לפי הבסיס שנמצא?

Answer 32

נפעל כך:

1. נמצא את המטריצות: (A, A², … , A^n-1 (Aⁿ=0.
2. נמצא עמודה i ששונה מ0 במטריצה A^n-1.
3. נבחר את e_i להיות הוקטור העליון בשרשרת שלנו.
4. השרשרת שתפרוש את V היא:

e_i → the i column in A → the i column in A² → … → the i column in A^n-1

(שימו לב שקיבלנו בסיס שרשראות עם שרשרת אחת).

מטריצת הז’ורדן תהיה מבלוק ז’ורדן יחיד עם 0 על האלכסון הראשי.

Question 33

מהו האלגוריתם למציאת בסיס שרשראות עבור אופרטור נילפוטנטי?

Answer 33

1. יוצרים בסיס שרשראות ראשוני מהבסיס הסטנדרטי.

(כלומר, אם המטריצה המייצגת את ההעתקה היא ממימד n, ניצור n שרשראות כך שe_i הוא הוקטור הראשון בכל שרשרת, והוקטורים הבאים מתחת לכל e_i הם תוצאת כפל המטריצה בe_i. בדרך זו נמשיך בשלשול כל שרשרת עד שנגיע ל0.)

2. מוצאים צירוף לינארי לא טריוויאלי בשורה התחתונה שמתאפס.
3. עולים לשלב הגבוה ביותר בשרשרת הימנית ביותר שמשתתפת בצירוף הלינארי (משתתפת = המקדם שלה בצירוף הלינארי שונה מ0).
4. יוצרים וקטור חדש מהוקטורים בשורה הגבוהה שבה אנו נמצאים כעת עם אותם המקדמים שאיפסו את השורה התחתונה.
5. מחליפים את השרשרת הימנית ביותר (המשתתפת בצירוף הלינארי) בשרשרת חדשה שמשתלשלת מהוקטור החדש.

הערה: בכל שלב, אם ראש של שרשרת j נמצא בspan של שרשרת/שרשראות אחרות, ניתן לסלק את שרשרת j במלואה.

Question 34

מהו השלב הראשון באלגוריתם למציאת צורת ז’ורדן לאופרטורים לא נילפוטנטיים, ובמה תלוי השלב השני?

Answer 34

בשלב הראשון - נמצא את הפולינום האופייני של האופרטור.

כעת - נבדוק אם הפולינום האופייני מתפרק לגורם לינארי יחיד או לשני גורמים לינאריים - ונמשיך בהתאם.

Question 35

איך נמצא צורת ז’ורדן לאופרטור לא נילפוטנטי, כאשר הפולינום האופייני של האופרטור מתפרק לגורם לינארי אחד?

Answer 35

1. ניצור מטריצה חדשה שזהה למטריצה המייצגת את ההעתקה המקורית, רק שמהאלכסון הראשי נפחית את העריכים העצמיים.
2. המטריצה שהתקבלה היא נילפוטנטית. נמצא לה בסיס שרשראות וצורת ז’ורדן כפי שלמדנו.
3. נוסיף על האלכסון של מטריצת הז’ורדן שהתקבלה את הערכים העצמיים שמצאנו.

Question 36

איך נמצא צורת ז’ורדן לאופרטור לא נילפוטנטי, כאשר הפולינום האופייני של האופרטור מתפרק לשני גורמים לינאריים?

Answer 36

1. נמצא בסיסים למרחבים העצמיים המוכללים של כל ערך עצמי.
2. האופרטור בצמצום למרחבים הללו הוא נילפוטנטי. לכן, נהפוך את הבסיסים שמצאנו לבסיסי שרשראות, כפי שלמדנו.
3. מצירוף כל בסיסי השרשראות שמצאנו נדע לבנות את מטריצת הז’ורדן.

Question 37

איך נוכל לדעת אם מטריצה היא הפיכה או לא בהתבסס על הערכים העצמיים של המטריצה?

Answer 37

נמצא את הערכים העצמיים של המטריצה.

אם 0 הוא ערך עצמי - המטריצה לא הפיכה.

אם 0 איננו ערך עצמי - המטריצה הפיכה.

(ע”ע 0 = לא הפיכה)

Question 38

מצאו את הפולינום האופייני ואת הפולינום המינימלי של המטריצה שבתמונה מעל השדה R.

Answer 38

Question 39

טיפ:

בבואנו ליצור בסיס שרשראות מהבסיס הסטנדרטי עבור מטריצה נילפוטנטית, את השרשרת הנובעת מאיזה e_i נחשב קודם?

Answer 39

נחשב ראשית את השרשרת שנראה שיהיה הכי קל לחשב, כי אולי נראה שיש בשרשרת הזו וקטורים כמימד המרחב - ואם כן - קיבלנו בסיס למרחב וחסכנו את כל האלגוריתם.