Элементы теории множеств

Question 1

Отображение

Answer 1

∃A,B - множества
Отображение А в B - это правило, сопоставляющее ∀a∈A единственный элемент в B

Question 2

Инъекция (отображение A в B)

Answer 2

f(a)=f(b) => a=b

Question 3

Сюръекция (отображение A на B)

Answer 3

Для ∀b∈B ∃a∈A, т.ч. f(a)=b

Question 4

Биекция (взаимно однозначное соответствие)

Answer 4

f является одновременно инъекцией и сюръекцией

Question 5

Образ элемента, образ множества

Answer 5

⟧f: A → B - некоторое отображение, a∈A, b=f(a)
Элемент b называется образом элемента a при отображении f
Множество образов всех элементов a∈A называется образом множества A
f(A) = {f(a): a∈A}

Question 6

Сечение множества Q

Answer 6

1)Разбиение Q=A∪A’, ∀a∈A ∀a’∈A’ верно a<a’
2) Требуется, что A≠∅ и A’≠∅
3) A∩A’=∅, иначе a<a для a∈A’
4) R - множество всех сечений Q

Question 7

Лемма о сравнении действительных чисел

Answer 7

1) ∀α, β ∈ R верно одно из условий: α<β, α=β, α>β
2) α<β, β<γ => α<γ

Question 8

Лемма про рациональные и действительные числа

Answer 8

⟧α, β ∈ R, α<β
Тогда ∃r∈Q: α<r<β

Question 9

Лемма о равенстве действительных чисел

Answer 9

⟧α, β ∈ R
Если ∀ε>0 ∃r,r’∈Q: r≤α≤r’, r≤β≤r’, r’-r<ε,
то α=β

Question 10

Теорема Дедекинда

Answer 10

∀ сечения A/A’ в R ∃β∈R, производящее это сечение. При этом либо β = max A, либо β = min A’

Question 11

Ограниченность множества

Answer 11

1) Множество M ⊂ R ограничено сверху, если ∃C∈R: x≤C ∀x∈M. Число C - верхняя граница M.
2) Множество M ⊂ R ограничено снизу, если ∃C∈R: x≥C ∀x∈M. Число C - нижняя граница M.
3) Множество M ограничено, если оно ограничено и сверху, и снизу.
4) Если M ограничено сверху (снизу), то множество верхних (нижних) границ бесконечно.

Question 12

Точная верхняя и точная нижняя граница

Answer 12

Пусть M является непустым множеством.
1) Если M ограничено сверху, то наименьшая из его верхних границ называется точной верхней границей (sup M). Если оно не ограничено сверху, то sup M = +∞.
2) Если M ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется точной нижней границей (inf M). Если оно не ограничено снизу, то inf M = -∞.

Question 13

Теорема о существовании верхней (нижней) границы

Answer 13

⟧M ограничено сверху (снизу) и непустое. Тогда ∃ его верхняя (нижняя) граница.

Question 14

Полный прообраз множества

Answer 14

⟧C⊂B
Полным прообразом множества C называется множество f^(-1)(C) = {a∈A: f(a)∈C}

Question 15

Аксиомы Пеано

Answer 15

1) В N содержится элемент 1
2) Для любого x∈N ∃! x’∈N, которое называется следующим за x
3) 1≠x’ ∀x∈N
4) Если x’=y’, x=y
5) ⟧ подмножество M⊂N обладает свойствами: 1. 1∈M; 2. x∈M ⇒ x’∈M
Тогда M = N (принцип математической индукции)

Question 16

Конечное множество

Answer 16

Множество M конечно ⇔ M биективно множеству {1,2,..,n}

Question 17

Счётное множество

Answer 17

Множество M счётно, если M~N

Question 18

Отношение эквивалентности

Answer 18

Бинарное отношение на множестве M называется отношением эквивалентности, если:
1. x~x (рефлексивность)
2. x~y⇒y~x (симметричность)
3. x~y, y~x⇒x~z (транзитивность)

Question 19

Теорема об отношении эквивалентности на множестве

Answer 19

Пусть ~ - отношение эквивалентности на множестве M. Тогда M является объединением попарно не пересекающихся подмножеств Mα, причём ∀x,y∈Mα верно, что x~y.
Mα - классы эквивалентности
x - представитель класса Mα
Mα = [x] ( x̂)
Mα̂ - множество классов (фактормножество)